曲线积分与曲面积分Word下载.docx
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所熟知的参数方程先将其参数化,再代入的另一方程,求出另一变量的参数表达式。
例2将曲线,(其中)用参数方程表示。
解:
在xoy平面的投影曲线为,这是一个圆,先将其参数化。
因为,所以它的参数方程为
,将其代入得
所以的参数方程为。
例3对例1加一个条件,求它的参数方程。
是球面,引入球坐标,
由于得,故
二、曲线积分的计算
1.注意到曲线积分的被积函数是定义在积分曲线上的,因此它的自变量应满足积分曲线方程,所以首先可用积分曲线方程去化简被积函数。
2.对称性的应用(以第一类平面曲线积分为例)
(1)曲线关于x轴对称,是指,换句话说,若则它的对称点;
(2)曲线关于y轴对称,是指,换句话说,若则它的对称点;
(3)曲线关于原点对称,是指,换句话说,若则它的对称点;
(4)曲线关于直线对称(或直线对称),是指,
(或),换句话说,互为对称点,互为对称点。
若曲线积分的被积函数在任意的对称点处的函数值互为相反数,则;
在任意的对称点处函数值都相等,则
,其中是相应对称积分曲线的一半。
例1计算
(1),其中;
(2),其中,周长为a。
(1)由于关于y轴对称,被积函数x在对称点处的函数值互为相反数,所以。
由于关于直线对称,函数在对称点处互为相反数,所以
即,从而有
由于的参数方程为,所以
.
(2)
其中关于x轴对称,且2xy在对称点处的值互为相反数,所以.
例2设,求弧长的曲线积分,其中为正方形的边界。
如图,由于折线对关于直线对称,且在对称点上有,所以
;
原式。
例3计算,其中。
(1)由于在上,所以
由例1的参数方程为,则
.所以。
3.格林公式的应用
(1)若积分曲线不是封闭,则可添加若干条直线(或曲线)使之构成封闭曲线,
再应用格林公式;
(2)若封闭曲线L所围成的区域D内有“奇点”,则在奇点外成立等式
的条件下,有成立,其中L
是围绕奇点的正向简单闭曲线,通常是园或椭圆等。
例1设记为它的正向边界曲线。
证明:
证:
由格林公式得
其中,是由于是关于直线对称,即
同理可证。
两积分相等可由格林公式得出。
例2计算,其中是以(1,0)为中心R(R>
1)为半径的正向圆周。
首先验证成立。
由于在为边界的闭区域内有不连续点(0,0),因此在
内部作正向闭曲线,其中充分小,所以
例3.已知关于坐标的曲线积分(常数),其中函数可导,且是围绕(0,0)的任一分段光滑正向闭曲线,求
(1)函数的表达式;
(2)A的值。
(1)为了应用格林公式求出,先计算对于任一不包含原点的分段光滑的正向闭曲线C都有.(因为未知,所以原点有可能为被积函数的不连续点)如图:
由此可知对有成立,即
,解此微分方程得,由于所以C=1
所求的。
(2)取L1为正向圆周,则。
4.利用曲线积分来计算曲面的面积
(1)柱面被曲面截下部分的面积。
计算公式为,其中在xoy面上的投影曲线.
例1求柱面位于球面之内的侧面的面积。
由于关于三个坐标面都对称,所以(S0是S位于第一卦限部分的面积)。
由对弧长的曲线积分的几何意义,知道
所以.
(2)由坐标面上的平面曲线绕某轴旋转一周而成的旋转曲面的面积。
例如yoz平面上的曲线绕y轴旋转一周而成的旋转曲面的面积.计算公式为
例2设,,求的表面位于内部分的的面积。
如图:
的表面位于内部分的曲面可以看成是由AB绕z轴旋转一周而成的旋转的侧面,,所以
三、曲面积分的计算
1.第一类曲面积分的对称性
(1)曲面关于xoy平面对称,是指若则它关于xoy平面的对称点;
(2)曲面关于原点对称,是指则它的对称点;
(3)曲面关于平面对称,是指则它的对称点;
若被积函数的在对称点处的函数值互为相反数,则;
在对称点处函数值相等,则,其中是相应对称积分曲面的一半。
例1求下列曲面积分
(1),其中;
(2),其中;
(1)
由于关于平面对称,且函数在对称点处的值互为相反数,故
,所以。
,,
故.
2.第二类曲面积分的对称性及高斯公式
(1)设曲面关于xoy平面对称,若被积函数的在对称点处的函数值互为相反数,则;
若x与y互换,的方程及侧不变,则
,
若x与z互换,的方程及侧不变,则
(2)当不是闭曲面时,适当添上一块外侧曲面,使得组成闭曲面(所围成的闭区域为),于是高斯公式为
(3)当是外侧闭曲面,是它所围的闭区域,在的内部有不连续点时,可以作位于内部的外侧闭曲面,将点包围起来,这个闭曲面常常是小球面、小椭球面,于是高斯公式为
当在上除点外处处有时,
例2,其中是上半椭球面的外侧。
由于x与y互换,的方程及侧不变,且关于yoz平面对称,且被积函数在对称点处的值互为相反数,所以
其中是的部分,前侧,是在yoz平面上的投影)
(椭球的体积)=
(上半球体的体积)。
故原式.
例3.计算曲面积分
其中是球面的外侧。
由于关于xoy平面对称,函数在对称点处的值相等,所以
当x与y互换时,的方程及侧不变,所以
其中是的的部分,且在对称点处的值互为相反数,所以有。
例4计算,其中是柱面及两平面所围立体表面的外侧。
是外侧曲面,但原点在内部,都不连续,从而不能应用高斯公式。
关于xoy平面对称,在对称点处的值相等,所以.
于是
其中,,,由积分性质,有
由于关yoz平面对称,在对称点处的值互为相反,所以
其中是的部分,前侧,是的在yoz平面的投影。
例5求曲面积分,
其中是上半球的上侧。
令,则成为上半球面上侧。
其中添加(下侧),使是外侧闭曲面。
应用高斯公式计算。
()
例6计算,其中是曲面的外侧。
由于在原点不连续,所以不能直接应用高斯公式。
为此作小球面,使之含在之中,并取外侧。
由于除原点外,都有成立,所以
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- 曲线 积分 曲面