62平面向量的运算新教材人教A版高中数学必修第二册同步讲义机构专用Word文件下载.docx
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存在唯一一个实数
,使
4、平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角:
已知两个非零向量a和b,记
=a,
=b,则∠AOB=θ(0°
≤θ≤180°
)叫做向量a与b的夹角.
(2)数量积的定义:
已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则a与b的数量积(或内积)a·
b=|a||b|cosθ.规定:
零向量与任一向量的数量积为0,即0·
a=0.
(3)数量积的几何意义:
数量积a·
b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积
(4)两个向量a,b的夹角为锐角⇔a·
b>
0且a,b不共线;
两个向量a,b的夹角为钝角⇔a·
b<
0且a,b不共线.
5、平面向量数量积的运算律
(1)a·
b=b·
a(交换律).
(2)λa·
b=λ(a·
b)=a·
(λb)(结合律).
(3)(a+b)·
c=a·
c+b·
c(分配律).
6、平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a+b)·
(a-b)=a2-b2
(2)(a+b)2=a2+2a·
b+b2
(3)(a-b)2=a2-2a·
题型一平面向量的加减法
例1
如图,在平行四边形
中,下列结论中错误的是()
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【分析】
根据向量的定义及运算法则一一分析选项正误即可.
【详解】
在平行四边形
中,显然有
故A,D正确;
根据向量的平行四边形法则,可知
故B正确;
根据向量的三角形法,
故C错误;
故选:
C.
列四式不能化简为
的是()
C.
【答案】A
根据向量的加法和减法运算,结合排除法,即可得答案;
对B,
,故B正确;
对C,
,故C正确;
对D,
,故D正确;
故选:
A.
题型二数乘运算
例2
若
,
为已知向量,且
,则
_____________.
【答案】
根据向量的数乘运算法则计算即可.
∵
,∴
,化简得
∴
.
故答案为:
化简:
(1)
(2)
(3)
.
(1)原式
(2)原式
(3)原式
题型三共线问题
例3
在
中,
,且
______.
【答案】4
利用平面向量的线性运算,求得
,由此求得
的值.
因为
,所以
又
4
设
是不共线的两个非零向量,己知
,若
三点共线,则
的值为()
A.1B.2C.-2D.-1
【答案】D
【解析】
,故存在实数
,使得
,利用平面向量基本定理可得关于
的方程组,从而可求
,又
所以
,故
,故选D.
题型四投影问题
例4
已知
为一个单位向量,
的夹角是
.若
在
上的投影向量为
根据平面向量数量积定义,结合投影概念即可求解.
为一个单位向量,
由平面向量数量积定义可得
根据平面向量投影定义可得
故答案为:
设向量
满足
,则向量
在向量
上的投影的数量为()
A.1B.
根据
利用垂直数量积为0求得
再根据投影的公式代入求解即可.
向量
上的投影的数量为
D.
题型四数量积
已知向量
,其中
和
的夹角是__________.
利用
得
,可求出
,从而求出向量
的夹角.
解得:
所以夹角为
已知
为单位向量,
________.
根据向量的夹角公式及数量积的运算计算即可求解.
题型五向量与三角形形状
例5
点
是
所在平面上一点,满足
的形状是()
A.等腰直角三角形B.直角三角形
C.等腰三角形D.等边三角形
【答案】B
根据平面向量的线性运算与模长公式,可以得出
,由此可判断出
的形状.
点
则
,可得
,即
等式
两边平方并化简得
因此,
是直角三角形.
B.
中,已知向量
且
是()
A.三边均不相同的三角形B.直角三角形
C.等腰非等边三角形D.等边三角形
是两个单位向量,设
=
的平分线,由此可得
,从而确定三角形是等腰三角形,再由
,求出
即可判断.
,∵
是两个单位向量,∴
的平分线,
由题意
是等腰三角形,
是等边三角形,
D.
题型六“五心”问题
例6
是平面上一定点,
是平面上不共线的三个点,动点
点的轨迹一定经过
的()
A.外心B.内心C.重心D.垂心
先根据
、
分别表示向量
方向上的单位向量,确定
的角平分线一致,再由
可得到
,可得答案.
解:
方向上的单位向量,
的角平分线一致,
的角平分线一致
的内心.
B.
已知O为
内一点,若分别满足①
②
③
④
(其中
为
中,角
所对的边).则O依次是
A.内心、重心、垂心、外心B.外心、垂心、重心、内心
C.外心、内心、重心、垂心D.内心、垂心、外心、重心
1、如图所示,点O是正六边形ABCDEF的中心,则
()
B.0C.
根据向量加法运算法则即可求解.
连接OB.
由正六边形的性质,可知
都是等边三角形,
∴四边形OABC是平行四边形,
2、在
的重心,
上一点,且满足
首先根据
的重心得到
,结合
以及向量的线性运算,求得
的表达式.
的重心,所以
3、已知
均为单位向量,它们的夹角为
,那么
等于()
D.4
先根据题意求出
,再求出
,最后求
即可.
A
4、已知
与向量
的夹角为()
根据向量垂直数量积为零,代值计算即可.
,故可得
即
代值可得
故可得向量
的夹角为
5、已知平面向量
,则实数
由已知可得
,结合向量数量积的运算律,建立
方程,求解即可.
依题意得
由
,得
,解得
6、已知
为单位向量,且满足
_______________.
或
将已知等式移项,可得
,再两边平方,运用向量的数量积的定义和性质,向量的平方即为模的平方,化简整理,解方程即可得到所求值.
为单位向量,得
解得
7、在
中,设
,则动点M的轨迹必通过
A.垂心B.内心C.重心D.
外心
根据已知条件可得
,整理可得
中点,可知
,从而可知
中垂线上,可得轨迹必过三角形外心.
中点,则
的垂直平分线
轨迹必过
的外心
本题正确选项:
8、已知向量
(1)求
(2)求
的夹角及
的夹角.
(1)由
,结合平面向量数量积的运算即可得解;
(2)记
,由平面向量数量积的定义可得
,即可得解.
(1)因为向量
9、设
,求:
(1)利用平面向量数量积的定义可计算出结果;
(2)利用平面向量数量积的运算律可计算出结果;
(3)由题意得出
,利用平面向量数量积的运算律可得出结果.
(1)由平面向量数量积的定义可得
(3)由题意得
10、已知
的夹角
(1)由题意结合平面向量数量积的运算律可得
,再由平面向量数量积的定义即可得
,即可得解;
(2)由题意结合平面向量数量积的知识可得
,运算即可得解.
(1)因为
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