高中数学教学中渗透数形结合思想的重要性Word格式文档下载.docx
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所谓直觉思维就是人脑对于突然出现在面前的事物、现象、问题及其关系的一种迅速识别,敏锐而深入的洞察,直接的本质理解和综合的整体判断。
直觉思维贯穿于日常生活学习中,具有迅捷性、直接性、本能意识等特点。
然而,这种思维也可以通过后天努力填补空缺。
由于我们传统意识的影响,生活中的性别比例逐渐有所失调,男孩多于女孩。
然而,男女生的天性差别和优胜劣汰的生存法则,从某个层面决定了不同年龄阶段性别的分布。
比如高中学生中,男女生人数旗鼓相当,但是,优生中男生占绝对优势。
这种现象的形成,很大一部分原因和直觉思维有关。
男生天生整体思维突出,善于辨别和判断,具有较强的空间想象能力,有较强的“形”的感知力。
随着年级的上升,数学知识日渐深化,难度逐步提高,要求学生有较强的数学能力,男生的这种先天优势得以施展。
特别是数形结合思想的学习和运用,男生比女生应用的更灵活一些,这是因为男生的直觉思维远远超过女生。
我们做题的过程是先读题、审题,然后对已知和所求进行汇总,通过直觉思维对解题方法做出初步判断——是否应用数形结合。
因此,直觉思维的活跃度,与数形结合思想方法的掌握度几乎是成正比的。
也正因为这样,高中数学课程中渗透数形结合思想显得尤为重要,让天生占优势的男生把这种思想应用到炉火纯青的地步,不占优势的女生也能通过后天的努力娴熟掌握这种思想,最后在高考中跟时间赛跑取得胜利。
三、高中函数题目数形结合的体现
现行的数学课改教材,在内容上的变化特点明显,适合学生的认知水平和接受能力,适应人类新型知识体系的构建和形成,使数学本身的应用价值、文化价值和智力价值充分彰显出来,确立了它在学校课程中的重要地位。
课程内容强调“学生为主体教师为主导”的数学活动,发展学生的数感、符号感、空间观念、统计观念以及应用意识和能力,为大学数学课程的学习奠定坚实基础。
数形结合在高中数学课程中的应用非常广泛——集合运算与维恩图,解不等式或者求参数,函数及其图像,解析几何,向量等等。
然而,函数是高中数学的基础和核心,也是高考考查的重点,学生对基本函数的掌握已经有十一种之多,每个函数的表达式及其性质都是结合其图像掌握记忆的。
学生们还把这些函数图象与生活中的一些常见身体姿势相联系,并用漫画和文字顺口溜的形式表述出来,便于记忆。
高中教师在数学教学中,首要任务之一就是采用归纳和提炼的方法,引导学生在数学学习过程中,充分挖掘教材中的数形结合思想,使这种深层的数学学习,在平时的应用中循序渐进、由浅入深,寻找到解题思路后,把问题化繁为简、化难为易,达到自觉、自由的熟练运用。
例1.已知函数
,若
为方程
的根,且
,则
的值()
(A)恒为正(B)等于零(C)恒为负(D)不小于零
【思路点拨】画出函数
和
的图像,由图即得。
【精讲精析】判断
值的正负,即比较函数
在
处值的正负,由图可得。
【答案】C
【点评】本题考查学生转化化归思想,以及对函数图像的灵活应用,属于基础题目。
例2.若
是方程
的根,则
属于区间()
(A)
(B)
(C)
(D)
【思路点拨】应用零点存在定理,或者利用数形结合画图分析。
【精讲精析】利用幂指数比较大小,确定区间端点函数值的正负,应用零点存在定理,即函数
在区间
连续,且满足
,则
存在零点。
或者画出
的图像即可。
如下图:
【点评】本题考查幂指函数的基本知识和图像的掌握,利用数形结合,既直观又便捷。
属于基础题目。
例3.(2012·
天津高考理科·
T14)已知函数
的图象与函数
的图象恰有两个交点,则实数
的取值范围是。
【思路点拨】化简函数
,在同一个坐标系中画出两个函数的图象,数形结合求得k的范围。
【精讲精析】根据绝对值的意义,
在直角坐标系中作出该函数的图象如图所示。
∵函数
的图象直线恒过定点
,
且
,∴
,由图象可
【答案】
【点评】本题是基本的绝对值、一次函数、函数与方程知识点的综合应用,是典型的数形结合思想应用求参数范围的题目。
主要考查学生对基础知识的掌握和应用能力,画图过程中必须注意到端点的虚实。
属于中等难度题目。
例4.(2013·
T7)函数
的零点个数为 ( )
A.1B.2C.3D.4
【思路点拨】先利用零点的四种等价说法把题目进行转化,再利用数形结合的方法求解,图象交点的个数即为零点的个数。
【精讲精析】函数
的零点即
的解,即
的解,作出函数
和函数
的图象,
由图象可知,两函数共有两个交点,故函数
有2个零点。
【答案】B
【点评】本题是综合零点的等价转化、指对函数基本图像、图像变换等知识,考查学生综合解决问题的能力。
例5.已知定义在R上的奇函数
,满足
,且在区间
上是增函数,若方程
,在区间
上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=( )
A.-12B.-8C.-4D.4
【思路点拨】根据函数
的性质,作出其在
上的图象,数形结合求解。
【精讲精析】因为
是定义在R上的奇函数,满足
,所以
,所以函数图象关于直线x=2对称且
,由
知
,所以函数是以8为周期的周期函数。
又因为
上是增函数,所以
上也是增函数,
上的大致图象如图所示,那么方程
上有四个不同的根x1、x2、x3、x4,不妨设x1<
x2<
x3<
x4,由对称性知
即
,同理:
。
【点评】本题是函数性质的综合应用,要求学生在熟练掌握性质的基础上,灵活应用性质解决函数问题,属于中等偏难题目。
例6.(2011·
T8)对实数
,定义运算“
”:
设函数
若函数
的图像与
轴恰有两个公共点,则实数
的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
【思路点拨】本题需要先利用函数零点的四个转化,把问题转化成图像交点问题,同时还要求学生对新概念的理解正确,然后利用数形结合思想解决。
【精讲精析】∵
∴函数
由图可知,当
,函数
与
的图像有两个公
共点,∴c的取值范围是
【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,属于中等偏难题目。
四、应用数形结合的原则及注意事项
通过数与形相互转化解决数学问题,最终实现数形结合,通常和以下内容有关:
(1)实数与数轴上的点一一对应;
(2)函数与图象一一对应;
(3)曲线与方程一一对应;
(4)以几何元素及其背景建立起来的概念,如复数、三角函数等;
(5)所给表达式的结构有明显的几何意义。
应用数形结合的思想时,应本着以下三个原则:
等价性原则——图形有局限性,不能完整体现数的严谨性,只是一种浅显、直观的表现,数与形的转化必须是等价的,否则会出差错;
双向性原则——代数抽象探索与几何直观分析务必同步进行,缺少任何一方都如同单脚走路,万分艰难;
简单性原则——明确解题思路后,通过比较代数方法与几何方法,筛选哪种方法更简单,或者数与形两者兼用。
一旦确定运用数形结合思想分析和解决问题,要注意三点:
彻底弄清楚相关概念和运算的几何意义,以及曲线的代数特征,对题目中条件与结论的几何意义和代数意义一同分析;
“形”中觅“数”、“数”上构“形”,建立两者关系,做好数形转化;
恰当设参、合理用参,正确确定参数的取值范围。
几何图形反映数量关系,数量关系决定几何图形是数形结合的本质,进行数形转化的目的是为了把形的生动性和直观性,与数的规范性和严密性相结合,使抽象问题迎刃而解。
五、教学中运用数形结合思想的收获
所谓的“数形结合”,就是数学问题中已知和所求的“桥”,为两者提供内在联系的依据,通过分析题目中的代数意义,揭示其几何的直观意义。
因此,数形结合这一数学方法的有效运用,在高中数学教学中发挥着非常奇妙的作用。
下面就和大家一起分享一下,我的学生在运用此种方法中所得到的惊喜和收获,也许不是最好的方法,但却是相对简便且容易理解的方法。
例.(期中考试T19)已知函数
且在区间
上的最大值为0。
(1)求函数
的解析式;
(2)判断函数
内的零点个数,并加以证明。
【精讲精析】
(1)显然
上恒成立,且能取到等号
上恒成立,且能取到等号
∵
上单调递增
∴
(2)方法一:
来源于参考答案
,且函数
的图象在
上连续不断.
当
时,
上单调递减
存在唯一
使
又∵
上单调递增,在
注意到
上有唯一零点,即函数
内有一个零点。
【点评】导数问题是课改以来高考大题的必考题型,当导数等于零的方程不能求根时,就把导函数看成一个新的函数,继续求导函数的导数,研究原函数的导函数的单调性和函数的正负。
此方法是此类问题的通法,但是学生掌握起来较为困难。
方法二:
来源于我的学生考试过程中做出的答案
由
(1)知
要求
在区间
上的零点个数,只需求正弦函数
与反比例函数
图像在区间
上的交点个数,如下图。
方法三:
由
得
下面只需讨论
x图像在区间
上,即可知
数值的正负和
的增减性,如下图
时
,∴由图知,
,即
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