空间直角坐标Word格式文档下载.docx
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(1,-2,-3)
(1,2,3)
(-1,-2,3)
(-1,2,-3)
N(a,b,c)
(a,b,-c)
(a,-b,c)
(-a,b,c)
(-a,-b,-c)
关于X轴对称
关于Y轴对称
关于Z轴对称
(1,2,-3)
(-1,-2,-3)
(-1,2,3)
(a,-b,-c)
(-a,b,-c)
(-a,-b,c)
4.求点M(4,-3,5)到原点、各坐标轴和各坐标平面的距离。
点M到原点的距离:
点M在XOY,XOZ,YOZ上的垂足分别为A(4,-3,0),B(4,0,5),C(O,-3,5),则距离为:
,
,点M在X,Y,Z轴上的垂足分别为
,B(0,-3,0),C(0,0,5)则距离为:
5.求点(1,2,-2)和(-1,0,-2)之间的距离。
所求距离为:
6.求下列方向余弦:
(1,2,-2),(2,0,0),(0,2,-2),(-1,-2,-5)。
(1,2,-2)的方向余弦为:
,即:
(
)
(2,0,0)的方向余弦为:
(0,2,-2)的方向余弦为:
(-1,-2,-5)的方向余弦为:
7.求从点(1,2,-2)到点(-1,0,-1)的方向的方向数和方向余弦。
从点(1,2,-2)到点(-1,0,-1)的方向的方向数为(-1-1,0-2,-1+2),即(-2,-2,1);
方向余弦为(
8.求下列方向的方向角:
(0,0,-1),(
(0,0,-1)的方向余弦为:
0,0,-1,则方向角为:
的方向余弦为:
,则方向角为:
(-2,-1,-4)的方向余弦为:
9.求下列各对方向之间的夹角:
1)(1,0,1)和(0,0,1);
2)(-1,-2,3)和(2,0,1);
3)(01,-4,-5)和(2,3,4)。
1)方向余弦为(
)和(0,0,1),则:
而
故
2)方向余弦为(
)和(
),则:
3)方向余弦为(
10.证明:
顶点是A(2,4,3),B(4,1,9),C(10,-1,6)的三角形是直角三形角形。
求出各边的长和各内角的大小。
证明:
即:
又:
故各边长为:
各内角为:
11.在给定的坐标系中画出下列平面:
1)
2)
3)
4)
5)
12.求下列平面的方程:
1)过点(0,-1,4),法向的方向数为(2,-1,0);
1)设所求方程为:
,又点(0,-1,4)在平面上
2)过点(-1,-5,4),平行于平面
2)设平面方程为:
,则:
3)过点(1,3,5),(-1,-2,3),(2,0,-3);
设平面方程为:
,则由题可得:
4)过点(3,-1,4)和(1,0,-3),垂直于平面
5)过点(0,-1,3)和Y轴;
6)过点(-2,-1,3)和(0,-1,2),平行于Z轴。
13.将11题中的平面方程化为法式方程:
1)法式方程为:
2)法式方程为:
3)法式方程为:
4)法式方程为:
5)法式方程为:
14.在给定的直角坐标系中画出下列直线:
;
3)
4)
15.求下列直线的方程:
1)过点(-2,3,5),方向数为(-1,3,4);
直线方程为:
2)过点(0,3,1)和(-1,2,7);
直线的方向数为:
(-1,-1,6),则直线方程为:
3)过点(-1,2,9),垂直于平面3x+2y-z+5=0;
由题可知直线的方向数为:
(3,2,-1),则直线方程为:
4)过点(2,4,-1),与三个坐标轴成等角。
由于直线与三个坐标轴成等角,则(1,1,1)为其一个方向数,则:
16.给定直线
,求
1)过l平行于Z轴的平面;
由题可设平面方程为:
2)l在XY平面上的投影。
由
得直线l在XY平面上的投影为:
17.求下列直线在各坐标平面上的投影;
并画图:
得直线在XOY平面上的投影为:
得直线在XOZ平面上的投影为:
得直线在YOZ平面上的投影为:
得直线的点向方程为:
得直线在XOY平面上的投影为:
得直线在YOZ平面上的投影为:
直线的点向方程为:
18.将下列直线的方程化为点向式:
(1)
(2)
(3)
(4)
19.求下列各对直线之间的夹角:
设直线间的夹角为θ,
由于两直线的方向数为(1,-1,0),(-1,0,2),则方向余弦为(
),(
2)
两直线的方向数为(-1,1,2),(-2,4,-3),由于:
(-1)×
(-2)+1×
4+2×
(-3)=0
.
由题可知两直线的方向数为(-3,1,2),(
),则方向余弦为(
),
20.求直线与平面的交点:
而直线上一定点(-2,1,-2)也在平面上
直线与平面有无数个交点。
但直线上一定点(-2,1,-2)不在平面上
直线与平面没有交点。
21.求直线:
与Z轴相交的条件。
令X=0,y=0,则:
即:
∴直线l与z轴相交的条件是:
22.证明:
直线
落在平面
上必须且只须
同时,写出p平行于π但不在π上的条件。
证明:
直线p与平面π的方向数分别为:
(l,m,n),(A,B,C)
∵Al+Bm+Cn=0∴直线p平行于平面π。
点(x0,y0,z0)在直线p上,且Ax0+By0+Cz0+D=0,即点(x0,y0,z0)也在平面π上
∴直线p在平面π上。
23.求经过直线
和点(1,2,1)的平面方程。
点(1,2,1)在平面上
∴
∴A=-B
令B=-1,则A=1故:
所求平面方程为:
24.设平面π1与π2不平行,它们的方程分别为
,
过π1和π2的交线的所有平面的方程都可以表示成
,其中λ和μ为不全为零的实数。
∵
且
设
其中
,由
知该方程是一个三元一次方程,即方程表示一个平面设
把点
代入π中有:
左边=右边∴L在π上。
的任意性可知:
所有过L的平面上方程都可以成:
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