沪科版轴对称与等腰三角形总复习汇编Word文档下载推荐.docx
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1、轴对称图形
(1)定义:
如果一个图形沿着某一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对
称图形,这条直线就是它的对称轴。
。
这时,我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称。
例
如,等腰三角形是轴对称图形,它的底边的垂直平分线是它的对称轴.其它如等边三角形、矩
形、圆、菱形、等腰梯形等都是轴对称图形.如图1.
(2)轴对称图形的性质:
轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
2、轴对称
把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关
于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点,也可以说这两
个图形关于这条直线成轴对称。
如上右图。
(2)成轴对称的两个图形的性质:
①关于某条直线对称的两个图形形状相同,大小相等,是全等形;
②如果两个图形关于某条直线对称,则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;
③两个图形关于某条直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么它们的交点在对称轴上.
3、轴对称图形与轴对称的区别和联系
(1)区别:
轴对称是指两个图形的位置关系,轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形;
轴对称涉及
两个图形,而轴对称图形是对一个图形来说的。
(2)联系:
如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,那么这两个图形关于这轴对称;
如果把成
轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形.
(二)线段的垂直平分线
1.线段的垂直平分线的性质:
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
反过来,与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
2.线段的垂直平分线的作法:
①分别以点A、B为圆心,以大于
的长为半径画弧,两弧相交于C、D两点;
②作直线CD;
则直线CD即为线段AB的垂直平分线。
知识点二:
作轴对称图形
1.作轴对称图形:
(1)几何图形都可以看作由点组成,我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点,再连接这些点,
就可以得到原图形的轴对称图形;
(2)对于一些由直线、线段或射线组成的图形,只要作出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称
点,连接这些对称点,就可以得到原图形的轴对称图形.
2.用坐标表示轴对称:
点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y);
点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y).
知识点三:
等腰三角形
(一)等腰三角形
1、定义:
有两边相等的三角形,叫做等腰三角形。
2、等腰三角形性质
(1)等腰三角形的两个底角相等,即“等边对等角”;
注意:
常结合三角形内角和定理及推论解决角度的计算问题。
(2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合(简称“三线合一”)。
特别地,等腰直角三角形的每个底角都等于45°
3、等腰三角形的判定:
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(即“等角对等边”)。
(二)等边三角形
三条边都相等的三角形,叫做等边三角形。
2、等边三角形性质:
等边三角形的三个角相等,并且每个角都等于60°
3、等边三角形的判定:
(1)三条边都相等的三角形是等边三角形;
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;
(3)有一个角为60°
的等腰三角形是等边三角形。
4、直角三角形的性质定理:
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°
,那么它所对的直角边等于斜边
的一半。
规律方法指导:
1、要注意轴对称图形与轴对称概念的区别与联系。
2、线段的垂直平分线的两个性质是定理和逆定理的关系。
3、点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y);
点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y)。
程
度较好的学生可以考虑再拓展:
点关于直线y=a,x=b,y=x等的对称。
4、等腰三角形“三线合一”的性质可以这么理解:
①等腰三角形;
②顶角的平分线;
③底边上的中
线;
④底边上的高,以其中任意两个作为条件,就能推出其他两个结论。
5、推理证明是本章的难点,要克服这个难点,可以结合所要求证的结论一起考虑,即“两头凑”,帮
助我们克服这一困难。
重点考点:
1.垂直平分线、角平分线的定义以及性质运用:
练一练:
(1)用直尺和圆规作已知线段的中垂线。
(2)用直尺和圆规作已知角的角平分线。
经典练习选讲:
1.如图,AP、CP分别是△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线,它们相交于点P,PD⊥BM于点D,PF⊥BN于点F.求证:
BP为∠MBN的平分线.
2.如右图所示,已知AB=AC,DE垂直平分AB交AC、AB于D、E两点,若AB=12cm,BC=l0cm,∠A=49°
,求∠DBC度数。
2、轴对称变换:
定义:
由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换;
利用坐标表示轴对称:
利用平面直角坐标系中与已知点关于x轴或y轴对称点的坐标的规律,可以在平面直角坐标系中作出与一个图形关于x轴与y轴对称的图形。
(由点到线,到面)
*点(x,y)关于x轴对称的点是(x,-y),关于y轴对称的点是(-x,y),
关于原点对称的点是(-x,-y),关于y=x对称的点是(y,x)。
例题:
1、如图:
(1)求点A关于y轴对称的点的坐标;
(2)求点B关于x轴对称的点的坐标;
2、
3、轴对称作图,找点,使得距离之和最短问题
相应经典练习选讲:
(1).如图:
D,E为
ABC两边AB,AC的中点,将
ABC沿线段DE折叠,使点A落在点F处,若
B=50
,则
BDF=________________
(2).把一张长方形纸片按如图所示的方式折叠,EM,FM为折痕,折叠后的C点落在B’M或B’M的延长线上,那么
EMF的度数为_____。
(3).如图所示,梯形ABCD中,AD//BC,AB=CD=AD=1,
B=60
,直线MN为梯形ABCD的对称轴,P为MN上一点,那么PC+PD的最小值为_____________。
(4)在正方形ABCD中,M,N为AD和BC中点,将点C沿直线BE对折,
使C落在MN上为F,求
EBC。
5、已知直线l为x+y=8,点P(x,y)在l上,且x>0,y>0,点A的坐标为(6,0).
(1)设△OPA的面积为S,求S与x的函数关系式,并直接写出x的取值范围;
(2)当S=9时,求点P的坐标;
(3)在直线l上有一点M,使OM+MA的和最小,求点M的坐标.
6、如图:
在长度为1个单位的小正方形组成的网格中,点A、B、C在小正方形的顶点上.
(1)在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′;
(2)△ABC的面积为 ;
(3)在直线l上找一点P,使PB+PC的长最短,则这个最短长度为 个单位长度.(在图形中标出点P)
4、等腰三角形:
(1)等腰三角形的定义:
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
相等的两边叫腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角;
(2)等腰三角形的性质:
a:
两腰相等;
b:
两底角相等;
c:
顶角平分线,底边上的中线,高三线重合(三线合一),d:
对称性;
(3)等腰三角形的判定:
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边相等(“等角对等边”);
(4)等边三角形的定义:
三边都相等的三角形叫做等边三角形;
*等边三角形是一种特殊的等腰三角形
等边三角形的性质:
等边三角形的三个内角相等,并且每个角都等于60度;
等边三角形每一条边上都是三线合一;
(5)等边三角形的判定:
三个角都相等的三角形是等边三角形;
有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。
题型一:
等腰三角形的性质
(1)如图:
在
中,AB=AC,D为AC边上一点,
且BD=BC=AD,则
A等于________________。
(2)等腰三角形两边长为5cm和9cm,周长为______________;
等腰三角形两边长为4cm和9cm时,周长为____________________;
若等腰三角形周长为40cm,一边长为14cm,其他两边长为__________________。
(3)等腰三角形中一个角为40°
,则另外两个角为_______________,如果一个角为100°
,那另外两个角为______________.
(4)如图所示:
在△ABC中,
1=
2=
3,△ABC为等边三角形,求
BEC的度数
(5)如图,△ABC中,AD平分∠CAB交BC于D,且CD=2,∠C=900,∠DEF=900,∠B=∠FDB=22.50,AE=6,DF=4,求AB的长.
第(4)题图
第5题图
(6)如图,△ABC中,AB=AC,E在CA的延长线上,∠AEF=∠AFE,求证:
EF⊥BC。
第6题图
(7)如图所示:
在△ABC中,BD=DE=EC=AD=AE,求
BAC的度数。
第(7)题图
(8)如图,AD是等腰△ABC的顶角平分线,P是AD上一点,连接CP,BP,并分别将它们延长,交AB于点F,交AC于点E
(1)说出点E关于AD的对称点,并说明理由;
(2)找出图中与△CPE全等的三角形,并说明理由;
(3)若AD=6,BC=4,求图中阴影部分的面积。
第(8)题
题型二:
等腰三角形的三线合一
(1)如图,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°
,D为BC的中点,DE⊥AB,垂足为
E,过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F,连接CF.
(1)求证:
AD⊥CF;
(2)连接AF,试判断△ACF的形状,并说明理由.
第
(1)题图
(2)如图,AC=BC,AC⊥BC,AE⊥BE,BD=2AE,
求证:
BE平分∠ABC
第2题图
(3)如图,∠ABC=90°
,D、E分别在BC、AC上,AD⊥DE,且AD=DE,点F是AE的中点,FD与AB相交于点M.
(1)求证:
∠FMC=∠FCM;
(2)AD与MC垂直吗?
并说明理由.
第3题图
等边三角形和等腰直角三角形的性质应用及判定
(1)如图,在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AB上,BD=AE,AD与CE交于点F.
求证:
(1)AD=CE;
(2)求∠DFC的度数。
(2)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°
,∠ACB=60°
,D是BC延长线上一点,且AC=CD,则BC:
CD=
(3)已知,如图,AB是等腰直角三角形ABC的斜边,AD是
∠A的平分线,求证:
A
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