高考数学常用的基本解题方法Word下载.docx
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配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a+b)<
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=a+2ab+b,将这个公式灵活运用,可得到各种基本配方形式,如:
a+b=(a+b)-2ab=(a-b)+2ab;
a+ab+b=(a+b)-ab=(a-b)+3ab=(a+)+(b);
a+b+c+ab+bc+ca=[(a+b)+(b+c)+(c+a)]
a+b+c=(a+b+c)-2(ab+bc+ca)=(a+b-c)-2(ab-bc-ca)=…
结合其它数学知识和性质,相应有另外的一些配方形式,如:
1+sin2α=1+2sinαcosα=(sinα+cosα);
x+=(x+)-2=(x-)+2;
……等等。
1.1、示范性典例:
例1.已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为_____。
A.2B.C.5D.6
【分析】先转换为数学表达式:
设长方体长宽高分别为x,y,z,则,而欲求对角线长,将其配凑成两已知式的组合形式可得。
【解】设长方体长宽高分别为x,y,z,由已知“长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24”而得:
。
长方体所求对角线长为:
===5
所以选B。
【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式,观察和分析三个数学式,容易发现使用配方法将三个数学式进行联系,即联系了已知和未知,从而求解。
这也是我们使用配方法的一种解题模式。
例2.设方程x+kx+2=0的两实根为p、q,若()+()≤7成立,求实数k的取值范围。
【解】方程x+kx+2=0的两实根为p、q,由韦达定理得:
p+q=-k,pq=2,
()+()====≤7,解得k≤-或k≥。
又∵p、q为方程x+kx+2=0的两实根,∴△=k-8≥0即k≥2或k≤-2
综合起来,k的取值范围是:
-≤k≤-或者≤k≤。
【注】关于实系数一元二次方程问题,总是先考虑根的判别式“Δ”;
已知方程有两根时,可以恰当运用韦达定理。
本题由韦达定理得到p+q、pq后,观察已知不等式,从其结构特征联想到先通分后配方,表示成p+q与pq的组合式。
假如本题不对“△”讨论,结果将出错,即使有些题目可能结果相同,去掉对“△”的讨论,但解答是不严密、不完整的,这一点我们要尤为注意和重视。
例3.设非零复数a、b满足a+ab+b=0,求()+()。
【分析】对已知式可以联想:
变形为()+()+1=0,则=ω(ω为1的立方虚根);
或配方为(a+b)=ab。
则代入所求式即得。
【解】由a+ab+b=0变形得:
()+()+1=0,
设ω=,则ω+ω+1=0,可知ω为1的立方虚根,所以:
=,ω==1。
又由a+ab+b=0变形得:
(a+b)=ab,
所以()+()=()+()=()+()=ω+=2。
【注】本题通过配方,简化了所求的表达式;
巧用1的立方虚根,活用ω的性质,计算表达式中的高次幂。
一系列的变换过程,有较大的灵活性,要求我们善于联想和展开。
【另解】由a+ab+b=0变形得:
()+()+1=0,解出=后,化成三角形式,代入所求表达式的变形式()+()后,完成后面的运算。
此方法用于只是未联想到ω时进行解题。
假如本题没有想到以上一系列变换过程时,还可由a+ab+b=0解出:
a=b,直接代入所求表达式,进行分式化简后,化成复数的三角形式,利用棣莫佛定理完成最后的计算。
1.2、再现性典例:
1.在正项等比数列{a}中,a♦a+<
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2a♦a+a✍a=25,则a+a=_______。
2.方程x+y-4kx-2y+5k=0表示圆的充要条件是_____。
A.<
k<
1B.k<
或k>
1C.k∈RD.k=或k=1
3.已知sinα+cosα=1,则sinα+cosα的值为______。
A.1B.-1C.1或-1D.0
4.函数y=log(-2x+5x+3)的单调递增区间是_____。
A.(-∞,]B.[,+∞)C.(-,]D.[,3)
5.已知方程x+(a-2)x+a-1=0的两根x、x,则点P(x,x)在圆x+y=4上,则实数a=_____。
【简解】1小题:
利用等比数列性质aa=a,将已知等式左边后配方(a+a)易求。
答案是:
5。
2小题:
配方成圆的标准方程形式(x-a)+(y-b)=r,解r>
0即可,选B。
3小题:
已知等式经配方成(sinα+cosα)-2sinαcosα=1,求出sinαcosα,然后求出所求式的平方值,再开方求解。
选C。
4小题:
配方后得到对称轴,结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。
选D。
5小题:
答案3-。
2、换元法
解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法。
换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有:
局部换元、三角换元、均值换元等。
局部换元又称整体换元,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现。
例如解不等式:
4+2-2≥0,先变形为设2=t(t>
0),而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元,应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。
如求函数y=+的值域时,易发现x∈[0,1],设x=sinα,α∈[0,],问题变成了熟悉的求三角函数值域。
为什么会想到如此设,其中主要应该是发现值域的联系,又有去根号的需要。
如变量x、y适合条件x+y=r(r>
0)时,则可作三角代换x=rcosθ、y=rsinθ化为三角问题。
均值换元,如遇到x+y=S形式时,设x=+t,y=-t等等。
我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原则,换元后要注重新变量范围的选取,一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围,不能缩小也不能扩大。
如上几例中的t>
0和α∈[0,]。
2.1、示范性典例:
例1.实数x、y满足4x-5xy+4y=5(①式),设S=x+y,求+的值。
(全国高中数学联赛题)
【分析】由S=x+y联想到cosα+sinα=1,于是进行三角换元,设代入①式求S和S的值。
【解】设代入①式得:
4S-5S·
sinαcosα=5
解得S=;
∵-1≤sin2α≤1∴3≤8-5sin2α≤13∴≤≤
∴+=+==
此种解法后面求S最大值和最小值,还可由sin2α=的有界性而求,即解不等式:
||≤1。
这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。
【另解】由S=x+y,设x=+t,y=-t,t∈[-,],
则xy=±
代入①式得:
4S±
5=5,
移项平方整理得100t+39S-160S+100=0。
∴39S-160S+100≤0解得:
≤S≤
【注】此题第一种解法属于“三角换元法”,主要是利用已知条件S=x+y与三角公式cosα+sinα=1的联系而联想和发现用三角换元,将代数问题转化为三角函数值域问题。
第二种解法属于“均值换元法”,主要是由等式S=x+y而按照均值换元的思路,设x=+t、y=-t,减少了元的个数,问题且容易求解。
另外,还用到了求值域的几种方法:
有界法、不等式性质法、分离参数法。
和“均值换元法”类似,我们还有一种换元法,即在题中有两个变量x、y时,可以设x=a+b,y=a-b,这称为“和差换元法”,换元后有可能简化代数式。
本题设x=a+b,y=a-b,代入①式整理得3a+13b=5,求得a∈[0,],所以S=(a-b)+(a+b)=2(a+b)=+a∈[,],再求+的值。
例2.△ABC的三个内角A、B、C满足:
A+C=2B,+=-,求cos的值。
(96年全国理)
【分析】由已知“A+C=2B”和“三角形内角和等于180°
”的性质,可得;
由“A+C=120°
”进行均值换元,则设,再代入可求cosα即cos。
【解】由△ABC中已知A+C=2B,可得,
由A+C=120°
,设,代入已知等式得:
+=+=+===-2,
解得:
cosα=,即:
cos=。
【另解】由A+C=2B,得A+C=120°
,B=60°
。
所以+=-
=-2,设=-+m,=--m,
所以cosA=,cosC=,两式分别相加、相减得:
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