吉林大学历届高数考题及答案Word格式.docx
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及
作曲线的两条法线,求a的值,使得曲线与这两条法线所围成的平面图形面积最小.
五、证明题(共2道小题,每小题5分,满分10分)
在
上连续,在
内可导,且
.证明在
内至少存在一点
,使得
2.设
,
,证明数列
收敛.
2008~2009学年第一学期《高等数学BⅠ》试卷
答案2009年1月12日
一
二
三
四
五
总分
一、填空题(共7道小题,每小题3分,满分21分)
1.
..
2.设
,则
3.若
与
为
时的等价无穷小,则
2.
4.设函数
由方程
所确定,则
.
5.曲线
在点
处的曲率为2.
6.设
=
7.
.
二、单选题(共7道小题,每小题3分,满分21分)
1.下列叙述正确的是
(A)有界数列一定有极限;
(B)无界数列一定是无穷大量;
(C)无穷大量数列必为无界数列;
(D)无界数列未必发散。
答:
C
2.设数列
(B)
不存在(D)
的收敛性不能确定
A
在区间
上可导,且
,则在
上有
(B)
(D)
D
4.设
具有三阶连续导数,且
则下列结论正确的是
的极小值为0(B)
是
的极大值
的极小值(D)点
是曲线
的拐点
5.已知
(A)0. (B)-2.(C)-1.(D)-0.5.
B
6.摆线
的一拱与
轴所围的平面图形绕
轴旋转所得的旋转体的体积V=
(B)
(D)
7.设向量
(B)
(C)
(D)
时
…………(4分)
…………(8分)
解
3.设
,求
=
.…………(8分)
4.计算
解:
对称,求M的坐标.
l的方向向量为
…………(2分)
L的参数方程为
过N垂直l的平面为
:
,…………(5分)
l,
交点为
,即为MN中心
设
解得M为
设曲线
作曲线的两条法线,求a的值使曲线与这两条法线所围成的平面图形面积最小.
,法线:
.…………(2分)
是偶函数.
…………(5分)
,
当
时,S为最小.…………(8分)
内可导,
使得
证明:
,在
(3分)
。
即
.…(5分)
2.设
因为
所以
单调增加。
,
所以,数列
收敛.………(5分)
2009–2010学年第一学期《高等数学BⅠ》试卷
2010年1月18日
一、选择题(共6道小题,每小题3分,满分18分).
1.曲线
处的切线方程为[].
(A)
;
(B)
(C)
(D)
2.设函数
在点
处有连续的导数,则
满足不等式[].
[].
(A)
(B)
(D)
上连续,
,则至少存在一点
,使
5.下列反常积分发散的是[].
(B)
(D)
6.曲线
面上的投影曲线方程为[].
(C)
二、填空题(共6小题,每小题3分,满分18分).
1.设
,则常数p=_________.
2.函数
的第一类间断点为x=_________.
3.设函数
连续且
__________.
连续,
__________.
的水平渐近线为______________.
6.已知点
和点
,写出与向量
同方向的单位向量
______________.
三、解答题(共7道题,每小题7分,满分49分).
1.求
处有连续的导数,且
3.已知
5.设
求
6.求函数
的极值,并求曲线
的拐点.
7.求过点
且通过直线
的平面方程.
四、(本题满分9分)设曲线
,过原点作其切线.求
(1)切线方程;
(2)由上述曲线、切线及
轴围成的平面图形的面积;
(3)由上述曲线、切线及
轴围成的平面图形绕
轴旋转所生成的旋转体的体积.
五、(本题满分6分)设
上连续
内可导,证明:
内必存在
使
2009–2010学年第一学期《高等数学B(I)》答案及评分标准
处的切线方程为[A].
满足不等式[C].
[B].
(B)
(C)
(D)
5.下列反常积分发散的是[D].
面上的投影曲线方程为[A].
,则常数p=___3____.
的第一类间断点为x=___0___.
___1___.
的水平渐近线为y=
.
原式=
…2分
…4分
…7分
所以原式=
…3分
原式
…5分
令
则
…2分
设
时,
.当
令
,得
.令
,…3分
因为当
,当
所以函数
有极小值
.…5分
又当
所以曲线
的拐点为
.…7分
由于所求的平面
过已知直线
,所求点
在平面
上.
所求平面
的法向量
.取
.…2分
,…5分
所求平面方程为
.…7分
四、
(本题满分9分)设曲线
,过原点作其切线.
(1)求切线方程;
(2)求由上述曲线、切线及
(3)求由上述曲线、切线及
(1)设切点为
已知切线过原点,将
代入上式得切点为
所求切线方程为
.…3分
(2)
.…6分
(3)
.…9分
,使得
只须证明
成立.
对
上用拉格朗日中值定理,得
.…2分
从而只须证明
对
、
上用柯西中值定理,至少存在
综上所述,在
.…6分
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