高考数学总复习第二章函数导数及其应用14导数与函数的单调性课时作业文Word文档格式.docx
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A.f(a)>
f(b) B.f(a)=f(b)
C.f(a)<
f(b)D.f(a)f(b)>
1
f′(x)=
,当x>
e时,f′(x)<
0,则f(x)在(e,+∞)上为减函数,f(a)>
f(b).
A
4.(xx·
福建上杭一中检测)函数f(x)=x3-ax为R上增函数的一个充分不必要条件是( )
A.a≤0B.a<
C.a≥0D.a>
函数f(x)=x3-ax为R上增函数的一个充分不必要条件是f′(x)=3x2-a>
0在R上恒成立,所以a<
(3x2)min.因为(3x2)min=0,所以a<
0,故选B.
5.(xx·
抚州模拟)若函数f(x)=x+alnx不是单调函数,则实数a的取值范围是( )
A.[0,+∞)B.(-∞,0]
C.(-∞,0)D.(0,+∞)
由题意知x>
0,f′(x)=1+
,要使函数f(x)=x+alnx不是单调函数,则需方程1+
=0在x>
0上有解,即x=-a,所以a<
0.
二、填空题
6.(xx·
广州模拟)已知函数f(x)=(-x2+2x)·
ex,x∈R,e为自然对数的底数.则函数f(x)的单调递增区间为________.
因为f(x)=(-x2+2x)ex,
所以f′(x)=(-2x+2)ex+(-x2+2x)ex
=(-x2+2)ex.
令f′(x)>
0,即(-x2+2)ex>
0,
因为ex>
0,所以-x2+2>
0,解得-
<
.
所以函数f(x)的单调递增区间是(-
,
).
(-
)
7.若f(x)=xsinx+cosx,则f(-3),f
,f
(2)的大小关系为________________(用“<
”连接).
函数f(x)为偶函数,因此f(-3)=f(3),
又f′(x)=sinx+xcosx-sinx=xcosx,
当x∈
时,f′(x)<
0,所以f(x)在区间
上是减函数,所以f
>
f
(2)>
f(3)=f(-3).
f(-3)<
f
(2)<
f
8.若函数f(x)=2ax3-6x2+7在(0,2]内是减函数,则实数a的取值范围是________________.
因为f(x)=2ax3-6x2+7,
所以f′(x)=6ax2-12x.又f(x)在(0,2]内是减函数,所以有f′(x)=6ax2-12x≤0在(0,2]上恒成立.
即a≤
在(0,2]上恒成立.令g(x)=
而g(x)=
在(0,2]上为减函数,
所以g(x)min=g
(2)=
=1,
故a≤1.
(-∞,1]
三、解答题
9.已知函数f(x)=lnx-
(1)求证:
f(x)在区间(0,+∞)上单调递增;
(2)若f[x(3x-2)]<
-
,求实数x的取值范围.
(1)证明:
由已知得f(x)的定义域为(0,+∞).
∵f(x)=lnx-
∴f′(x)=
=
∵x>
0,∴4x2+3x+1>
0,x(1+2x)2>
∴当x>
0时,f′(x)>
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增.
(2)∵f(x)=lnx-
∴f
(1)=ln1-
=-
由f[x(3x-2)]<
得f[x(3x-2)]<
f
(1).
由
(1)得
解得-
0或
1.
∴实数x的取值范围为
∪
10.(xx·
河南八市联考)已知函数f(x)=x2+alnx.
(1)当a=-2时,求函数f(x)的单调递减区间;
(2)若函数g(x)=f(x)+
在[1,+∞)上单调,求实数a的取值范围.
(1)由题意知,函数的定义域为(0,+∞),当a=-2时,f′(x)=2x-
,由f′(x)<
0得0<
1,故f(x)的单调递减区间是(0,1).
(2)由题意得g′(x)=2x+
,函数g(x)在[1,+∞)上是单调函数.
①若g(x)为[1,+∞)上的单调递增函数,则g′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,即a≥
-2x2在[1,+∞)上恒成立,设φ(x)=
-2x2,
∵φ(x)在[1,+∞)上单调递减,
∴φ(x)max=φ
(1)=0,∴a≥0.
②若g(x)为[1,+∞)上的单调减函数,则g′(x)≤0在[1,+∞)上恒成立,不可能.
综上实数a的取值范围为[0,+∞).
[能力挑战]
11.已知函数f(x)=x+
在(-∞,-1)上单调递增,则实数a的取值范围是( )
A.[1,+∞)
B.(-∞,0)∪(0,1]
C.(0,1]
D.(-∞,0)∪[1,+∞)
函数f(x)=x+
的导数为f′(x)=1-
,由于f(x)在(-∞,-1)上单调递增,则f′(x)≥0在(-∞,-1)上恒成立,即
≤x2在(-∞,-1)上恒成立.由于当x<
-1时,x2>
1,则有
≤1,解得a≥1或a<
D
12.(xx·
湖北枣阳第一中学模拟)函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f′(x)>
2,则f(x)>
2x+4的解集为( )
A.(-1,1)B.(-1,+∞)
C.(-∞,-1)D.(-∞,+∞)
由f(x)>
2x+4,得f(x)-2x-4>
0,设F(x)=f(x)-2x-4,则F′(x)=f′(x)-2,因为f′(x)>
2,所以F′(x)>
0在R上恒成立,所以F(x)在R上单调递增,而F(-1)=f(-1)-2×
(-1)-4=2+2-4=0,故不等式f(x)-2x-4>
0等价于F(x)>
F(-1),所以x>
-1,选B.
13.若函数f(x)=x2-ex-ax在R上存在单调递增区间,则实数a的取值范围是________.
∵函数f(x)=x2-ex-ax,
∴f′(x)=2x-ex-a.
∵函数f(x)=x2-ex-ax在R上存在单调递增区间,
∴f′(x)=2x-ex-a>
0,即a<
2x-ex有解.
令g′(x)=2-ex,g′(x)=2-ex=0,x=ln2,
g′(x)=2-ex>
0,x<
ln2,
g′(x)=2-ex<
0,x>
∴当x=ln2时,g(x)max=2ln2-2.
∴a<
2ln2-2.
故实数a的取值范围是(-∞,2ln2-2).
(-∞,2ln2-2)
2019-2020年高考数学总复习第二章函数导数及其应用15导数与函数的极值最值课时作业文
岳阳一模)下列函数中,既是奇函数又存在极值的是( )
A.y=x3 B.y=ln(-x)
C.y=xe-xD.y=x+
由题可知,B,C选项中的函数不是奇函数,A选项中,函数y=x3单调递增(无极值),而D选项中的函数既为奇函数又存在极值.
2.函数y=
的最大值为( )
A.e-1B.e
C.e2D.
令y′=
=0,解得x=e.当x>
e时,y′<
0;
当0<
e时,y′>
0,所以y极大值=f(e)=
,在定义域内只有一个极值,所以ymax=
3.从边长为10cm×
16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形,作成一个无盖的盒子,则盒子容积的最大值为( )
A.12cm3B.72cm3
C.144cm3D.160cm3
设盒子容积为ycm3,盒子的高为xcm,则x∈(0,5).
则y=(10-2x)(16-2x)x=4x3-52x2+160x,
所以y′=12x2-104x+160.令y′=0,得x=2或
(舍去),
所以ymax=6×
12×
2=144(cm3).
4.已知函数y=xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数).则下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是( )
由条件可知当0<
1时,xf′(x)<
所以f′(x)<
0,函数递减.
当x>
1时,xf′(x)>
所以f′(x)>
0,函数递增,
所以当x=1时,函数取得极小值.
当x<
-1时,xf′(x)<
0,所以f′(x)>
0,函数递增,当-1<
0,xf′(x)>
0,所以f′(x)<
0,函数递减,所以当x=-1时,函数取得极大值.符合条件的只有C项.
5.已知函数f(x)=
-k
,x=2是函数f(x)的唯一一个极值点,则实数k的取值范围( )
A.(-∞,e]B.[0,e]
C.(-∞,e)D.[0,e)
(x>
0).设g(x)=
则g′(x)=
,则g(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.
∴g(x)在(0,+∞)上有最小值,为g
(1)=e,结合g(x)=
与y=k的图象可知,要满足题意,只需k≤e,选A.
6.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,则f
(2)=________.
∵函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,
∴f
(1)=10,且f′
(1)=0,
即
解得
或
而当
时,函数在x=1处无极值,故舍去.
∴f(x)=x3+4x2-11x+16,∴f
(2)=18.
18
7.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20cm,要使体积最大,则其高为________cm.
设圆锥的体积为Vcm3,高为hcm,
则V=
π(400-h2)h=
π(400h-h3),
∴V′=
π(400-3h2),
由V′=0,得h=
所以当h=
cm时,V最大.
8.已知函数f(x)=x3-3ax+b的单调递减区间为(-1,1),其极小值为2,则f(x)的极大值是________.
依题意,f(x)的单调递减区间为(-1,1),
由f′(x)=3x2-3a=3(x-
)(x+
),
可得a=1,
由f(x)=x3-3ax+b在x=1处取得极小值2,
可得1-3+b=2,故b=4.
所以f(x)=x3-3x+4的极大值为
f(-1)=(-1)3-3×
(-1)+4=6.
6
9.(xx·
湖北七市(州)协作体联考)设n∈N*,a,b∈R,函数f(x)=
+b,已知曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线方程为y=x-1.
(1)求a,b;
(2)求f(x)的最大值.
(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=
∴f′
(1)=a,又切线斜率为1,故a=1.
由曲线y=f(x)过点(1,0),有f
(1)=b=0.
故a=1,b=0.
(2)由
(1)知f
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- 高考 数学 复习 第二 函数 导数 及其 应用 14 调性 课时 作业