中考总复习函数综合知识讲解提高Word下载.docx
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(3)点的坐标
2.各象限内点的坐标的符号特征
3.特殊位置点的坐标
(1)坐标轴上的点
(2)一三或二四象限角平分线上的点的坐标
(3)平行于坐标轴的直线上的点的坐标
(4)关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标
4.距离
(1)平面上一点到x轴、y轴、原点的距离
(2)坐标轴或平行于坐标轴的直线上两点间的距离
(3)平面上任意两点间的距离
5.坐标方法的简单应用
(1)利用坐标表示地理位置
(2)利用坐标表示平移
要点诠释:
点P(x,y)到坐标轴及原点的距离:
(1)点P(x,y)到x轴的距离等于;
(2)点P(x,y)到y轴的距离等于;
(3)点P(x,y)到原点的距离等于.
考点二、函数及其图象
1.变量与常量
2.函数的概念
3.函数的自变量的取值范围
4.函数值
5.函数的表示方法(解析法、列表法、图象法)
6.函数图象
由函数解析式画其图像的一般步骤:
(1)列表:
列表给出自变量与函数的一些对应值;
(2)描点:
以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点;
(3)连线:
按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来.
考点三、一次函数
1.正比例函数的意义
2.一次函数的意义
3.正比例函数与一次函数的性质
4.一次函数的图象与二元一次方程组的关系
5.利用一次函数解决实际问题
确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式(k0)中的常数k;
确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式(k0)中的常数k和b.解这类问题的一般方法是待定系数法.
考点四、反比例函数
1.反比例函数的概念
2.反比例函数的图象及性质
3.利用反比例函数解决实际问题
反比例函数中反比例系数的几何意义,如下图,过反比例函数图像上任一点作x轴、y轴的垂线PM,PN,垂足为M、N,则所得的矩形PMON的面积S=PMPN=.
∴.
考点五、二次函数
1.二次函数的概念
2.二次函数的图象及性质
3.二次函数与一元二次方程的关系
4.利用二次函数解决实际问题
1、两点间距离公式(当遇到没有思路的问题时,可用此方法拓展思路,以寻求解题方法)
如图:
点A坐标为(x1,y1),点B坐标为(x2,y2),则AB间的距离,即线段AB的长度为.
2、函数平移规律:
左加右减、上加下减.
3、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当时,.
如果自变量的取值范围是,那么,首先要看是否在自变量取值范围内,若在此范围内,则当x=时,;
若不在此范围内,则需要考虑函数在范围内的增减性,如果在此范围内,y随x的增大而增大,则当时,,当时,;
如果在此范围内,y随x的增大而减小,则当时,,当时,.
4、抛物线的对称变换
①关于轴对称
关于轴对称后,得到的解析式是;
关于轴对称后,得到的解析式是.
②关于轴对称
③关于原点对称
关于原点对称后,得到的解析式是;
关于原点对称后,得到的解析式是.
④关于顶点对称
关于顶点对称后,得到的解析式是;
关于顶点对称后,得到的解析式是.
⑤关于点对称
关于点对称后,得到的解析式是.
根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此永远不变.求抛物线的对称图象的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.
考点六、函数的应用
1.一次函数的实际应用
2.反比例函数的实际应用
3.二次函数的实际应用
分段函数是指自变量在不同的取值范围内,其关系式(或图象)也不同的函数,分段函数的应用题多设计成两种情况以上,解答时需分段讨论.在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题,因此,分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型.
【典型例题】
类型一、用函数的概念与性质解题
1.在平面直角坐标系中,点A的坐标是(4,0),点P是第一象限内的直线y=6-x上的点,O是坐标原点(如图所示):
(1)P点坐标设为(x,y),写出ΔOPA的面积S的关系式;
(2)S与y具有怎样的函数关系,写出这函数中自变量y的取值范围;
(3)S与x具有怎样的函数关系?
写出自变量x的取值范围;
(4)如果把x看作S的函数时,求这个函数解析式,并写出这函数中自变量取值范围;
(5)当S=10时,求P的坐标;
(6)在直线y=6-x上,求一点P,使ΔPOA是以OA为底的等腰三角形.
【思路点拨】本例的第
(1)问是“SΔOPA”与“y”的对应关系,呈现正比例函数关系,y是自变量;
第(3)问是“S”与“x”的对应关系,呈现一次函数关系,x是自变量;
第(4)问是“x”与“S”的对应关系,呈现一次函数关系,S是自变量,不要被是什么字母所迷惑,而是要从“对应关系”这个本质去考虑,分清哪个是函数,哪个是自变量.
【答案与解析】
解:
(1)过P点作x轴的垂线,交于Q,
SΔOPA=|OA|·
|PQ|=×
4×
y=2y.
(2)S与y成正比例函数,即S=2y,
自变量y的取值范围是0<y<6.
(3)∵y=6-x,∴S=2y=2(6-x)=12-2x,
∴S=-2x+12成为一次函数关系,自变量x的取值范围是0<x<6.
(4)∵把x看作S的函数,
∴将S=-2x+12变形为:
x=,即这个函数的解析式为:
x=-+6.
自变量S的取值范围是:
0<S<12.
(5)当S=10时,代入(3)、(4)得:
x=-+6=-+6=1,S=2y,10=2y, ∴y=5,
∴P点的坐标为(1,5).
(6)以OA为底的等腰ΔOPA中,
∵OA=4,∴OA的中点为2,∴x=2,
∵y=6-x,∴y=4.即P点坐标为(2,4).
【总结升华】
数学从对运动的研究中引出了基本的函数概念,函数的本质就是对应,函数关系就是变量之间的对应关系,是一种特殊的对应关系.函数的概念中,有两个变量,要分清对应关系,哪一个字母是函数,哪一个是自变量.比如“把x看作S的函数”时,对应关系为用S表示x,其中S是自变量,x是函数.
举一反三:
【高清课程名称:
函数综合2高清ID号:
369112关联的位置名称(播放点名称):
经典例题1】
【变式】已知关于x的一元二次方程有实数根,k为正整数.
(1)求k的值;
(2)当此方程有两个非零的整数根时,将关于x的二次函数的图象向下平移8个单位,求平移后的图象的解析式;
(3)在
(2)的条件下,将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿
x轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象,请你结合这个新的图象回答:
当直线与此图象有两公共点时,b的取值范围.
【答案】
解:
(1)由题意得,≥0.
≤3.
为正整数,
1,2,3.
(2)当时,方程有一个根为零;
当时,方程无整数根;
当时,方程有两个非零的整数根.
综上所述,和不合题意,舍去;
符合题意.
当时,二次函数为,把它的
图象向下平移8个单位得到的图象的解析式
为.
(3)设二次函数的图象与轴交于、
两点,则.
依题意翻折后的图象如图所示.
当直线经过A点时,可得;
当直线经过B点时,可得.
由图象可知,符合题意的b的取值范围
为.
2.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点P在BC边上运动,连结DP,过点A作AE⊥DP,垂足为E,设DP=x,AE=y,则能反映y与x之间函数关系的大致图象是()
(A) (B) (C) (D)
【思路点拨】本题应利用△APD的面积的不同表示方法求得y与x的函数关系;
或由△ADE∽△DPC得到y与x的函数关系.
【答案】C;
【解析】这是一个动点问题.很容易由△ADE∽△DPC得到,从而得出表达式;
也可连结PA,由得到表达式,排除(A)、(B).
因为点P在BC边上运动,当点P与点C重合时,DP与边DC重合,此时DP最短,x=3;
当点P与点B重合时,DP与对角线BD重合,此时DP最长,x=5,即x的临界值是3和5.
又因为当x取3和5时,线段AE的长可具体求出,因此x的取值范围是3≤x≤5.
正确答案选(C).
【总结升华】解决动点问题的常用策略是“以静制动,动静结合”.找准特殊点,是求出临界值的关键.动态问题也是中考试题中的常见题型,要引起重视.
【变式】小明骑自行车上学,开始以正常速度匀速行驶,但行至中途自行车出了故障,只好停下来修车.车修好后,因怕耽误上课,他比修车前加快骑车速度继续匀速行驶,下面是行驶路程s(m)关于时间t(min)的函数图象,那么符合这个同学行驶情况的图象大致是().
【答案】A表示小明一直在停下来修车,而没继续向前走,B表示没有停下来修车,相反速度骑的比原来更慢,D表示修车时又向回走了一段路才修好后又加快速度去学校.选项C符合题意.
类型二、函数的综合题
3.如图,把Rt△ABC放在直角坐标系内,其中∠CAB=90°
,BC=5,点A、B的坐标分别为(1,0)、(4,0),将△ABC沿x轴向右平移,当点C落在直线y=2x-6上时,线段BC扫过的面积为()
A.4B.8C.16D.
【思路点拨】此题涉及运用勾股定理;
已知一次函数解析式中的y值,解函数转化的一元一次方程求出x值,利用横坐标之差计算平移的距离;
以及平行四边形面积公式.
【答案】C;
【解析】将△ABC沿x轴向右平移,当点C落在直线y=2x-6上时即当y=4时,解得x=5,
所以平移的距离为5-1=4,又知BC扫过的图形为平行四边形,高不变为:
,
所以平行四边形面积=底×
高=4×
4=16.
【总结升华】运用数形结合、平移变换、动静变化的数学思想方法是解此题的关键,综合性较强.
【变式】在坐标系中,二次函数的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
(1)求点A的坐标;
(2)当时,求m的值;
(3)已知一次函数,点P
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