新教材人教A版必修第二册平面向量数乘运算的坐标表示 课时作业.docx
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新教材人教A版必修第二册平面向量数乘运算的坐标表示课时作业
平面向量数乘运算的坐标表示
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)
1.下列各组向量中,不能作为平面内所有的向量的基底的一组是( )
A.a=(-1,2),b=(0,5)
B.a=(1,2),b=(2,1)
C.a=(2,-1),b=(3,4)
D.a=(-2,1),b=(4,-2)
选D.因为(-2)×(-2)-1×4=0,所以a与b共线,不能作为平面内向量的基底.
2.若=i+2j,=(3-x)i+(4-y)j(其中i,j的方向分别与x,y轴正方向相同且为单位向量).与共线,则x,y的值可能分别为( )
A.1,2 B.2,2C.3,2 D.2,4
选B.由题意知,=(1,2),=(3-x,4-y).
因为∥,所以4-y-2(3-x)=0,即2x-y-2=0.只有B选项,x=2,y=2代入满足.
补偿训练
设向量a,b满足|a|=2,b=(2,1),且a与b的方向相反,则a的坐标为( )
A.(-4,-2) B.(3,4)
C.(4,2)D.(-3,-4)
选A.因为b=(2,1),且a与b的方向相反,
所以设a=(2λ,λ)(λ<0).因为|a|=2,
所以4λ2+λ2=20,λ2=4,λ=-2.
所以a=(-4,-2).
3.若a=(x,2),b=,c=a+2b,d=2a-b,且c∥d,则c-2d等于( )
A.B.
C.(1,2)D.(-1,-2)
选D.c=(x+1,4),d=,
因为3(x+1)=4,所以x=1.
所以c=(2,4),d=,c-2d=(-1,-2).
4.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量4a,3b-2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c等于( )
A.(1,-1)B.(-1,1)
C.(-4,6)D.(4,-6)
选D.因为4a,3b-2a,c对应的有向线段首尾相接能构成三角形,所以4a+3b-2a+c=0,故有c=-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6).
5.已知向量a=(1,2),b=(0,1),设u=a+kb,v=2a-b,若u∥v,则实数k的值是( )
A.-B.-C.-D.-
选B.v=2(1,2)-(0,1)=(2,3),u=(1,2)+k(0,1)=(1,2+k).因为u∥v,所以2(2+k)-1×3=0,解得k=-.
6.(多选题)下列向量组中,不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )
A.e1=(0,0),e2=(1,-2)
B.e1=(-1,2),e2=(5,7)
C.e1=(3,5),e2=(6,10)
D.e1=(2,-3),e2=
选ACD.A中向量e1为零向量,所以e1∥e2;C中e1=e2,所以e1∥e2;D中e1=4e2,所以e1∥e2.
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.已知向量=(k,12),=(4,5),=(-k,10),且A,B,C三点共线,则实数k的值是________.
=-=(4-k,-7),
=-=(-2k,-2).
因为A,B,C三点共线,所以,共线,
所以-2×(4-k)=-7×(-2k),解得k=-.
答案:
-
8.对于任意的两个向量m=(a,b),n=(c,d),规定运算“⊗”为m⊗n=(ac-bd,bc+ad),运算“⊕”为m⊕n=(a+c,b+d).设m=(p,q),若(1,2)⊗m=(5,0),则(1,2)⊕m等于________.
由(1,2)⊗m=(5,0),可得
解得
所以(1,2)⊕m=(1,2)⊕(1,-2)=(2,0).
答案:
(2,0)
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC与OB的交点P的坐标.
设P(x,y),则=(x,y),因为=(4,4),且与共线,所以=,即x=y.又=(x-4,y),=(-2,6),且与共线,则得(x-4)×6-y×(-2)=0,解得x=y=3,所以P点的坐标为(3,3).
10.在△ABC中,已知点A(3,7),B(-2,5).若线段AC,BC的中点都在坐标轴上,求点C的坐标.
(1)若AC的中点在y轴上,则BC的中点在x轴上,设点C的坐标为(x,y),由中点坐标公式,得=0,=0,所以x=-3,y=-5,即C点坐标为(-3,-5).
(2)若AC的中点在x轴上,则BC的中点在y轴上,则同理可得C点坐标为(2,-7).
综合
(1)
(2),知C点坐标为(-3,-5)或(2,-7).
(35分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)
1.已知向量a=(1,0),b=(0,1),c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d,那么( )
A.k=1且c与d同向B.k=1且c与d反向
C.k=-1且c与d同向D.k=-1且c与d反向
选D.若c∥d,则c=λd,所以(k,1)=λ(1,-1),所以k=λ=-1,所以k=-1,且c与d反向.
2.已知点A(-1,1),点B(2,y),向量a=(1,2),若∥a,则实数y的值为( )
A.5B.6C.7D.8
选C.=(3,y-1),又∥a,所以(y-1)-2×3=0,解得y=7.
3.下列向量中,与向量c=(2,3)不共线的一个向量p=( )
A.(3,2)B.C.D.
选A.因为向量c=(2,3),对于A,2×2-3×3=-5≠0,所以A中向量与c不共线.
补偿训练
已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+nb与a-2b共线,则=( )
A.2 B.3 C.±2 D.-2
选D.向量a=(2,3),b=(-1,2),
则ma+nb=(2m-n,3m+2n),a-2b=(4,-1),
若ma+nb与a-2b共线,
所以-2m+n=12m+8n,
即14m=-7n,所以=-2.
4.(多选题)已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0),(3,0),(1,-5),则第四个顶点的坐标是( )
A.(1,5)B.(-3,-5)
C.(3,5)D.(5,-5)
选ABD.设A(-1,0),B(3,0),C(1,-5),
第四个顶点为D,①若这个平行四边形为▱ABCD,
则=,所以D(-3,-5);
②若这个平行四边形为▱ACDB,
则=,所以D(5,-5);
③若这个平行四边形为▱ACBD,
则=,所以D(1,5).
综上所述,D点坐标为(1,5)或(5,-5)或(-3,-5).
二、填空题(每小题5分,共20分)
5.设向量a=(1,2),b=(2,3).若向量λa+b与向量c=(-4,-7)共线,则λ=________.
λa+b=(λ+2,2λ+3),
因为(λa+b)∥c,所以-7(λ+2)=-4(2λ+3)⇒λ=2.
答案:
2
6.已知向量a=(-2,3),b∥a,向量b的起点为A(1,2),终点B在坐标轴上,则点B的坐标为________.
由b∥a,可设b=λa=(-2λ,3λ).设B(x,y),
则=(x-1,y-2)=b.
由⇒
又B点在坐标轴上,则1-2λ=0或3λ+2=0,
所以B或.
答案:
或
补偿训练
已知向量a=(,1),b=(0,-1),c=(k,),若a-2b与c共线,则k=________.
a-2b=(,3),根据a-2b与c共线,得3k=×,解得k=1.
答案:
1
7.如图所示,在四边形ABCD中,已知A(2,6),B(6,4),C(5,0),D(1,0),则直线AC与BD的交点P的坐标为________.
设P(x,y),则=(x-1,y),=(5,4),=(-3,6),=(4,0).
由B,P,D三点共线可得=λ=(5λ,4λ).
又因为=-=(5λ-4,4λ),由与共线得,(5λ-4)×6+12λ=0,解得λ=,
所以==,所以P的坐标为.
答案:
补偿训练
已知A(-1,4),B(x,-2),若C(3,3)在直线AB上,则x=________.
=(x+1,-6),=(4,-1),
因为∥,所以-(x+1)+24=0,
所以x=23.
答案:
23
8.(双空题)已知a=(1,0),b=(2,1).当k=______时,ka-b与a+2b共线,若=2a+3b,=a+mb且A,B,C三点共线,则m=________.
ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),
a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).
因为ka-b与a+2b共线,
所以2(k-2)-(-1)×5=0,得k=-.
方法一:
因为A,B,C三点共线,所以=λ,λ∈R,
即2a+3b=λ(a+mb),所以解得m=.
方法二:
=2a+3b=(8,3),
=a+mb=(2m+1,m),
因为A,B,C三点共线,所以∥,
故8m-3(2m+1)=0,m=.
答案:
-
三、解答题(每小题10分,共30分)
9.如图,已知四边形ABCD是正方形,∥,||=||,EC的延长线交BA的延长线于点F,求证:
AF=AE.
证明建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形的边长为1,则A(-1,1),B(0,1),设点E的坐标为(x,y),
则=(x,y-1),=(1,-1).
因为∥,所以x×(-1)-1×(y-1)=0. ①
又||=||,所以x2+y2=2. ②
由①②联立,解得点E的坐标为.
设点F的坐标为(x′,1),
由=(x′,1)和=共线,
得x′-=0,所以x′=-(2+),
所以点F的坐标为(-2-,1).
所以=(-1-,0),=,
所以||=1+=||,即AF=AE.
10.已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-x,-3-y).
(1)若点A,B,C不能构成三角形,求x,y满足的条件;
(2)若=2,求x,y的值.
(1)因为点A,B,C不能构成三角形,则A,B,C三点共线.
由=(3,-4),=(6,-3),
=(5-x,-3-y)得=(3,1),=(2-x,1-y),
所以3(1-y)=2-x.
所以x,y满足的条件为x-3y+1=0.
(2)=(-x-1,-y),
由=2得(2-x,1-y)=2(-x-1,-y),
所以
解得
11.如图,在▱OABP中,过点P的直线与线段OA,OB分别相交于点M,N,若=x,=y(0 (1)求y=f(x)的式; (2)令F(x)=+x,判断F(x)的单调性,并给出你的证明. (1)==-,=- =x-y, =-=(-)-x =-(1+x)+, 又∥,有x-y(1+x)=0, 即f(x)=(0 (2)F(x)在(0,1)上为减函数. 证明如下: 由 (1)得F(x)=+x=x++1(0 设0 则F(x1)-F(x2)=- =(x1-x2)+ =(x1-x2)=(x1-x2), 由0 得x1-x2<0,x1x2-1<0,x1x2>0, 得F(x1)-F(x2)>0,即F(x1)>F(x2). 所以F(x)在(0,1)上为减函数.
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