高中数学第三章3.4直线与平面的垂直关系课件湘教选修PPT格式课件下载.ppt
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,思考感悟,2三垂线定理:
在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条_垂直,那么它也和这条斜线垂直3三垂线定理的逆定理:
在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条_垂直,那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直,斜线的射影,斜线,课堂互动讲练,直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊位置关系,可以理解为直线垂直于平面内的所有直线,也可理解为直线与平面所成的角为90.,下列命题中,真命题的个数为()
(1)一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的任何直线平行;
(2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直线和这个平面垂直;
(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边;
(4)过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内;
(5)如果三条共点直线两两垂直,那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面A1B2C3D4,【思路点拨】根据直线与平面垂直的相关概念,并结合特殊的几何体,如正方体或者教室内的实物来说明【解析】
(1)直线与平面平行,则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种:
平行;
异面,因此
(1)假
(2)该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系若为平行,该命题则错;
若为相交,则该命题为真,正是因为这两种情况可能同时具备,因此,不说明面内这无数条直线的位置关系,该命题则为假命题,(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面,由线面垂直定义的逆用可知,则该直线必垂直于三角形的第三边,该命题真(4)前面介绍了两个命题,过一点有且只有一个平面与已知直线垂直,过一点有且只有一条直线与已知平面垂直根据第一个命题知:
过点A垂直于直线的平面唯一,因此,过点A且与直线a垂直的直线都在过点A且与直线a垂直的平面内,该命题真,(5)三条共点直线两两垂直,设为a,b,c,且a,b,c共点于O.ab,ac,bcO,b、c确定一平面,设为,则a.同理可知b垂直于a、c确定的平面,c垂直于a、b确定的平面该命题真【答案】C【名师点评】注意线面垂直的定义中“所有的直线”与“无数条直线”不同,其实质是直线与平面内任意一直线垂直,直线与平面垂直的判定定理告诉我们,可以通过直线间的垂直来证明直线与平面垂直通常我们将其记为“线线垂直,则线面垂直”因此,处理线面垂直转化为处理线线垂直来解决也就是说,以后证明一条直线和一个平面垂直,只要在这个平面内找到两条相交直线和已知直线垂直即可,在正方体ABCDA1B1C1D1中,求证:
BD1平面ACB1.【思路点拨】解答本题从结论出发,要证BD1平面ACB1,只需证明BD1垂直于平面ACB1内某两条相交直线即可由于平面ACB1内的三条线段AC、B1C、AB1与BD1的相对位置相同,因此只须证明BD1垂直于其中的任意一条,其余的同理可证,【证明】法一:
连接BD,ACBD.又DD1平面ABCD,AC平面ABCD,DD1AC,又DD1BDD,AC平面D1DB,又BD1平面D1DB,ACBD1.同理可证BD1AB1,又AB1ACA,BD1平面ACB1.,【名师点评】解答这类问题,往往利用转化思想:
要证明线面垂直,常常先证线线垂直,而证线线垂直,通常又是借助线面垂直完成的,即它们往往是相互转化的,自我挑战1如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别是棱B1C1、B1B的中点求证:
CF平面EAB.,证明:
在正方形B1BCC1中,E、F分别是B1C1、B1B的中点,BB1ECBF.B1BEBCF,BCFEBC90,CFBE.AB平面B1BCC1,CF平面B1BCC1,ABCF,又ABBEB,CF平面EAB.,关于定理的应用,首先是找出平面的垂线,至于射影则是由垂足,斜足来确定的,因而是第二位的,由此,我们可以得出三垂线定理证明ab的一个程序:
一垂、二射、三证,即:
第一:
找平面及平面的垂线;
第二:
找射影线(或斜线),这时a,b便成为平面内的一条直线及一条斜线(或射影);
第三:
证明射影(或斜线)与直线a垂直,从而得出a,b垂直,如图所示,P是ABC所在平面外一点,且PA平面ABC,若O、Q分别是ABC和PBC的垂心,求证:
OQ平面PBC.【思路点拨】欲证OQ面PBC,只要证明OQ与平面PBC内两条相交直线垂直即可,因为O、Q均为三角形的垂心,由此联想到作三角形的高线,应用三垂线定理及逆定理,BF平面PAC,则FM是BM在平面PAC上的射影,BMPC,根据三垂线定理的逆定理,得FMPC,从而PC平面BFM.又OQ面BFM,OQPC,又PCBCC,OQ平面PBC.【名师点评】三垂线定理及其逆定理主要用于证明空间两条直线的垂直问题,对于同一平面内的两条直线垂直问题也可以用“平移法”,将其转化为空间两直线的垂直问题,用三垂线定理证明,自我挑战2已知长方体AC1中,棱ABBC1,棱BB12,连接B1C,过B作B1C的垂线交CC1于E,交B1C于F.求证:
A1C平面EBD.,证明:
如图,连接AC,则ACBD.AC是A1C在平面ABCD内的射影,A1CBD.又A1B1平面B1C1CB,且A1C在平面B1C1CB内的射影为B1C,B1CBE,A1CBE.又BDBEB,A1C平面EBD.,1判定线面垂直的步骤与方法
(1)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤是:
在这个平面内找两条直线,使它和这条直线垂直;
确定这个平面内的两条直线是相交的直线;
根据判定定理得出结论,
(2)判定线面垂直的方法有:
利用线面垂直的定义:
一条直线垂直于平面内的任意直线,则该直线垂直于这个平面;
利用线面垂直的判定定理;
证明线线(或线面)垂直时,除了利用平面几何知识(勾股定理逆定理,菱形对角线、圆周角定理等)之外,还需要注意运用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理,实现线线垂直与线面垂直的相互转化,2三垂线定理及其逆定理的应用
(1)立体几何的证明问题,如线线垂直、线面垂直、面面垂直;
(2)立体几何中的计算问题(后面学习)应用三垂线定理及逆定理的关键在于构造三垂线定理的基本图形,创设应用定理的环境构造三垂线定理时要抓住以下三个环节:
确定射影面;
作出垂线;
确定射影,
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- 高中数学 第三 3.4 直线 平面 垂直 关系 课件 选修