郭硕鸿电动力学习题解答完全版16章Word文档下载推荐.docx
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du
∇⋅Ar(u)=∇u⋅
dAr
r
∇×
Ar(u)=∇u×
.
dA
证明
1
∇f(u)=∂f(u)erx+∂f(u)ery+∂f(u)erz=
df
du∂x
⋅
ex+
df∂uery+df∂ur
ez=df∇u
∂u
∂x
∂y
∂z
du∂y
du∂z
∂Ary(u)
dAry(u)
∂Arx(u)+
+∂Arzz(u)=dArx(u)⋅∂u+
⋅∂u+dArz(u)⋅∂u
∂z=∇u⋅du
∇⋅Ar(u)=
dz
3
e
z
∂
∂Ary)erx+(∂Ar
−
∂Ar
∂Arx)erz=
x
y
Ar(u)=
=(∂
x−∂
)ey+(y−
A
Ar
Ay(u)Az(u)
x(u)
-1-
=(dArz∂
dAry∂ur
dArx∂u−dA
u−dAu
)ey+(dA
u−du∂z)ex+(
∂ur
∂r
du∂xdu∂y)ez=∇u×
du
du∂zdu∂x
3.设r=(x−x
'
)
+(y−y
+(z−z
为源点x
到场点x的距离r的方向规定为从
源点指向场点
r∂'
+er∂'
+er∂
1证明下列结果并体会对源变数求微商(∇
=e
∂z'
)与对场变数求
x∂x
y∂y
微商(∇=erx∂
r∂r∂
+ez
∂z)的关系
∂x+ey∂y
1
∇r=−∇'
r=,∇=−∇=−
∇×
r
3=0,∇⋅r=−∇'
3=0.(r≠0)
(最后一式在人r0点不成立见第二章第五节)
2求
∇⋅rr,∇×
rr,(ar⋅∇)rr,∇(ar⋅rr),∇⋅[Er0sin(kr⋅rr)]及∇×
[Er0sin(kr⋅rr)],其中ar,kr及Er0均为常矢量
证明∇⋅rr=
∂(x−x
)+
∂(y−y
)+∂(z−z
)=3
rr=
=0
x−x
y−y
z−z
∂v
(av⋅∇)rr=[(axevx+ayevy+azevz)⋅(ex+∂∂yevy+∂∂zevz)][(x−x'
)evx+(y−y'
)ery+(z−z'
)evz]
=(ax∂+ay∂+az)[(x−x'
=axevx+ayevy+azevz=av
∇(av⋅rv)=av×
rv)+(av⋅∇)rv+rr×
av)+(rv⋅∇)⋅av
=(av⋅∇)rv+rv×
(∇×
av)+(rv⋅ar)⋅av
=av+rv×
∇⋅[Er0sin(kr⋅rr)]=[∇(sin(kr⋅rr)]⋅Er0+sin(kr⋅rr)(∇⋅Er0)
-2-
=[∂∂xsin(kr⋅rr)erx+∂∂ysin(kr⋅rr)ery+∂∂zsin(kr⋅rr)erz]E0
=cos(kr⋅rr)(kxerx+kyery+kzerz)Er0=cos(kr⋅rr)(kr⋅Er)
[Er0sin(kr⋅rr)]=[∇sin(kr⋅rr)]×
Er0+sin(kr⋅rr)∇×
Er0
4.应用高斯定理证明
dV∇×
fr=∫SdSr×
fr
∫
V
应用斯托克斯
Stokes定理证明
∫SdSr×
∇φ=∫Ldlrφ
1)由高斯定理
dV∇⋅gr=∫SdSr⋅gr
∂g
即
(∂
g
x+
y+
zz)dV=∫gxdSx+gydSy+gzdSz
S
而∇×
frdV=[(fz−∂∂zfy)ir+(fx−∂∂xfz)rj+(fy−∂∂yfx)kr]dV
=
[∂∂x(fykr−fzrj)+∂∂y(fzir−fxkr)+∂∂z(fxrj−fyir)]dV
rr
[(fzdSy−fydSz)ir+(fxdSz−fzdSx)rj+(fydSx−fxdSy)kr]
(fykr−fzrj)dSx+(fzir−fxkr)dSy+(fxrj−fyir)dSz
dS×
f
又
若令Hx=fykr−fzrj,Hy=fzir−fxkr,HZ=fxrj−fyir
则上式就是
∇⋅HrdV=∫SdSr⋅Hr,高斯定理则证毕
2)由斯托克斯公式有
fr⋅dlr=∫S∇×
fr⋅dSr
l
fr⋅dlr=
l(fxdlx+fydly+fzdlz)
∫S∇×
fr⋅dSr=∫S
fz−∂fy)dSx+(fx−∂fz)dSy+(fy−∂fx)dSz
∂z∂z∂x∂x∂y
(∂y
而∫dlrφ=
l(φidlx+φjdly+φkdlz)
-3-
∇φ=∫S
(
dSz)ir+(
dSx)rj+(
dSy)kr
∂φdS−∂φ
∂φdS−
∂φ
∂φrj)dS+(∂φ
i−∂∂φxkr)dSy+(∂∂φxrj−∂φ∂yir)dSz
k−
若令fx=φi,fy=φj,fz=φk
则证毕
5.已知一个电荷系统的偶极矩定义为
Pr(t)=
ρ(x,t)xdV
r'
利用电荷守恒定律∇⋅Jr+∂ρ
∂t=0证明P的变化率为
dPr=
dt
J(x,t)dV'
∂Pr=∂ρr'
∂txdV
=−
∇
j
xdV
∂t
∂t)x=−
∂P
∇'
rj'
x'
dV'
=−∫[∇'
⋅(x'
j)−(∇'
)⋅rj'
]dV'
=
(jx'
−∇'
j)dV'
jxdV
∫Sxrj⋅dSr
若S→∞,则()⋅
xjdSr
=0,(rjS=0)
∂t)y=
∂ρ
(∂ρ∂t)z=jdV
jdV
同理
dPr=rr'
jx,t)dV'
mr×
Rr的旋度等于标量ϕ=mr⋅Rr的梯
6.若m是常矢量证明除R0点以外矢量Ar=
R
度的负值即
Ar=−∇ϕ
其中R为坐标原点到场点的距离方向由原点指向场点
mv×
Rv)
1v
Av=∇×
(
=−∇×
[mv×
(∇R1)]=(∇⋅mv)∇+(mv⋅∇)∇−[∇⋅(∇)]m−[(∇)⋅∇]mv
-4-
=(mv⋅∇)∇,(r≠0)
∇ϕ=∇(mv⋅Rv
)=−∇[mv⋅(∇)]=−mv×
[∇×
(∇)]−(∇)×
mv)−(mv⋅∇)∇
−[(∇)⋅∇]mv=−(mv⋅∇)∇
∴∇×
Av=−∇ϕ
7有一内外半径分别为r1和r2的空心介质球介质的电容率为ε使介质内均匀带静止自
由电荷ρf求
1空间各点的电场
2极化体电荷和极化面电荷分布
∫SDr⋅dSr=
ρfdV,
(r2>
r>
r1)
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