高中数学北师大版必修5同步精练131等比数列 含答案Word文档格式.docx
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10设关于x的一元二次方程anx2-an+1x+1=0(n∈N+)有两根α,β,且满足6α-2αβ+6β=3.
(1)试用an表示an+1;
(2)求证:
{an-
}是等比数列;
(3)当a1=
时,求数列{an}的通项公式.能力提升
11等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1+
,S3=9+3
.
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn;
(2)设bn=
(n∈N+),求证:
数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.
12已知数集A={a1,a2,…,an}(1≤a1<a2<…<an,n≥2)具有性质P:
对任意的i,j(1≤i≤j≤n),aiaj与
两数中至少有一个属于A.
(1)分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P,并说明理由;
(2)证明:
a1=1,且
=an;
(3)证明:
当n=5时,a1,a2,a3,a4,a5成等比数列.
参考答案
1解析:
很明显仅有D符合等比数列的定义.
答案:
D
2解析:
由a
=a3a7,则
解得
d=2,a1=-3,所以S10=10a1+
d=60.
C
3解析:
{an}有连续四项在集合{-54,-24,18,36,81}中,但仅有四项-24,36,-54,81成等比数列,公比为q=-
,6q=-9.
-9
4分析:
利用等比数列的定义证明
=q(常数).
证明:
由lgan=3n+5,得an=103n+5,
∴
=
=1000=常数.
∴{an}是等比数列.
5分析:
由已知条件列出关于a1,q的方程(或方程组),或有关量的方程(或方程组).
解:
(1)∵a6=a3q3,∴q3=27.∴q=3.∴a5=a6·
=81.
(2)∵an=a1qn-1,∴
·
(
)n-1.
∴(
)n-1=(
)3.∴n=4.
6分析:
可根据等差数列、等比数列的条件列出方程组得出所求.
根据已知,可设该厂第一季度原计划3个月生产微机台数分别为x-d,x,x+d(d>0),
则实际上这3个月生产微机台数分别为x-d,x+10,x+d+25,
由题意得
解得x=90,d=10.
则该厂第一季度实际生产微机
(x-d)+(x+10)+(x+d+25)=3x+35=3×
90+35=305(台).
7解析:
设公差为d,则a
=a1a17,
即(a1+4d)2=a1(a1+16d),整理,得a1=2d.
所以
=3.
B
8解析:
a
=a1a6,设数列{an}的公差为d,则(2+2d)2=2(2+5d),解得d=
或d=0(舍去),所以数列{an}的前n项和Sn=2n+
×
A
9解:
设公比为q,则
即
①2÷
②得q2=4,
或
∴由|an|=3×
2n-1>100,得n≥7,
即从第7项起各项的绝对值都超过100.
10分析:
(1)根据一元二次方程根与系数的关系列出关于an和an+1的等量关系;
(2)转化为证明
=常数;
(3)先求出{an-
}的通项公式,再求出{an}的通项公式.
(1)解:
由题意,得
又6α-2αβ+6β=3,∴6(α+β)-2αβ=3.
-
=3.∴an+1=
an+
∵an+1=
,
∴an+1-
(an-
),即
∴{an-
}是等比数列.
(3)解:
当a1=
时,a1-
,则{an-
}是以
为首项,以
为公比的等比数列.
∴an-
=(
)n.∴an=
+(
)n.
11分析:
(1)求出公差即可写出数列{an}的通项an与前n项和Sn;
(2)利用反证法证明.
由已知,得
解得d=2,
则an=
+1+(n-1)2=2n-1+
Sn=n(
+1)+
2=n(n+
).
由
(1)得bn=
=n+
假设数列{bn}中存在三项bp,bq,br(p,q,r互不相等)成等比数列,则b
=bpbr,
即(q+
)2=(p+
)(r+
∴(q2-pr)+(2q-p-r)
=0.
∵p,q,r∈N+,∴
)2-pr=0.∴(p-r)2=0.
∴p=r,与p≠r矛盾.∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列.
12分析:
(1)aiaj与
两数中至少有一个属于A是指:
数集A中的任意两个数的积与和中至少有一个属于A,且数集A中的任意数的平方与自身的商中至少有一个属于A,则对数集{1,3,4}与{1,2,3,6}中的元素验证即可;
(2)转化为证明anan∉A,则说明1=
∈A,利用已知证得
=an-k+1,从而获得等式;
(3)利用
(2)验证从第二项起,每一项与前一项的比都等于a2.
由于3×
4与
均不属于数集{1,3,4},
∴数集{1,3,4}不具有性质P.
由于1×
2,1×
3,1×
6,2×
3,
都属于数集{1,2,3,6},
∴数集{1,2,3,6}具有性质P.
∵A={a1,a2,…,an}具有性质P,
∴anan与
中至少有一个属于A.
由于1≤a1<a2<…<an,
∴anan-an=an(an-1)>0.
∴anan>an,
故anan∉A.
从而1=
∈A,∴a1=1.
∵1=a1<a2<…<an,
∴akan>an,
故akan∉A(k=2,3,…,n).
由A具有性质P可知
∈A(k=1,2,3,…,n).
<
<…<
又1=a1<a2<…<an(n≥2),
=1=a1,
=a2,…,
=an-1,
=an.
+…+
=a1+a2+…+an-1+an.
∴(a
+a
+…+a
)an
由
(2)知,当n=5时,有
=a2,
=a3,即a5=a2a4=a
∵1=a1<a2<…<a5,
∴a3a4>a2a4=a5.∴a3a4∉A.
∈A.
由a2a4=a
,得
∈A,且1<
=a2.
即a1,a2,a3,a4,a5是首项为1,公比为a2的等比数列.第二课时
1在等比数列{an}中,a4=2,a5=1,则公比q等于( )
B.1 C.2 D.4
2等比数列{an}的各项都为正数,且a5a6+a4a7=18,log3a1+log3a2+…+log3a10等于( )
A.12B.10
C.8D.2+log35
3各项均为实数的等比数列{an}中,a2=1,a4=9,则a3=________.
4等比数列{an}中,a2009a2010a2011=8,则a2010=______.
5在
和
之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为______.
6等比数列{an}中,a1=1,a9=6561,求a5的值.
7设{an}是各项均为正数的等比数列,bn=log2an,若b1+b2+b3=3,b1·
b2·
b3=-3,求此等比数列的通项公式an.综合过关
8
(1)在各项均为正的等比数列{an}中,a3·
a9=4,a6·
a10+a3·
a5=41,求a4+a8的值;
(2)在等比数列{an}中,a5,a9是方程7x2-18x+7=0的两个根,求a7.
9三个互不相等的实数成等差数列,如果适当排列这三个数,又可成为等比数列,且这三个数的和为6,求这三个数.能力提升
10设数列{an}的首项为a1=1,前n项和Sn满足关系式3tSn-(2t+3)Sn-1=3t(t>0,n=2,3,4,…).
(1)求证:
数列{an}是等比数列;
(2)设数列{an}的公比为f(t),作数列{bn},使b1=1,bn=f(
),n=2,3,4,…,求bn.
q=
a5a6+a4a7=2a5a6=18,所以a5a6=9.
所以log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a10)=log3[(a1a10)(a2a9)…(a5a6)]=log395=10.
=a2a4=9,则a3=±
3.
±
3
4解析:
a2009a2010a2011=a
=8,
∴a2010=2.
2
5解析:
先求公比q,把三个数用a1,q表示或利用性质求解.
方法一:
设这个等比数列为{an},
其公比为q,a1=
,a5=
=a1q4=
q4.
∴q4=
,q2=
∴a2·
a3·
a4=a1q·
a1q2·
a1q3=a
q6=(
)3·
)3=63=216.
方法二:
设这个等比数列为{an},公比为q,
则a1=
,加入的三项分别为a2,a3,a4,
由题意a1,a3,a5也成等比数列,
∴a
=36.
故a3=6.
a4=a
a3=a
=216.
216
可以先解出公比q,再求a5,或利用等比中项求解.
解法一:
∵a9=a1q8=6561,
∴q=±
∴a5=a1q4=1×
(±
3)4=81.
解法二:
∵a5是a1与a9的等比中项,
=a1a9=6561.∴a5=±
81.
而a5=-81不合题意,应舍去,∴a5=81.
7分析:
需由已知条件求出公比q和某一项,再求通项公式.
由b1+b2+b3=3得log2(a1·
a2·
a3)=3.
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