届上海市金山区高三上学期期末考试一模数学试题Word文档下载推荐.docx
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8.若
的二项展开式中的常数项为m,则m=▲.
9.从一堆苹果中任取5只,称得它们的质量分别是:
(单位:
克)125,124,121,123,127,则该样本的标准差是▲克.
10.三棱锥O–ABC中,OA=OB=OC=2,且∠BOC=45,则三棱锥O–ABC体积的最大值是▲.
11.从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}中任取两个数,欲使取到的一个数大于k,另一个数小于k(其中k{5,6,7,8,9})的概率是
,则k=▲.
12.已知点A(–3,–2)和圆C:
(x–4)2+(y–8)2=9,一束光线从点A发出,射到直线l:
y=x–1后反射(入射点为B),反射光线经过圆周C上一点P,则折线ABP的最短长度是▲.
13.如图所示,在长方体ABCD–EFGH中,AD=2,AB=AE=1,M为矩形AEHD内的一点,如果∠MGF=∠MGH,MG和平面EFG所成角的正切值为
,那么点M到平面EFGH的距离是▲.
14.已知点P(x0,y0)在椭圆C:
(a>
b>
0)上,如果经过点P的直线与椭圆只有一个公共点时,称直线为椭圆的切线,此时点P称为切点,这条切线方程可以表示为:
.
根据以上性质,解决以下问题:
已知椭圆L:
,若Q(u,v)是椭圆L外一点(其中u,v为定值),经过Q点作椭圆L的两条切线,切点分别为A、B,则直线AB的方程是▲.
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.
15.复数z1=a+bi(a、bR,i为虚数单位),z2=–b+i,且|z1|<
|z2|,则a的取值范围是(▲).
(A)a>1(B)a>0(C)–l<a<1(D)a<–1或a>1
16.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中偶数有(▲).
(A)60个(B)48个(C)36个(D)24个
17.设k>
1,f(x)=k(x–1)(xR),在平面直角坐标系xOy中,函数y=f(x)的图像与x轴交于A点,它的反函数y=f–1(x)的图像与y轴交于B点,并且这两个函数的图像相交于P点.已知四边形OAPB的面积是3,则实数k等于(▲).
(A)3(B)
(C)
(D)
18.若集合A1、A2满足A1∪A2=A,则称(A1,A2)为集合A的一个分拆,并规定:
当且仅当A1=A2时,(A1,A2)与(A2,A1)为集合A的同一种分拆,则集合A={a1,a2,a3}的不同分拆种数是(▲).
(A)8(B)9(C)26(D)27
三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分12分)
a、b、c分别是锐角△ABC的内角A、B、C的对边,向量
=(2–2sinA,cosA+sinA),
=(sinA–cosA,1+sinA),且
∥
.已知a=
,△ABC面积为
,求b、c的大小.
20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分6分.
如图,在四棱锥P–ABCD的底面梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AB=2,AD=3,∠ADC=45.已知PA⊥平面ABCD,PA=1.
求:
(1)异面直线PD与AC所成角的大小(结果用反三角函数值表示);
(2)三棱锥C–APD的体积.
21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分.
已知a>
0且a1,数列{an}是首项与公比均为a的等比数列,数列{bn}满足bn=anlgan(nN*).
(1)若a=3,求数列{bn}的前n项和Sn;
(2)若对于nN*,总有bn<
bn+1,求a的取值范围.
22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.
动点
与点
的距离和它到直线
的距离相等,记点
的轨迹为曲线
(1)求曲线
的方程;
(2)设点
2
动点
在曲线
上运动时,
的最短距离为
,求
的值以及取到最小值时点
的坐标;
(3)设
为曲线
的任意两点,满足
(
为原点),试问直线
是否恒过一个定点?
如果是,求出定点坐标;
如果不是,说明理由.
23.(本小题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
设函数f(x)=2kax+(k–3)a–x(a>
0且a1)是定义域为R的奇函数.
(1)求k值;
(2)若f
(2)<
0,试判断函数f(x)的单调性,并求使不等式f(x2–x)+f(tx+4)<
0恒成立的t的取值范围;
(3)若f
(2)=3,且g(x)=2x+2–x–2mf(x)在
2,+∞
上的最小值为–2,求m的值.
上海市金山区2017—2017学年第一学期期末考试
评分标准
1.[0,5];
2.
;
3.0<
x<
1;
4.1–i;
5.
或0;
6.3n+2;
7.0
8.7920;
9.2;
10.
11.7;
12.10;
13.
14.
15.C;
16.B;
17.B;
18.D
解:
,
,又
‖
(2–2sinA)(1+sinA)–(cosA+sinA)(sinA–cosA)=0,即:
又
为锐角,则
,所以∠A=60…………………………………………6分
因为△ABC面积为
,所以
bcsinA=
,即bc=6,
又a=
,所以7=b2+c2–2bccosA,b2+c2=13,
解之得:
或
………………………………………………………………12分
(1)过点C作CF∥AB交AD于点F,延长BC至E,使得CE=AD,连接DE,则AC∥DE,所以∠PDE就是异面直线PD与AC所成的角或其补角,………………2分
因为∠ADC=45,所以FD=2,从而BC=AF=1,且DE=AC=
,AE=
,PE=
,PD=
,在△
中,
,所以,异面直线
与
所成角的大小为
………………………………………………………………8分
(2)因为VC–APD=VP–ACD,
S△ACD=
CFAD=3
PA⊥底面ABCD,三棱锥P–ACD的高为PA=1,
VP–ACD=
S△ACDPA=1,
所以,三棱锥C–APD的体积为1.………………………………………………………14分
21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分.
(1)由已知有
所以
.………………………………………………………7分
(2)
即
.由
且
,得
对任意nN*成立,
……………………………………………14分
(1)根据抛物线的定义可知,动点
的轨迹是抛物线
所以曲线C的方程为x2=4y;
……………………………………………………………4分
(2)设点T(x0,y0),x02=4y0(y0≥0),
|AT|=
=
a–2>
0,则当y0=a–2时,|AT|取得最小值为2
,
=a–1,a2–6a+5=0,a=5或a=1(舍去),
所以y0=a–2=3,x0=2
,所以T坐标为(2
3);
……………………………10分
(3)显然直线OP1、OP2的斜率都必须存在,记为k,
,解之得P1(
),同理P2(–4k,4k2),
直线P1P2的斜率为
,直线P1P2方程为:
整理得:
k(y–4)+(k2–1)x=0,所以直线P1P2恒过点(0,4)………………………………16分
解
(1)因为f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=0,
所以2k+(k–3)=0,即k=1,检验知,符合条件………………………………………4分
(2)f(x)=2(ax–a–x)(a>
0且a1)
因为f
(2)<
0,
<
0,又a>
0且a1,所以0<
a<
1
因为y=ax单调递减,y=a–x单调递增,故f(x)在R上单调递减。
……………………7分
不等式化为f(x2–x)<
f(–tx–4)
所以x2–x>
–tx–4,即x2+(t–1)x+4>
0恒成立,
所以Δ=(t–1)2–16<
0,解得–3<
t<
5.……………………………………………………10分
(3)因为f
(2)=3,所以2(
)=3,即2a4–3a2–2=0,所以a=
……………12分
所以g(x)=2x+2–x–4m(
–
)=(
)2-4m(
)+2.
令t=
,由
(1)可知t=
为增函数,因为x≥2,所以t≥
令h(t)=t2-4mt+2=(t–2m)2+2–4m2(t≥
)…………………………………………15分
若m≥
,当t=2m时,h(t)min=2-4m2=–2,∴m=1
若m<
,当t=
时,h(t)min=
-6m=–2,解得m=
>
,舍去
综上可知m=1.…………………………………………………………………………18分
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