专升本高等数学课件知识归纳大全PPT资料.ppt
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并非任何两个函数都可以复合,(03),(07),(08),(五)基本初等函数常用的有六类14个,(六)初等函数由基本初等函数()经过有限次的和,差,积,商运算,()有限次的复合运算,()且可用一个公式表示的函数.非初等函数举例:
二.极限,
(一)极限定义,
(二)性质,单调有界数列必有极限.夹逼定理3.,4.四则运算(有极限;
有限个),(三)求极限,1.两个重要极限,(06),(03),(09),(10),2.其他,举例,3.罗必塔法则,三.无穷小.无穷大,1.定义2.性质,例题(性质),3.无穷小阶的比较(教材P27),设,例题(阶比较),(05),(07)当,时,下列函数中能成为,的等价无穷小的是(D),(B),(C),(D),(A),(09),当时,下列四组函数中为等价无穷小的是(B),(A),(B),(C),(D),4.等价无穷小代换定理(教材P27),定理,结论,例题(等价无穷小代换),四.连续与间断,
(一)连续1.2.连续三要素,3.左右连续,
(二)间断点分类,第一类(都存在的间断点)
(1)可去间断点
(2)可去间断点(3)跳跃间断点第二类(至少一个不存在的间断点)(4)无穷间断点(5)振荡间断点,(07),(模A),eg,(三)闭区间上连续函数的性质,定理1定理2定理3(介值定理)(教材P3132)定理4(根值定理),(模B),eg,(模C),第二章导数与微分,一.导数的概念1.定义2.几何意义3.左右导数4.可导与连续的关系,(10),二.求导数归纳,2.四则运算3.反函数求导例,1.基本导数公式,(04),(06),4.复合函数求导,(10),(10)计算题,5.隐函数求导显函数-隐函数-,(09),对数求导法,
(1),例,6.参数方程求导,
(1)
(2)(3)(4),(6)(09),(5)(08),7.高阶导数,例,例(高阶导数),8.分断函数求导,例题(分断函数求导),讨论在的连续性;
讨论在的可导性;
求,9.从定义求导,定义,例题(从定义求导),(05),(10),则,2,(模B),三.微分,
(一)概念1.定义2.几何意义3.微分两个特性4.微分形式的不变性
(二)计算1.公式2.四则运算,第三章中值定理.导数应用,一.中值定理
(一)RolleTh若,则至少,使,注意:
(1)条件是充分条件;
(2)条件不成立,结论未必成立.,例不求的导数,验证必有根,验证,对,的正确性,RolleTh,不求的导数,说明有几个实根,并指出根所在区间.,(10),
(二)LagrangeTh,若,则至少,使,推论:
若在则在,例题(LagrangeTh),证明:
例题(LagrangeTh),验证在对LagrangeTh的正确性;
验证在对LagrangeTh的正确性;
证明:
对,恒有,证明:
当恒有,(三)CauchyTh,若,则至少,使,二.罗必塔法则,定理:
若则,罗必塔法则几种形式,例题(罗必塔法则),注意,
(1)只有,才可考虑用Th
(2)每次用Th后,必须化简不能断定不存在,.只能说明Th失效,(4)还原例子,例题(罗必塔法则),(03),三.单调性.极值.凹凸.拐点.作图,
(一)单调性Def1Th1,例题(单调性),(10),讨论单调性,极值步骤,1.求2.求驻点与不可导点3.由两种点分D(f)为若干区间,由Th判别单调性,极值.,例题(单调性证明不等式),
(二)极值,Def2.定义在,在,例题(极值),求极值,求极值,求极值,极值判别法,在,可导,在连续.,Th2,极值判别法,Th3,极值存在的必要条件,Th4,极值点可从驻点与不可导点找1.可导函数的极值点驻点2.不可导点也可能取得极值,举例,驻点取得极值,驻点不取得极值,不可导点不取得极值,不可导点取得极值,(三)最大值.最小值,1.一般情况只有一个极大(小)值而无极小(大)值则,例题(最大值.最小值),例题(最大值.最小值),无盖圆柱形水池,体积定值V,底造价是侧面造价的2倍.问:
半径r=?
高度h=?
用费最省?
(四)凹凸.拐点,1.凹凸定义2.凹凸判别3.拐点判别4.两种特殊情况,讨论曲线凹凸与拐点步骤,1.求2.求使与不存在的点3.由两种点分D(f)为若干区间,由Th判别曲线凹凸与拐点.,(10),eg,eg,(五)渐近线.作图,1.水平渐近线2.垂直渐近线3.作图步骤
(1)求D(f),Z(f)
(2)奇偶性、周期性(3)单调性、极值(4)凹凸性、拐点,例,3.作图步骤(5)渐近线(6)特殊点(7)描图,第四章不定积分,4.1概念.性质4.2换元积分法,4.3分部积分法,4.4几种特殊类型函数的积分,4.1概念.性质一.原函数Def1若,说明:
1.,2.,则称,二.不定积分,不定积分的几何意义,Def2,三.基本积分公式P88,四.不定积分的性质,1.2.3.4.,例题,4.2换元积分法,换元积分法,特点,Th,
(一)凑微分举例,1.形如,凑微分举例,2.,凑微分举例,3.,凑微分举例,4.,凑微分举例,5.,凑微分举例,6.,
(二)特殊三角函数积分举例,换元积分法,Th,特点,类型,1.三角置换,类型,2.含,类型,3.,类型3(续),4.3分部积分法,设,类型,一.,二.,三.,(分部2次,要移项),例题(分部积分法),例题(分部积分法),4.4几种特殊类型函数的积分,一.有理函数积分1.有理真分式的分解,2.待定系数
(1)比较法;
(2)代入法,例,3,有理真分式的积分,例,二.三角函数有理式的积分,1.万能置换,则,例题(万能置换),2.凑微分,三.简单无理函数的积分,第五章定积分,5.1定积分的概念5.2定积分的性质5.3微积分的基本公式,5.4定积分的换元积分法,5.5定积分的分部积分法,5.6广义积分,5.1定积分的概念一.引例1.曲边梯形面积2.变速直线运动的路程二.定积分的Def注
(1)2个有关;
(2)3个无关;
(3),注(4)充分条件,三.几何意义,5.2定积分的性质,5.2定积分的性质,例题(概念.性质)1.比较大小.2.估值.,5.3微积分的基本公式,一.变上限积分二.牛顿-莱布尼兹公式,5.4定积分的换元积分法,注意:
1换元法实质:
换元同时换限2遇到被积函数含有偶次根式,注意取算术根,结论,5.5定积分的分部积分法,5.6广义积分,一.积分区间为无穷的广义积分二.被积函数含无穷间断点的广义积分,第五章定积分,5.7定积分的元素法5.8平面图形的面积5.9体积5.10平面曲线的弧长5.11定积分的物理应用,定积分的几何应用5.75.85.95.10,
(一)一个量Q可用定积分计算的条件
(1)Q是a,b上的定量
(2)Q对a,b具有可加性(3)x,x+dx上部分量可近似表为,简记为,
(二)元素法步骤,
(1)建立坐标系,确定积分变量
(2)求上部分量的近似值(3)定限积分求总量,定积分的几何应用,一.平面图形的面积二.体积三.平面曲线的弧长,(模A)29.求由曲线与直线所围成的平面图形的面积;
且求上述平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积。
(eg).求由曲线与它的过原点的一条切线及轴所围成的平面图形的面积;
(03).
(1)求曲线在点的切线方程;
(2)由曲线、切线及轴所围成的平面图形的面积;
(3)求上述平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积。
(eg).求正劈锥的体积。
定积分的物理应用5.11,一.变力作功,二.液体静压力,第七章.向量代数与空间解几,7.1空间直角坐标系.一.空间直角坐标系.1.Def,八个挂限,点的坐标符号1(+,+,+)2(-,+,+)3(-,-,+)4(+,-,+)5(+,+,-)6(-,+,-)7(-,-,-)8(+,-,-)2.空间中点的坐标,二.空间两点间的距离,设点则,7.2向量代数,一.向量概念与同方向的单位向量,二.向量加法,平行四边形法则,三角形法则,三.数乘向量,7.2向量代数,四.向量在坐标轴上的投影1.两向量夹角2.向量在轴上的投影,7.2向量代数,五.向量分解.向量坐标.向量的模.方向余弦点向径坐标表达式分量表达式,7.2向量代数,五.向量分解.向量坐标.向量的模.方向余弦,点向量坐标表达式分量表达式,向量的模,7.2向量代数,五.向量分解.向量坐标.向量的模.方向余弦向量的方向余弦,7.2向量代数,六.两向量的数量积1.Def性质,7.2向量代数,六.两向量的数量积2.公式,7.2向量代数,六.两向量的数量积3.两向量的夹角,例题(数量积),
(1),例题(数量积),(05)单位向量满足则,(3)(04),7.2向量代数,六.两向量的向量积1.Def,性质,六.两向量的向量积,性质(3)基本单位向量性质,(4),7.2向量代数,六.两向量的向量积2.公式,7.2向量代数,六.两向量的向量积3.结论,例题(向量积),
(1)求与垂直的单位向量,
(2),例题(向量积),(3)(07)满足则,(答案.6),7.3曲面与方程,一.曲面与方程1.Def若
(1)纯粹性
(2)完备性则称为曲面S的方程,曲面S是方程的图形.,7.3曲面与方程,2.建立轨迹方程步骤
(1)设M(x,y,z)为轨迹上的任一点,依轨迹条件建立等式
(2)以M点坐标代入等式得方程(3)化简方程(4)证明(略),7.3曲面与方程,3.曲面研究两个问题
(1)已知曲面作为点的几何轨迹,求其方程;
(2)已知曲面方程,研究曲面性质。
7.3曲面与方程,二.柱面Def动直线平行轴动直线沿定曲线平行移动(母线)(准线)说明:
三元方程少一个字母,则表示柱面,柱面准线母线母线/Z轴母线/X轴母线/Y轴,柱面(例题),
(1)圆柱面
(2)抛物柱面(3)椭圆柱面(4)双曲柱面,7.3曲面与方程,三.旋转曲面,旋转曲面(例题),
(1),
(2),7.4平面与方程,一.点法式,7.4平面与方程,二.一般式讨论,7.4平面与方程,三.截距式四.两平面夹角,7.4平面与方程,五.点到平面的距离,平面与方程(例题),
(1)说明平面特点
(2)(3)(4),平面与方程(例题),(5)求两平面,夹角,(6)求P到距离,平面与方程(例题),(7)求过的平面,(8)过三点,求,7.5空间曲线,一般方程,注:
空间曲线方程不唯一,7.5空间曲线,例题
(1)
(2)(3),与,7.6空间直线,一.一般式方程,7.6空间直线,二.点向式(对称式),7.6空间直线,三.参数式,7.6空间直线,四.两直线夹角,7.6空间直线,两直线的关系,7.6空间直线,五.直线与平面的夹角,7.6空间直线,五.直线与平面的夹角,7.6空间直线,直线与平面的关系,例题(空间直线),
(1)求过且过点的平面方程
(2)求过的直线(3)求过点且垂直所在平面的直线方程,例题(空间直线),(4)直线化为点向式(5)求两直线夹角,例题(空间直线),(6)求过点与都平行的直线,7.7二次曲面,一.椭球面,截痕法,7.7二次曲面,二.双曲面1.单叶双曲面2.
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