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最小是指这些变量组中每一个变量都是独立的,不可能用其它变量的线性组合来表示。
相应的,电路中
时刻的其它任何一个电压、电流都可以用状态变量和激励的线性组合来表达。
若一个电路中有几个状态变量
,这几个状态变量就构成了一个数学上的矢量
。
(变量组)
称为电路的状态矢量。
一个电路可以选出多种不同的状态矢量,但其中最容易选取的是由电容电压
、电感电流
构成的状态矢量。
结合以上定义和讨论可以看出,
确实满足状态变量的基本定义。
所以,一般在电路中将各独立电容的
,各独立电感的
作为一组状态变量,有时也可以将
、
作为一组状态变量(多用于非线性电路)。
例:
如图所示,已知某一时刻
的值,选取一组状态变量,并将其余电压、电流表示为状态变量与激励
的线性组合。
解:
以
为状态变量,记为
二、电路的状态方程和输出方程
从关于电路初始值问题的讨论中知道,如果已知
时的状态和输入,就可以确定电路中任一电流、电压在这一时刻的响应值。
也就是说,
时每一个可能的电路响应,都能用该时刻的状态变量和输入(激励)来表示。
所以,如果我们确定了状态变量的时间特性(即与时间的函数关系),就能确定在给定输入下每一个响应的时间特性。
──这就是电路的状态变量分析法的思想:
先求得状态变量,再求其余响应。
用状态变量分析法求解动态电路有两个步骤,需要建立与求解两组方程:
1.关于状态变量与时间关系的状态方程
我们以
为状态变量,建立将各
用状态变量与激励表达的方程,其中:
经整理后,可得一组将
或
以状态变量和激励表示的方程———电路的状态方程组。
其中每一个方程中只含有一个状态变量的一阶微分。
对于一个具有n个状态变量
,m个激励
的电路,状态方程(组)的一般形式为:
……
矩阵形式为:
简写为:
其中:
──状态向量(矢量)
——状态变量的一阶微分矢量
──输入向量(矢量)
——系数矩阵
状态方程是一个一阶线性微分方程组,求解状态方程便可得到状态变量的时间函数形式。
2.关于输出变量(响应)与状态变量及激励之间关系的输出方程:
将输出变量以状态变量及激励的线性组合表示即为输出方程。
若有k各输出变量,输出方程一般表示为:
——输出向量(矢量)
、
输出方程是一组代数方程,或者说是一组代数表达式。
状态变量法是动态电路的一种重要方法。
其特点是它阐明了电路的外加激励、状态变量、输出变量之间的关系,即电路运动的外因、内因和结果之间的关系。
让我们不仅看到电路的输出变化过程,也清楚地了解到电路内部情况的变化过程,因此也称“内部描述法”。
状态变量分析法的优点:
1.对于含有多个独立储能元件的较复杂电路,只需建立、求解一组联立的一阶微分方程,比求解高阶微分方程相对容易。
而且更适合于多输入、多输出电路的求解。
2.状态方程具有标准矩阵形式,便于用计算机编程求解。
3.可推广到对非线性网络的分析。
14-2状态方程的建立
建立状态方程是状态变量分析法的关键步骤,有不少方法。
本节介绍其中三种常用基本方法。
一、电容节点──电感回路法(直观法)
取
为状态变量,则
可以用
及输入来表达。
而
,
含有
的一阶微分。
具体的表达方式(方程建立)上,可对于
建立节点KCL方程,对于
建立KVL方程。
换句话说,为了建立关于
的方程,我们对接有电容的节点建立KCL方程,而为建立关于
的方程,对包含电感的回路来建立KVL方程。
基本步骤:
(1)选取电路中各独立电容的电压
、各独立电感的电流
为电路的状态变量。
注意:
只有被确认是独立的电容电压或电感电流才能作为状态变量。
独立——其中任何一个
都不可能用其它电容电压或电感电流及电流激励的线性组合来表示。
如果电路中有以下情况,就会存在非独立的电容与电压:
1)与理想电压源并联的电容为非独立的;
2)与理想电流源串联的电感为非独立的;
3)若全部由电容及电压源构成的回路中有n个电容,只有
个电容是独立的。
4)若全部由电感支路及电流源构成的节点(或割集)上有m个电感,只有
个独立电感是独立的。
(2)对每个独立电容,选取它所连接的一个结点,建立KCL方程。
方程中含有该电容的电流
,而
若将此方程中所有非状态变量代换为状态变量和激励,再加以整理,便可得到一个关于
的方程。
这个方程中只能含有一个独立电容电压的一阶微分,所以为避免麻烦,应该选择只接有一个电容的结点建立方程。
(3)对每个独立电感,找出一个包含它的回路,建立KVL方程。
回路中也应该只含有这一个电感。
KVL方程中必然含有
,将方程中所有非状态变量都代换为状态变量和激励,经整理可得到一个关于
最后,联立所得方程,或将其表示为矩阵形式,即得到电路的状态方程。
要领:
节点应选取只有一个电容的,回路应选只包含一个电感的。
例1图如前例
(1)选
为状态变量
(2)建立节点KCL:
(3)建立电感回路KVL
状态方程
∴
输出方程:
例2如图,列出电路的状态方程及输出方程
解:
状态变量
三维状态矢量。
节点①
节点②
,即
对电感所在网孔列KVL:
整理,可得:
∴
二、电容割集-电感回路法(拓扑法)(观察法)
电容割集-电感回路法是电容结点-电感回路法的一种改进方法。
如果一个电容的两端结点上都连接有其它电容,则无论取其中那一个结点建立KCL方程,方程中都含有两个电容电压的一阶微分,要消去其中不要的那一个将十分麻烦。
为避免出现这类问题,可以不对电容结点,而对电容割集建立KCL方程,使方程中只含有一个电容电压的一阶微分。
其步骤:
首先画电路拓扑图,选一个适当的“树”,然后分别建立包含单个独立电容的基本割集的KCL方程,包含单个独立电感的基本回路的KVL方程,再经代换、整理得到状态方程及输出方程。
选树的原则:
1)树支选择优先顺序为:
独立电容支路、电压源支路、电阻支路。
2)连支选择优先顺序为:
独立电感支路、电流源支路、电阻支路。
例写出状态方程:
图为状态变量
割集1
即:
割集2
即
回路方程
即
例
列状态方程,状态变量
作出拓扑图,以2、4为树支。
1回路:
,2割集:
3回路:
4割集:
5回路:
三、迭加法
迭加法是应用替代定理和叠加定理来列写状态方程的方法。
只适用于线性电路。
具体方法和步骤:
1.选独立的
为状态变量。
(独立的)
2.应用替代定理,用独立电压源替代电容,电压源电压为
;
用独立电流源替代电感,电流源电流为
3.应用叠加定理,让激励电源,替代电压源
,替代电流源
各自单独作用,分别求得相应产生的
分量,然后叠加求得总的
的表达式。
4.整理
表达式,得状态方程。
例电路如前例,分别用电压源、电流源替代电容
、电感
单独作用:
∴
例:
如图,列写状态方程。
确定状态变量:
与
并联,显然
非独立。
,也只有一个独立。
所以状态变量为
,即
∴
以上三种方法各有特点。
直观法与观察法直观、明了,但对其中非状态变量的代换有可能十分困难;
叠加法不存在对非状态变量的代换问题,但过程比较繁琐。
课堂练习:
14-3状态方程的频域解法
对状态方程
等式两端取拉氏变换:
得:
其中
──预解矩阵。
是状态方程的频域解(向量),即状态向量的复频域形式。
对其求拉氏反变换即可得状态方程的时域解。
其中:
仅与初始值有关,即为由初始状态引起的零输入响应。
而
仅与激励有关。
是零状态响应。
二者之和为状态方程的解。
例求状态方程
的时域解:
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