历年全国人教版数学高考真题与模拟题分类汇编 k单元 概率文科 含答案.docx
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历年全国人教版数学高考真题与模拟题分类汇编k单元概率文科含答案
数学
K单元概率
K1 随事件的概率
13.K1甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种,则他们选择相同颜色运动服的概率为________.
13. 甲有3种选法,乙也有3种选法,所以他们共有9种不同的选法.若他们选择同一种颜色,则有3种选法,所以其对应的概率P==.
13.K1将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为________.
13. 2本数学书记为数1,数2,3本书共有(数1数2语),(数1语数2),(数2数1语),(数2语数1),(语数1数2),(语数2数1)6种不同的排法,其中2本数学书相邻的排法有4种,对应的概率为P==.
14.K1在3张奖券中有一、二等奖各1张,另1张无奖.甲、乙两人各抽取1张,两人都中奖的概率是________.
14. 基本事件的总数为3×2=6,甲、乙两人各抽取一张奖券,两人都中奖只有2种情况,所以两人都中奖的概率P==.
19.K1某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:
赔付金额(元)
0
1000
2000
3000
4000
车辆数(辆)
500
130
100
150
120
(1)若每辆车的投保金额均为2800元,估计赔付金额大于投保金额的概率;
(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4000元的概率.
19.解:
(1)设A表示事件“赔付金额为3000元”,B表示事件“赔付金额为4000元”,以频率估计概率得
P(A)==0.15,P(B)==0.12.
由于投保金额为2800元,所以赔付金额大于投保金额的概率为
P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.
(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”,由已知,得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000=100(辆),而赔付金额为4000元的车辆中,车主为新司机的有0.2×120=24(辆),所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为=0.24.由频率估计概率得P(C)=0.24.
16.K1、K2一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率;
(2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.
16.解:
(1)由题意,(a,b,c)所有的可能为:
(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27种.
设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A,
则事件A包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3种,
所以P(A)==.
因此,“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为.
(2)设“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”为事件B,
则事件B包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3种.
所以P(B)=1-P(B)=1-=.
因此,“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率为.
K2 古典概型
20.I2,K2根据世行2013年新标准,人均GDP低于1035美元为低收入国家;人均GDP为1035~4085美元为中等偏下收入国家;人均GDP为4085~12616美元为中等偏上收入国家;人均GDP不低于12616美元为高收入国家.某城市有5个行政区,各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表:
行政区
区人口占城市人口比例
区人均GDP(单位:
美元)
A
25%
8000
B
30%
4000
C
15%
6000
D
10%
3000
E
20%
10000
(1)判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准;
(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个,求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率.
20.解:
(1)设该城市人口总数为a,则该城市人均GDP为
=
6400(美元).
因为6400∈从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母,则取到字母a的概率为________.
12. 所有事件有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共10个,其中含有字母a的基本事件有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),共4个,所以所求事件的概率是P==.
5.K2随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1,点数之和大于5的概率记为p2,点数之和为偶数的概率记为p3,则( )
A.p1<p2<p3B.p2<p1<p3
C.p1<p3<p2D.p3<p1<p2
5.C 掷出两枚骰子,它们向上的点数的所有可能情况如下表:
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
则p1=,p2=,p3=.故p1 17.I2、K2某企业有甲、乙两个研发小组,为了比较他们的研发水平,现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下: (a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b). 其中a,a分别表示甲组研发成功和失败;b,b分别表示乙组研发成功和失败. (1)若某组成功研发一种新产品,则给该组记1分,否则记0分.试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差,并比较甲、乙两组的研发水平. (2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品,试估计恰有一组研发成功的概率. 17.解: (1)甲组研发新产品的成绩为 1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1, 其平均数为x甲==, 方差为s==. 乙组研发新产品的成绩为 1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1, 其平均数为x乙==, 方差为s==. 因为x甲>x乙,s<s,所以甲组的研发水平优于乙组. (2)记E={恰有一组研发成功}. 在所抽得的15个结果中,恰有一组研发成功的结果是(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b), 共7个,故事件E发生的频率为. 将频率视为概率,即得所求概率为P(E)=. 4.K2从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是________. 4. 基本事件有(1,2),(1,3)(1,6),(2,3),(2,6),(3,6),共6种情况,乘积为6的是(1,6)和(2,3),则所求事件的概率为. 3.K2掷两颗均匀的骰子,则点数之和为5的概率等于( ) A.B.C.D. 3.B 掷两颗均匀的骰子,一共有36种情况,点数之和为5的有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共4种,所以点数之和为5的概率为=. 21.K2、B1、B12将连续正整数1,2,…,n(n∈N*)从小到大排列构成一个数123…n,F(n)为这个数的位数(如n=12时,此数为123456789101112,共有15个数字,F(12)=15),现从这个数中随机取一个数字,p(n)为恰好取到0的概率. (1)求p(100); (2)当n≤2014时,求F(n)的表达式; (3)令g(n)为这个数中数字0的个数,f(n)为这个数中数字9的个数,h(n)=f(n)-g(n),S={n|h(n)=1,n≤100,n∈N*},求当n∈S时p(n)的最大值. 21.解: (1)当n=100时,这个数中总共有192个数字,其中数字0的个数为11,所以恰好取到0的概率为p(100)=. (2)F(n)= (3)当n=b(1≤b≤9,b∈N*),g(n)=0; 当n=10k+b(1≤k≤9,0≤b≤9,k∈N*,b∈N)时,g(n)=k; 当n=100时,g(n)=11,即g(n)= 1≤k≤9,0≤b≤9,k∈N*,b∈N, 同理有f(n)= 由h(n)=f(n)-g(n)=1,可知n=9,19,29,39,49,59,69,79,89,90, 所以当n≤100时,S={9,19,29,39,49,59,69,79,89,90}. 当n=9时,p(9)=0. 当n=90时,p(90)===. 当n=10k+9(1≤k≤8,k∈N*)时,p(n)===,由y=关于k单调递增,故当n=10k+9(1≤k≤8,k∈N*)时,p(n)的最大值为p(89)=. 又<,所以当n∈S时,p(n)的最大值为. 18.I4、K2某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表所示: 喜欢甜品 不喜欢甜品 合计 南方学生 60 20 80 北方学生 10 10 20 合计 70 30 100 (1)根据表中数据,问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”; (2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生,其中2名喜欢甜品,现在从这5名学生中随机抽取3人,求至多有1人喜欢甜品的概率. 附: χ2=, P(χ2≥k) 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 18.解: (1)将2×2列联表中的数据代入公式计算,得 χ2===≈4.762. 由于4.762>3.841,所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”. (2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω={(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),(a1,a2,b3),(a1,b1,b2),(a1,b1,b3),(a1,b2,b3),(a2,b1,b2),(a2,b1,b3),(a2,b2,b3),(b1,b2,b3)}, 其中ai表示喜欢甜品的学生,i=1,2,bj表示不喜欢甜品的学生,j=1,2,3. Ω由10个基本事件组成,且这些基本事件的出现是等可能的. 用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件,则A={(a1,b1,b2),(a1,b1,b3),(a1,b2,b3),(a2,b1,b2),(a2,b1,b3),(a2,b2,b3),(b1,b2,b3)}. 事件A由7个基本事件组成,因而P(A)=. 16.I2,K2海关对同时从A,B,C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此种商品的数量(单位: 件)如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测. 地区
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