一维定态问题文档格式.docx
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(x>
(3)
但
写出在连接点x=0处连续条件
(4)
(5)
x=a处连续条件
(6)
(7)
(4)(5)二式相除得
(6)(7)二式相除得
从这两式间可消去B,C,得到一个间的关系
解出,得
(8)
最后一式用E表示时,就是能量得量子化条件:
(乙法)在0<
a区间中波函数表示为
现在和前一法相同写出边界条件:
(在x=0处)(9)
(10)
(在x=a处)(11)
(12)
(9)(10)相除得
(13)
(11)(12)相除得
(14)
写出(13)(14)的反正切关系式,得到:
或
前述两法的结果形式不同,作为一种检验,可以用下述方法来统一。
试将第二法所得的量子化条件,等号左右方取其正切:
左方
此结果与第一法相同。
[3]设质量为m的粒子在下述势阱中运动:
求粒子的能级。
(解)本题是在半区中的一维谐振子,它的薛定谔方程式
在x>0的半区内与普通谐振子的相同,在负半区中。
一般谐振子的函数ψ(x)满足薛氏方程式:
(1)
作自变量变换()
并将波函数变换:
得u的微分方程:
(2)
但(3)
设
(2)的解是级数:
(4)
将(4)代入
(2)知道,指标s的值是s=1或s=0。
此外又得到相同的二个未定系数之间的关系有二种:
s=0时,(5)
s=1时,(6)
为了使波函数ψ(x)满足标准条件,级数(4)必需中断。
此外由于本题情形中应满足边界条件(波函数连续性),x=0时ψ(x)=0,即u(0)=0。
因而必需取s=1,它的递推式是(6),因此如果级数(4)中断,而(4)的最高幂是n=2m,在(4)式中取s=1,,,则在(6)式中取n为最高幂时:
由(3)得
(7)
式中的m=0,1,2,3,4,……
(7)式即我们需求的粒子的能级。
本题的波函数是
是归一化常数,是奇阶数厄米多项式。
[4]考虑粒子在下列势阱壁(x=0)处的反射系数。
(解)本题中设想粒子从左侧入射。
在(x〈0〉区中有入射反射波
(1)
在(x>
0区)中仅有透射波
但
考虑在原点0(x=0)处波函数(x)和一阶倒数(x)的连接性,有:
即(3)
即(4)
因按题意要计算反射系数R,
同理(5)
,若求比值,可从(3)(4)消去C,得到:
[5]试证明对于任意势垒,粒子的反射系数T满足R+T=1。
(解)任意的势垒是曲线形的,如果V(x)没有给定,则(x)不能决定,因而无法计算各种几率流密度。
但如果附图所示V(x)满足二点特性:
(1)
(2)
我们近似地认为当时波函数的解是
时波函数的解是
但由于粒子几率流的守恒(V(x)是实数函数):
在数量上入射几率流密度应等于反射的和透射的的和,即:
仿前题的算法,不必重复就可以写出:
这里的
(1)
(2)是等效的,将
(1)遍除得:
即得证
将
(2)式遍除得另一种形式:
[6]设在一维无限深势阱中运动的粒子的状态用:
描述,求粒子能量的可能植及相应的几率。
(解)(甲法)一维无限深势阱的本征态波函数是
题给波函数可用本征函数展开:
因此是非本征态,它可以有二种本征态,处在
态上的几率是。
这时能量是,处在
态上的几率是,这时能量是。
(乙法)可以运用叠加原理的展开式的系数的决定法来求C,其余同。
按一般原理,将已知函数展开成算符的分立本数谱时,有
在本题中,有
按罗比达法则最后一式只有有贡献相当于m=1,或3。
,其余与甲法同。
[7]设一谐振子处于基态,求它的并验证测不准关系:
(解)由对称性知道,同理也由对称性知道对谐振子而言,应先写出归一化波函数:
但
(1)
于是
(2)
为了计算这个积分,利用厄米多项式不同阶间的递推式:
(3)
此式作为已知的,不证。
将前式遍乘ξ,重复用公式
将此式代入
(2)
此式最后一式第一项。
第三项都和的正交化积分式成比例,都等于零。
第二项和归一化积分成比例;
可以简化
再计算,这可以利用波函数满足的微分方程式:
(是振子质量)
将此遍乘对积分
测不准关系中的不准度是:
=
因m=0,而
[8]设粒子处于无限深势阱中,状态用波函数描述,是归一化常数,求
(1)粒子取不同能量几率分布。
(2)能量平均值及涨落。
(解)在物理意义上,这是一种能量的非本征态,就是说体系在这种态上时,它的能量是不确定的,薛定谔方程是能量的本征方程,波函数不会满足薛氏方程式。
但我们知道势阱中的粒子满足边界条件的解是:
(n=1,2,3,……)
这种解是能量本征态,相应的能量
按叠加原理非本征态可用本征函数谱展开:
(1)
(1)
利用积分公式:
于
(2)式,可求得:
此式只有为奇数时才不为0,故只有量子数奇数的态
(4)
仍是归一化的,故粒子具有能级:
的几率是
(2)能量的平均值可以按照已知几率分布的公式计算:
(n奇数)(6)
根据福利衰级数可计算(n奇)有几种方法,例如:
()
上式中令x=0立刻得
代(6)式得
另一方法是直接依据题给的能量非本征态用积分法求平均值:
能够这样的原因是是厄米算符.
(3)能量的涨落指能量的不准度现需求能量平方的平均值,这可利用前半题结果,既的值来计算.
但
关于此求和式也用福利衰级数
(展开区间)此式中可取,
代入得
(补白):
本题若直接用积分求要利用厄米性:
[9]一维无限深势阱中求处于态的粒子的动量分布几率密度。
(解)因为是已知的,所以要求动量分布的几率密度,先要求动量波函数,这可利用福利衰变换的一维公式:
利用不定积分公式
用于前一式:
(n奇数)
,(n偶数)
动量几率密度分别是
,(n奇数)
,(n偶数)
[10]写出动量表象中谐振子的薛定谔方程式,并求出动量几率分布。
(解)
(一)主要方法是利用一维动量波函数的变换式:
先写出座标表象的薛定谔方程式:
遍乘,再对坐标求积分,的到一种关系式:
利用分部积分,并使用的边界条件,分别计算(3)
各项:
将(4)(5)代入(3)再加整理后,得到动量表象的薛定谔方程式:
最后一式已将偏导数改成导数,(6)和
(2)的形式相似,因此如果在
(2)式中作以下替代,就得到(6)式:
(二)动量波函数的计算
根据动量表象的薛定谔方程式(6),先设法将(6)变形,形成为和坐标衰象薛定谔方程式形式一样,首先使二阶导数形式相同,将(6)遍除m22得:
(7)
和
(2)比较系数,发现若将动量表象式(3)中换成,(7)式变成:
(8)
但,这样(8)和
(2)形式全同,它们的解的形式也同,但
(2)的解是:
(9)
因此(8)或(7)的解是:
(10)
动量的分布,即动量几率密度是:
(11)
本题是第一章第15题的特例,又因为势能的形式很特殊,所以能用类似方法求解。
假使换了别种形式的势能。
常要用积分方程求解。
[11]设粒子处在对称的双方势阱中
0
(1)在情况下求粒子能级,并证明能级是双重简并。
(2)证明取有限值情况下,简并将消失。
(解)本题的势场相对于原点0来说是对称的,因此波函数具有字称。
设总能量是E,又设在区间(,)(-a,a)(b,)之中波函数都是零,在区间(a,b),设波函数是:
考虑x=a,x=b二连续条件:
(势阱外面)
从这里得到,因而得,,因而得,n,是整数,满足边界条件的解是:
再考虑区间,设波函数:
(5)
代入在二点的连续条件得
得:
,但整数,因此区间的波函数:
和之间要满足奇或偶宇称的要求,才能成为一组合理的解,若令,得A=B,相应的一组偶宇称解是:
同理令,得到一组奇宇称解是
(9)
和是线性不相关的解,但却有相同的波数,因而也有相同的能级.能级是分立的,这可以从边界条件式同时满足的要求看到,这两式推得
相减得
是整数,可作为能级编号.
因此能级是
是二度简并的
注:
在本题中因为左右两个势阱对称,粒子在两者中都能出现,和实际上是同一个函数,只是的取值范围不同.
考察为有限值情形的解,先设E<
设区间中的解是
代入边界条件,的得
因而
或
在的对称区中的解设是
代入边界条件,得
因而
或
(2)
和情形相同,C=A,偶宇称解是
奇宇称解是
在区间内的解满足薛定谔方程
但,令,知道这方程式的解可用实指数函数或双曲函数,计算法相类似.为计算方便直接设定
区间偶宇称解(5)
奇宇称解(6)
这两者都满足此区间的薛氏方程式.为确定能量量子化条件,可以建立在边界点处,波函数及其一阶导数的连续条件.使用(3)和(5)有:
即:
即:
(7)和(8)相除得:
将此式改用能量E的项来表示,得到偶宇称态的能量量子化条件:
注意若使用边界点x=-a上的连续条件,由于对称性得不到新解.
其次求奇宇称的能量量子化条件,为此先写出x=a处连续条件,所用方程式是(4)和(6)
即:
(11)
(12)
相除得:
改写成能量式子:
(13)
(9)和(13)是不同的方程式,它们所决定的能级是不相同的,因此偶宇称波函数(3)和(5)与奇宇称波函数(4)和(6)不具有相同的能量E,它们是非简并的.(9)(13)中E的分立解要用图解法,与有限深势阱类似.
第二种情形是,这种情形可不必作重复计算.因为
令,则
代入(5)(6)得区间的波函数:
偶宇称解(14)
奇宇称解(15)
(a,b)区间的解同于
(1)式的,区间解同于
(2)
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