最新数列的综合应用知识点总结经典例题解析高考练习题带答案Word格式文档下载.docx
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形如an=
的递推数列可以两边同时倒数来求通项.
考点二:
数列求和的技巧
一、公式法
1、等差数列的前
项和公式
2、等比数列的前
3、常用几个数列的求和公式
(1)
(2)
(3)
2、错位相减法
用于求数列
的前n项和,其中
,
分别是等差数列和等比数列。
3、裂项相消法
适用于{
}其中{an}是各项不为0的等差数列。
即:
=
(
-
),
特别:
;
4、倒序相加法
推导等差数列的前
项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它
与原数列相加,就可以得到
个
。
5、分组求和法
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等
差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可。
考点三:
1、数列与函数的综合
2、等差与等比数列的综合
3、数列的实际应用
数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合
【经典例题】
【例1】(2011年高考天津卷理科4)已知
为等差数列,其公差为-2,且
是
与
的
等比中项,
为
的前n项和,
则
的值为
A.-110 B.-90 C.90 D.110
【解析】D
【例2】
(2011年高考江西卷理科5)已知数列
的前
项和
满足:
且
那么
()
A.1B.9C.10D.55
【解析】A
【例3】
(2008年江西省高考题)数列{an}的通项公式是an=
,若前n项和为10,
则项数为()
A、11B、99C、120D、121
【解析】C
【例4】
(2008安徽)设数列{an}满足a1=a,an+1=can+1-c,n∈N*,其中a,c为实数,c≠0
1.求数列{an}的通项公式;
2.设a=
,c=
,bn=n(1-an),n∈N*,求数列{bn}的前n项和Sn。
【解析】
(1)∵an+1-1=c(an-1)
∴当a≠1时,{an-1}是首项为a-1,公比为c的等比数列
∴an-1=(a-1)cn-1,即an=(a-1)cn-1+1
当n=1时,an=a仍满足上式。
∴数列{an}的通项公式为an=(a-1)cn-1+1(n∈N*)
(2)由
(1)得bn=n(1-a)cn-1=n(
)n,
Sn=b1+b2+…+bn=
+2(
)2+…+n(
)n①
Sn=(
)2+2(
)3+…+(n-1)(
)n+n(
)n+1②
∴①-②得
Sn=
+(
)2+…+(
)n-n(
)n+1
∴Sn=1+
)n-1-n(
)n=2[1-(
)n]-n(
)n
∴Sn=2-(2+n)(
【例5】
(2008浙江省)已知数列{xn}的首项x1=3,通项xn=2np+nq(n∈N*,p,q为常数),
且x1,x4,x5成等差数列,求:
(1)P,q的值;
(2)数列{xn}前n项和Sn的公式。
(1)由x1=3,得2p+q=3
又x4=24p+4q,x5=25p+5q,且x1+x5=2x4,得3+25p+5q=25p+8q
解得p=1,q=1
(2)Sn=(2+22+…+2n)+(1+2+…+n)=2n+1-2+
【例6】(2011年福建理16)已知等比数列{an}的公比q=3,前3项和S3=
(I)求数列{an}的通项公式;
(II)若函数
在
处取得最大值,且最大值
为a3,求函数f(x)的解析式。
(I)由
解得
所以
(II)由(I)可知
因为函数
的最大值为3,所以A=3。
因为当
时
取得最大值,
又
所以函数
的解析式为
【例7】
(2011年全国新课标卷)等比数列
的各项均为正数,且
(1)求数列
的通项公式.
(2)设
求数列
的前项和.
(Ⅰ)设数列{an}的公比为q,由
得
由条件可知a>
0,故
由
,所以
故数列{an}的通项式为an=
(Ⅱ
)
故
所以数列
的前n项和为
【例8】
(2011年高考浙江卷理科19)已知公差不为0的等差数列
的首项
(
),设数列的前n项和为
,且
成等比数列(Ⅰ)求数列
的通项公式及
(Ⅱ)记
,当
时,试比较
的大小.
(Ⅰ)
则
(Ⅱ)
因为
当
时,
即
;
所以当
时,
.
【课堂练习】
1.(2009江西卷文)公差不为零的等差数列
项和为
.若
的等比中
项,
等于
A.18B.24C.60D.90
2.(2010江西理数)等比数列
中,
=4,函数
,则
()
A.
B.
C.
D.
(1)(2010湖北文数)7.已知等比数列{
}中,各项都是正数,且
成等差数
列,则
A.
B.
C.
D
4.(2010福建理数)设等差数列
若
则当
取最小值时,n等于
A.6B.7C.8D.9
5.(2013年福建(理))已知等比数列
的公比为q,记
则以下结论一定正确的是()
A.数列
为等差数列,公差为
B.数列
为等比数列,公比为
C.数列
D.数列
6.(2013年重庆(理))已知
是等差数列,
公差
为其前
项和,若
成等比数列,则
7.(2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD版))已知等比数列
是递增数列,
是方程
的两个根,则
____________.
8、(2009年全国卷)设等差数列{
}的前
,公比是正数的等比数列{
,已知
的通项公式。
9、(2011浙江卷)已知公差不为0的等差数列
的首项为
成等比数列.
(Ⅰ)求数列
的通项公式;
(Ⅱ)对
,试比较
的大小.
10、(2010年山东卷)已知等差数列
满足:
(Ⅰ)求
及
(Ⅱ)令
),求数列
11.(2013年湖北卷(理))已知等比数列
)求数列
的通项公式;
)是否存在正整数
使得
?
若存在,求
的最小值;
若不存在,说明理由.
12.(2013年山东(理))设等差数列
且
(Ⅱ)设数列
前n项和为
为常数).令
.求数列
的前n项和
【课后作业】
1.(2009重庆卷文)设
是公差不为0的等差数列,
且
成等比数列,则
=()
A.
B.
C.
D.
2.(2010安徽理数)设
是任意等比数列,它的前
项和,前
项和与前
项和分别为
,则下列等式中恒成立的是
A、
B、
C、
D、
3.(2013辽宁)下面是关于公差
的等差数列
的四个命题:
其中的真命题为
(A)
(B)
(C)
(D)
4.(2013年新课标Ⅱ卷)等差数列
已知
的最
小值为________.
5.已知(2008年湖北省质检题)求和:
Sn=-1+3-5+7-…+(-1)n(2n-1)
6.{an}的通项an=lg
,求{an}的前n项和Sn。
7.(2013年高考四川卷(理))在等差数列
中,
和
的等比中项,求数列
的首项、公差及前
项和.
8.(2009辽宁卷)等比数列{
}的前n项和为
成等差数列
(1)求{
}的公比q;
(2)求
=3,求
9.(2010重庆文数)(16)(本小题满分13分,(Ⅰ)小问6分,(Ⅱ)小问7分.)
已知
是首项为19,公差为-2的等差数列,
(Ⅰ)求通项
(Ⅱ)设
是首项为1,公比为3的等比数列,求数列
的通项公式及其前
10.若函数
对任意
都有
,数列
是等差数列吗?
是证明你的结论;
(2)求数列
的的前
【参考答案】
1、C2、C3、C4、A5、C6、647、63
8、解:
设
的公差为
的公比为
①
②
由①②及
解得
故所求的通项公式为
9、解:
设等差数列
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