初二下期末几何压轴题及解析Word文档下载推荐.docx
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设∠AEB为x°
,则∠ADF也为x°
于是有∠BED为(60-x)°
,∠EDF为(60+x)°
∴∠EGD=180°
-∠BED-∠EDF
=180°
-(60-x)°
-(60+x)°
=60°
2、已知:
如图,在□ABCD中,点E是BC的中点,
连接AE并延长交DC的延长线于点F,连接BF.
(1)求证:
△ABE≌△FCE;
(2)若AF=AD,求证:
四边形ABFC是矩形.
简单题
证明:
(1)如图1.
在△ABE和△FCE中,∠1=∠2,∠3=∠4,BE=CE,
∴△ABE≌△FCE.
(2)∵△ABE≌△FCE,∴AB=FC.
∵AB∥FC,∴四边形ABFC是平行四边形.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC.
∵AF=AD,∴AF=BC.∴四边形ABFC是矩形.
3、已知:
△ABC是一张等腰直角三角形纸板,∠B=90°
,AB=BC=1.
(1)要在这张纸板上剪出一个正方形,使这个正方形的四个顶点都在△ABC的边上.小林设计出了一种剪法,如图1所示.请你再设计出一种不同于图1的剪法,并在图2中画出来.
(2)若按照小林设计的图1所示的剪法来进行裁剪,记图1为第一次裁剪,得到1个正方形,将它的面积记为
,则
=___________;
余下的2个三角形中还按照小林设计的剪法进行第二次裁剪(如图3),
得到2个新的正方形,将此次所得2个正方形的面积的和记为
在余下的4个三角形中再按照小林设计的的剪法进行第三次裁剪(如图4),得到4个新的正方形,将此次所得4个正方形的面积的和记为
;
按照同样的方法继续操作下去……,第
次裁剪得到_________个新的正方形,它们的面积的和
=______________.
(题外题:
把你剪出的正方形的面积与图1中的正方形面积进行比较。
本题相当于中考12题的简单题
解:
(1)如图2;
-------------1分
(2)
,
.----------6分
4、已知:
如图,平面直角坐标系
中,正方形ABCD的边长为4,它的顶点A在
轴的正半轴上运动,顶点D在
轴的正半轴上运动(点A,D都不与原点重合),顶点B,C都在第一象限,且对角线AC,BD相交于点P,连接OP.
(1)当OA=OD时,点D的坐标为______________,
∠POA=__________°
(2)当OA<
OD时,求证:
OP平分∠DOA;
(3)设点P到y轴的距离为
,则在点A,D运动的
过程中,
的取值范围是________________.
(第二问:
如果点P到OP“所平分的角”的两边的距离相等,即可。
)(第二问的题外题:
当OA>OD时,求证:
(1)(
),
(2)过点P作PM⊥
轴于点M,PN⊥
轴于点N.(如图3)
∵四边形ABCD是正方形,∴PD=PA,∠DPA=90°
.
∵PM⊥
轴于点N,
∴∠PMO=∠PNO=∠PND=90°
.
∵∠NOM=90°
,∴四边形NOMP中,∠NPM=90°
.∴∠DPA=∠NPM.
∵∠1=∠DPA-∠NPA,∠2=∠NPM-∠NPA,∴∠1=∠2.
在△DPN和△APM中,∠PND=∠PMA,∠1=∠2,PD=PA,
∴△DPN≌△APM.∴PN=PM.∴OP平分∠DOA.
(3)
≤
.-
5、已知:
中,矩形OABC的
顶点A,C的坐标分别为(4,0),(0,3).将△OCA沿直线CA
翻折,得到△DCA,且DA交CB于点E.
EC=EA;
(2)求点E的坐标;
(3)连接DB,请直接写出四边形DCAB的周长和面积.
(第二问,有坐标,用代数法勾股定理可得CE=AE的长)
(第三问的证明:
过D做DM⊥AC于M,过B做BN⊥CA于N,则由相似可得,DM=BN=梯形的高(能求出具体数),CM=AN(具体数)还看得DB=MN(具体数)这样即可求出周长,有可求出面积。
(1)如图1.∵△OCA沿直线CA翻折得到△DCA,
∴△OCA≌△DCA.∴∠1=∠2.
∵四边形OABC是矩形,∴OA∥CB.
∴∠1=∠3.∴∠2=∠3.∴EC=EA.
解:
(2)设CE=AE=
∵点A,C的坐标分别为(4,0),(0,3),∴OA=4,OC=3.
∵四边形OABC是矩形,∴CB=OA=4,AB=OC=3,∠B=90°
在Rt△EBA中,
∴
.解得
.∴点E的坐标为(
).
6、已知:
△ABC的两条高BD,CE交于点F,点M,N分别是AF,BC的中点,连接ED,MN.
(1)在图1中证明MN垂直平分ED;
(2)若∠EBD=∠DCE=45°
(如图2),判断以M,E,N,D为顶点的四边形的形状,并证明你的结论.
图2
第一问,连接EM,EN,DM,DN,利用三角形斜边中线等于斜边一半得,ME=MD,NE=ND,所以点M、N都在线段ED的垂直平分线上。
(有△ADF≌△BDC,得AF=BC,(还得∠MDA=∠NDB,证直角时用),进而得菱形,再证一直角得正方形,)
(1)证明:
连接EM,EN,DM,DN.(如图2)
∵BD,CE是△ABC的高,
∴BD⊥AC,CE⊥AB.
∴∠BDA=∠BDC=∠CEB=∠CEA=90°
∵在Rt△AEF中,M是AF的中点,∴EM=
AF.
同理,DM=
AF,EN=
BC,DN=
BC.
∴EM=DM,EN=DN.
∴点M,N在ED的垂直平分线上.∴MN垂直平分ED.
(2)判断:
四边形MEND是正方形.
证明:
连接EM,EN,DM,DN.(如图3)
∵∠EBD=∠DCE=45°
,而∠BDA=∠CDF=90°
∴∠BAD=∠ABD=45°
,∠DFC=∠DCF=45°
.∴AD=BD,DF=DC.
在△ADF和△BDC中,
AD=BD,
∠ADF=∠BDC,(Rt∠)
DF=DC,
∴△ADF≌△BDC.∴AF=BC,∠1=∠2.
∵由
(1)知DM=
AF=AM,DN=
BC=BN,
∴DM=DN,∠1=∠3,∠2=∠4.∴∠3=∠4.
∵由
(1)知EM=DM,EN=DN,∴DM=DN=EM=EN.
∴四边形MEND是菱形.
∵∠3+∠MDF=∠ADF=90°
,∴∠4+∠MDF=∠NDM=90°
∴四边形MEND是正方形.
7、(6分)如图,现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为AD边上的一点(不与点A、点D重合),将正方形纸片折叠,使点B落在P处,点C落在G处,PG交DC于H,折痕为EF,联结BP、BH。
∠APB=∠BPH;
(2)求证:
AP+HC=PH;
(3)当AP=1时,求PH的长。
第一问,设∠EPB=∠EBP=m,则∠BPH=90°
-m,∠PBC=90°
-m,所以∠BPH=∠PBC,又因为∠APB=∠PBC,所以,∠APB=∠BPH。
第二问的题外题:
将此题与北京141之东城22和平谷24放在一起,旋转翻折共同学习;
此题中用旋转把△ABP绕点B顺时针旋转90°
不能到达目的,于是延BP翻折,翻折后的剩余部分△BQH与△BCH也可全等,即可到达目的,还有意外收获:
证得∠PBH=45°
第三问,代数方法的勾股定理。
∵PE=BE,∴∠EPB=∠EBP,
又∵∠EPH=∠EBC=90°
∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP。
即∠BPH=∠PBC。
又∵四边形ABCD为正方形,∴AD∥BC,
∴∠APB=∠PBC。
∴∠APB=∠BPH。
(2分)
(2)证明:
过B作BQ⊥PH,垂足为Q,
由
(1)知,∠APB=∠BPH,
又∵∠A=∠BQP=90°
,BP=BP,
∴△ABP
△QBP,∴AP=QP,BA=BQ。
又∵AB=BC,∴BC=BQ。
又∵∠C=∠BQH=90°
,BH=BH,
∴△BCH
△BQH,∴CH=QH,∴AP+HC=PH。
(4分)
(3)由
(2)知,AP=PQ=1,∴PD=3。
设QH=HC=
,则DH=
在Rt△PDH中,
即
,解得
,∴PH=3.4(6分)
8、(6分)如图,在△ABC中,AC>AB,D点在AC上,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,连结EF并延长,与BA的延长线交于点G,若∠EFC=60°
,联结GD,判断△AGD的形状并证明。
(也可问∠ADG的度数。
判断:
△AGD是直角三角形。
如图联结BD,取BD的中点H,联结HF、HE,
∵F是AD的中点,
,∴∠1=∠3。
同理,HE//CD,HE=
,∴∠2=∠EFC。
∵AB=CD, ∴HF=HE,∴∠1=∠2,∴∠3=∠EFC。
∵∠EFC=60°
,∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°
∴△AGF是等边三角形。
∴AF=FG
∵AF=FD, ∴GF=FD,∴∠FGD=∠FDG=30°
∴∠AGD=90°
,即△AGD是(特殊)直角三角形。
(GE=BG-BE,GH是直角三角形的斜边,这样证全等。
10、阅读下列材料:
小明遇到一个问题:
AD是△ABC的中线,点M为BC边上任意一点(不与点D重合),过点M作一直线,使其等分△ABC的面积.
他的做法是:
如图1,连结AM,过点D作DN//AM交AC于点N,作直线MN,直线MN即为所求直线.
请你参考小明的做法,解决下列问题:
(1)如图2,在四边形ABCD中,AE平分ABCD的面积,M为CD边上一点,过M作一直线MN,使其等分四边形ABCD的面积(要求:
在图2中画出直线MN,并保留作图痕迹);
(2)如图3,求作过点A的直线AE,使其等分四边形ABCD的面积(要求:
在图3中画出直线AE,并保留作图痕迹).
(第二问,把△ABC的面积接到DC的延长线上。
11、已知:
四边形ABCD是正方形,点E在CD边上,点F在AD边上,且AF=DE.
(1)如图1,判断AE与BF有怎样的位置关系?
写出你的结果,并加以证明;
(2)如图2,对角线AC与BD交于点O.BD、AC分别与AE、BF交于点G,点H.
①求证:
OG=OH;
②连接OP,若AP=4,OP=
,求AB的长.
图1
【第二问①,证△AOG≌△BHO,
第二问②,(在OB上截取BQ=AP,则△APO≌△BQO,得OP=OQ,AP=BQ,也可得∠OPG=
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