最新高等数学上册期末考试试题含答案PUWord格式.docx
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所以收敛半径为R=1.收敛区间为-1<
x-1<
1即0<
x<
2.
当t=1时,级数收敛,当t=-1时,级数为交错级数,由莱布尼茨判别法知其收敛.
所以,原级数收敛域为0≤x≤2,即[0,2]
3.若存在,证明:
级数收敛.
证:
∵存在,∴∃M>
0,使|n2Un|≤M,
即n2|Un|≤M,|Un|≤
而收敛,故绝对收敛.
4.用比值判别法判别下列级数的敛散性:
(1);
(4)
(1),,
由比值审敛法知,级数收敛.
(2)
所以原级数发散.
(3)
故原级数收敛.
5.某父母打算连续存钱为孩子攒学费,设建行连续复利为5%(每年),若打算10年后攒够5万元,问每年应以均匀流方式存入多少钱?
设每年以均匀流方式存入x万元,则
5=
即5=20x(e0.51)
≈0.385386万元=3853.86元.
习题六
6.已知电压u(t)=3sin2t,求
(1)u(t)在上的平均值;
(2)电压的均方根值.
均方根公式为
故
7.求曲线段y=x3(0≤x≤1)绕x轴旋转一周所得旋转曲面的面积.
.
8.设有一截锥体,其高为h,上、下底均为椭圆,椭圆的轴长分别为2a,2b和2A,2B,求这截锥体的体积。
如图16建立直角坐标系,则图中点E,D的坐标分别为:
E(a,h),D(A,0),于是得到ED所在的直线方程为:
(16)
对于任意的y∈[0,h],过点(0,y)且垂直于y轴的平面截该立体为一椭圆,且该椭圆的半轴为:
,同理可得该椭圆的另一半轴为:
.
故该椭圆面积为
从而立体的体积为
.
9.证明:
(1)
证明:
当时,
于是
而
由夹逼准则知:
由中值定理得
其中
10.逻辑斯谛(Logistic)曲线族
建立了动物的生长模型.
(1)画出B=1时的曲线的图像,参数A的意义是什么(设x表示时间,y表示某种动物数量)?
,g(x)在(-∞,+∞)内单调增加,
当x>
0时,在(0,+∞)内是凸的.
当x<
0时,在(-∞,0)内是凹的.
当x=0时,.
且.故曲线有两条渐近线y=0,y=A.且A为该种动物数量(在特定环境中)最大值,即承载容量.如图:
(2)计算g(-x)+g(x),并说明该和的意义;
(3)证明:
曲线是对g(x)的图像所作的平移.
∵
取,得
即曲线是对g(x)的图像沿水平方向作了个单位的平移.
习题四
11.试证:
方程只有一个实根.
证明:
设,则为严格单调减少的函数,因此至多只有一个实根.而,即为的一个实根,故只有一个实根,也就是只有一个实根.
12.对函数及在上验证柯西定理的正确性.
验证:
,在上连续,在内可导,且,满足柯西定理的条件.
由,得,
故满足柯西定理的结论.
13.国民收入的年增长率为7.1%,若人口的增长率为1.2%,则人均收入年增长率为多少?
人均收入年增长率=国民收入的年增长率-人口增长率=7.1%-1.2%=5.9%.
习题三
14.将函数展开成x的幂级数.
由于
所以(|x|≤1)
15.某人走过一桥的速度为4km·
h-1,同时一船在此人底下以8km·
h-1的速度划过,此桥比船高200m,求3min后,人与船相离的速度.
设t小时后,人与船相距s公里,则
且(km·
h-1)
16.已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角=40°
如图所示.当过水断面ABCD的面积为定值S0时,求湿周L(L=AB+BC+CD)与水深h之间的函数关系式,并指明其定义域.
图1-1
解:
从而.
由得定义域为.
17.利用泰勒公式求下列极限:
⑴⑵(3)
⑴
⑵
(3)令,当时,,
18.设,且与相比是很小的量,证明:
利用近似公式,有
19.利用微分求下列各数的近似值:
⑴;
⑵;
⑶.
⑴利用近似公式,有
⑵利用近似公式,有
⑶取,令,
而,则
20.在括号内填入适当的函数,使等式成立:
⑵;
⑶;
⑷;
⑸;
⑹;
⑺;
⑻.
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
⑺
⑻
21.求.
22.求下列函数的导数:
⑴;
⑶;
⑸;
⑹(a为常数);
⑺;
⑻;
⑼;
⑽;
⑾;
⑿;
⒀;
⒁为常数).
⑵;
;
;
⑹;
⑻;
⑽;
⑾
⑿
⒁.
23.设表示重1单位的金属从加热到所吸收的热量,当金属从升温到时,所需热量为与之比称为到的平均比热,试解答如下问题:
⑴如何定义在时,金属的比热;
⑵当(其中a,b均为常数)时,求比热.
24.已知,求.
当时,,
故不存在.
又
综上所述知
25.设在上连续,且,证明:
方程在[0,a]内至少有一根.
令,由在上连续知,在上连续,且
若则都是方程的根,
若,则,由零点定理知,至少,使,
即,即是方程的根,
综上所述,方程在内至少有一根.
26.试证:
方程至少有一个不超过的正根,其中.
令,则在上连续,
且,
若,则就是方程的根.
若,则由零点定理得.
使即即,即是方程的根,综上所述,方程至少有一个不超过的正根.
27.当x=0时,下列函数无定义,试定义的值,使其在x=0处连续:
∴补充定义可使函数在x=0处连续.
28.用函数极限定义证明:
(1),要使
只须,取,则当时,必有
故.
(2),要使
(3),要使
只要取,则
当时,必有,
(4),要使
只须,取,则
当时,必有
(5),要使
29.对下列数列求,并对给定的确定正整数,使对所有,有:
,要使,只须.取,则当时,必有.
当时,或大于1000的整数.
,要使
只要即即可.
取,则当时,有.
当时,或大于108的整数.
30.设某种商品的需求弹性为0.8,则当价格分别提高10%,20%时,需求量将如何变化?
因弹性的经济意义为:
当自变量x变动1%,则其函数值将变动.
故当价格分别提高10%,20%时,需求量将分别提高0.8×
10%=8%,0.8×
20%=16%.
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1.无
2.无
3.无
4.无
5.无
6.无
7.无
8.无
9.无
10.无
11.无
12.无
13.无
14.无
15.无
16.无
17.无
18.无
19.无
20.无
21.无
22.无
23.无
24.无
25.无
26.无
27.无
28.无
29.无
30.无
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