《导与练》学年数学必修五人教版A版综合检测试题Word格式文档下载.docx
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(A)100(B)120(C)140(D)160
∵a3+a9=a4+a8=a5+a7=2a6,
∴a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=7a6=420,
∴a6=60,
∴a2+a10=2a6=120.故选B.
4.(2013潮州市高二检测)在△ABC中,已知角B=45°
c=2
b=
则角A的值是( D )
(A)15°
(B)75°
(C)105°
(D)75°
或15°
由正弦定理,
得sinC=
∴C=60°
或120°
∴A=180°
-45°
-60°
=75°
或A=180°
-120°
=15°
故选D.
5.(2014南阳高二期末)已知数列{an}满足(n+2)an+1=(n+1)an,且a2=
则an等于( A )
(A)
(B)
(C)
(D)
∵(n+2)an+1=(n+1)an,
∴
又a2=
∴a1=
a3=
经验证只有选项A符合.故选A.
6.(2014宣城高二期末)设变量x,y满足约束条件
则
的最大值为( A )
(A)6(B)3(C)
(D)1
不等式组表示的可行域如图阴影部分所示,A(1,6),
≤kOA=6,故选A.
7.(2014桂林高二期末)已知△ABC中,三内角A、B、C成等差数列,边a、b、c依次成等比数列,则△ABC是( B )
(A)直角三角形(B)等边三角形
(C)锐角三角形(D)钝角三角形
由A、B、C成等差数列,可得B=60°
不妨设A=60°
-α,C=60°
+α(0°
≤α<
60°
),
由a,b,c成等比数列,
得b2=ac,
由正弦定理得sin2B=sinAsinC,
=sin(60°
-α)sin(60°
+α),
=(sin60°
cosα)2-(cos60°
sinα)2,
cos2α-
sin2α,
(1-cos2α)=-
sin2α=0,
∴α=0°
∴A=B=C,故选B.
8.(2014新余高二期末)在△ABC中,三边a,b,c成等差数列,B=30°
且△ABC的面积为
则b的值是( D )
(A)1+
(B)2+
(C)3+
∵a,b,c成等差数列,
∴b=
又
acsinB=
∴ac=2,
又b2=a2+c2-2accosB
=(a+c)2-2ac-
ac,
3b2=4+2
b2=
9.(2014济南历城高二期末)在△ABC中,角A、B、C所对的边为a,b,c,若a,b,c成等差数列,则角B的范围是( B )
(A)0<
B≤
(B)0<
B<
π
≥
∴cosB=
-1≥
-1
又0<
π,
∴0<
故选B.
10.(2013福建师大附中高二检测)已知a、b为正实数,且
+
=2,若a+b-c≥0对于满足条件的a,b恒成立,则c的取值范围为( A )
(A)(-∞,
](B)(-∞,3]
(C)(-∞,6](D)(-∞,3+2
]
a+b-c≥0恒成立⇔c≤a+b恒成立,
∵a+b=
(
)(a+b)=
(3+
)
(3+2
)=
(当且仅当
且
=2,即
时取“=”)
∴c≤(a+b)min=
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
11.(2013年高考安徽卷)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若b+c=2a,3sinA=5sinB,则角C等于 .
由3sinA=5sinB得a=
b,
又因b+c=2a,得c=2a-b=
b-b=
所以cosC=
=-
则C=
答案:
12.(2013厦门六中高二期中)已知数列{an}:
…,那么数列{
}的前n项和为 .
观察数列{an}可知,
an=
+…+
=4(
-
∴{
}的前n项和为:
4(1-
)+4(
)+…+4(
=4(1-
13.已知△ABC的面积为
且sinA=
则
的最小值为 .
依题意
bcsinA=
∴bc=4,
于是
(2b+c)≥
·
2
当且仅当b=
时取等号.
即
的最小值是
14.不等式组
表示的区域的面积记为f(k),则f(k)的最小值为 .
不等式组
表示的区域是一个直角三角形,如图所示.
对于直线方程kx-y-2k+1=0,
令x=0,得y=1-2k,
令y=0,得x=2-
则区域的面积为
f(k)=
(2-
)(1-2k)=
[4+(-
-4k)]≥
[4+2
]=4(k<
0).
(当且仅当-
=-4k即k=-
时等号成立)
4
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
15.(本小题满分13分)
(2014日照高二期末)公差不为零的等差数列{an}中,a3=7,且a2,a4,a9成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=
求数列{bn}的前n项和Sn.
解:
(1)由数列{an}为公差不为零的等差数列,设其公差为d,且d≠0.
∵a2,a4,a9成等比数列,
=a2·
a9,即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+8d),
整理得d2=3a1d.∵d≠0,∴d=3a1.①
∵a3=7,∴a1+2d=7.②
由①②解得a1=1,d=3,∴an=1+(n-1)×
3=3n-2.
故数列{an}的通项公式是an=3n-2.
(2)由
(1)知bn=23n-2,
∵
=8,
∴{bn}是等比数列,且公比为8,首项b1=2,
∴Sn=
16.(本小题满分13分)
(2014德州联考)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bsinC+ccosB.
(1)求角C;
(2)若c=4,求△ABC面积的最大值.
(1)由已知及正弦定理得
sinA=sinBsinC+sinCcosB.①
又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC.②
由①,②得sinC=cosC.
因为C∈(0,π),
所以C=
(2)由已知及余弦定理得
16=a2+b2-2abcosC
=a2+b2-
ab
≥(2-
)ab.(当且仅当a=b时取等号)
故ab≤
=8(2+
).
∴S△ABC=
absinC
ab≤
×
8(2+
+1).
即△ABC面积的最大值为4(
17.(本小题满分13分)
已知函数f(x)=x2-2x-8,g(x)=2x2-4x-16,
(1)求不等式g(x)<
0的解集;
(2)若对一切x>
2,均有f(x)≥(m+2)x-m-15成立,求实数m的取值范围.
(1)g(x)=2x2-4x-16<
0,
∴(2x+4)(x-4)<
∴-2<
x<
4,
∴不等式g(x)<
0的解集为{x|-2<
4}.
(2)∵f(x)=x2-2x-8.
当x>
2时,f(x)≥(m+2)x-m-15恒成立,
∴x2-2x-8≥(m+2)x-m-15,
即x2-4x+7≥m(x-1).
∴对一切x>
2,均有不等式
≥m成立.
而
=(x-1)+
-2
≥2
-2=2.
(当且仅当x-1=
即x=3时等号成立)
∴实数m的取值范围是(-∞,2].
18.(本小题满分13分)
(2014马鞍山质检)已知函数f(x)=2
sinxcosx-3sin2x-cos2x+2.
(1)求f(x)的最大值;
(2)若△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足
=2+2cos(A+C),求f(B)的值.
(1)f(x)=
sin2x-3sin2x-cos2x+2(sin2x+cos2x)
sin2x+cos2x-sin2x
sin2x+cos2x
=2sin(2x+
∴f(x)的最大值是2.
(2)由条件得sin(2A+C)=2sinA+2sinAcos(A+C),
sinAcos(A+C)+cosAsin(A+C)
=2sinA+2sinAcos(A+C)
化简得sinC=2sinA,
由正弦定理得c=2a.
又b=
a,
由余弦定理得:
a2=b2+c2-2bccosA
=3a2+4a2-4
a2cosA
∴A=
B=
C=
∴f(B)=f(
)=2sin
=1.
19.(本小题满分14分)
(2014日照高二期末)小王在年初用50万元购买一辆大货车,第一年因缴纳各种费用需支出6万元,从第二年起,每年都比上一年增加支出2万元,假定该车每年的运输收入均为25万元.小王在该车运输累计收入超过总支出后,考虑将大货车作为二手车出售,若该车在第x年年底出售,其销售价格为25-x万元(国家规定大货车的报废年限为10年).
(1)大货车运输到第几年年底,该车运输累计收入超过总支出?
(2)在第几年年底将大货车出售,能使小王获得的年平均利润最大?
(利润=累计收入+销售收入-总支出)
(1)设大货车到第x年年底的运输累计收入与总支出的差为y万元,
则y=25x-[6x+
2]-50,(0<
x≤10,x∈N),
即y=-x2+20x-50,(0<
由-x2+20x-50>
解得10-5
10+5
而2<
10-5
3,
故从第3年开始运输累计收入超过总支出.
(2)因为利润=累计收入+销售收入-总支出,
所以销售二手货车后,小王的年平均利润为
[y+(25-x)]
(-x2+19x-25)
=19-(x+
而19-(x+
)≤19-2
=9,
当且仅当
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