普通高等学校招生全国统一考试江苏模拟卷二数学试题解析版Word格式文档下载.docx
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8.设向量a,b满足|a|=|b|=1,a·
b=-,则|a+2b|=________.
9.已知F1,F2是双曲线-=1(0<
m<
2)的左、右焦点,若点P在双曲线上,且PF1,PF2是一元二次方程t2-5t+5=0的两根,则m的值为________.
10.已知P(s,t)在函数f(x)=的图象上运动,则+的最小值为________.
11.对任意的θ∈,不等式+≥|2x-1|恒成立,则实数x的取值范围是________.
12.用扇形铁皮卷成一个圆锥筒(假设扇形半径可变化),已知扇形面积为定值S,要使卷成的圆锥筒体积最大,则该扇形的半径R为________.
13.设当x≥0时,f(x)=若函数y=f(|x|)-m有4个不同的零点,则实数m的取值范围是________.
14.在△ABC中,D为BC边上的一点,且AD平分△ABC的面积,若90°
>
∠BAD≥90°
-C,AC>
AB,则∠BAC的取值范围为________.
二、解答题:
本大题共6小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)已知向量a=(sinx,cosx),x∈[-π,π].
(1)已知b=(1,-),若a,b所成的角为,求x的值;
(2)已知c=(,-1),记f(x)=(a+c)·
(a-2c),求f(x)的值域.
16.(本小题满分14分)如图,在平行四边形ABCD中,已知直线BC⊥平面ABE,F为CE的中点.
(1)求证:
直线AE∥平面BDF;
(2)若∠AEB=90°
,求证:
平面BDF⊥平面BCE.
(第16题)
17.(本小题满分14分)如图,正方体ABCDA1B1C1D1是一个棱长为2的空心蔬菜大棚,由8个钢结构(地面没有)组合搭建而成的,四个侧面及顶上均被可采光的薄膜覆盖.已知E为柱AA1上一点(不在点A,A1处),EA=t.菜农需要在地面正方形ABCD内画出一条曲线l将菜地分隔为两个不同的区域来种植不同品种的蔬菜以加强管理,现已知点P为地面正方形ABCD内的曲线l上任意一点,设α,β分别为在P点观测E和D1的仰角.
(1)若α=β,请说明曲线l是何种曲线,为什么?
(2)若E为柱AA1的中点,且α<
β时,请求出点P所在区域的面积.
(第17题)
18.(本小题满分16分)已知椭圆C:
+=1(a>
b>
0)的长轴端点分别为A1,A2,椭圆C的离心率为e=,两条准线之间的距离为9.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设P是曲线C上的一点,∠PA1A2=α∈,过A2作A2R⊥A1P于点R,设A2R与曲线C交于点Q,连接PQ,求直线PQ的斜率的取值范围.
19.(本小题满分16分)设f(x)=aex-a,g(x)=ax-x2(a为与自变量x无关的正实数).
(1)证明:
函数f(x)与g(x)的图象存在一个公共的定点,且在公共定点处有一条公切线;
(2)是否存在实数k,使得-lnx-1>
对任意的x∈恒成立?
若存在,求出k的取值范围,否则请说明理由.
20.(本小题满分16分)若对任意的n∈N*,存在一个常数M,使得an≤M成立,则称M为an的一个上界;
若对任意的n∈N*,an+1≤成立,则称数列{an}为“凹数列”.
(1)①求证:
任意一个正项等比数列{bn}为“凹数列”;
②构造一个正项“凹数列”{cn},但数列{cn}不是等比数列,并给出证明;
(2)设无穷正项数列{an}的前n项和为Sn,若1为Sn的一个上界(n∈N*),且数列{an}为“凹数列”,
求证:
0≤an-an+1≤(n∈N*).
数学Ⅱ(附加题)注意事项:
1.附加题供选修物理的考生使用.
2.本试卷共40分,考试时间30分钟.
3.答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
21.【选做题】本题包括A、B、C共3小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
A.选修4-2:
矩阵与变换(本小题满分10分)
已知T变换将曲线C1:
+y2=1变换为单位圆x2+y2=1,S变换将曲线C2:
-=1变换为双曲线x2-y2=1,求ST对应的矩阵.
B.选修4-4:
坐标系与参数方程(本小题满分10分)
在极坐标系中,已知直线ρ=与圆O:
ρ=8sinθ相交于A,B两点,求△OAB的面积.
C.选修4-5:
不等式选讲(本小题满分10分)
已知实数x,y,z为正实数,求证:
.
【必做题】第22,23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)设P,Q为抛物线C:
y2=4x上的两点,点P,Q的纵坐标之和为4.
(1)求直线PQ的倾斜角;
(2)已知M是抛物线C上的动点,过M作垂直于x轴的直线,与直线y=x交于点A,点B满足=2,连接OB(其中O为原点)交抛物线C于点N,试问:
直线MN是否过定点?
若是,求出定点坐标;
若不是,请说明理由.
23.(本小题满分10分)设a,b∈R,a≠0,a+b≥0,数列{cr}的通项公式为cr=(an-rbr)(1≤r≤n+1),n∈N*.令{cr}的各项之和为Sn+1,fn(a,b)=.
(1)计算:
f1(a,b),f2(a,b),f3(a,b),验证不等式fn(a,b)≥n对n=1,2,3成立;
(2)证明不等式:
fn(a,b)≥n,并给出等号成立的充要条件.
数学Ⅰ参考答案及评分标准
1.2 【解析】由z=a+bi,得=a-bi,因为(z+)(z-)=8i,所以(a+bi+a-bi)[a+bi-(a-bi)]=4abi=8i,所以ab=2.
2.{y|y>
1} 【解析】因为M={y|y>
1},N={x|x≥1}={x|x≥1},所以M∩N={y|y>
1}.
3.0.8 【解析】因为这组数据的平均数为10,所以=10,解得x=11,所以这5个数据的方差为[(11-10)2+(9-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(9-10)2]=0.8.
4. 【解析】记2只大猩猩分别为A,B,3只猴子分别为C,D,E,运用枚举法得从中任意选3只构成的基本事件有10个,其中大猩猩和猴子都被选中的有9个,所以大猩猩和猴子都被选中的概率为.
5.55 【解析】i=1时,运行结果为S=0+12=1,i=2;
i=2时,运行结果为S=1+22=5,i=3;
i=3时,运行结果为S=5+32=14,i=4;
i=4时,运行结果为S=14+42=30,i=5;
i=5时,运行结果为S=30+52=55,i=6,退出循环,所以输出的S的值为55.
6.36 【解析】设公差为d,因为a5=2,a11=11,所以6d=a11-a5=9,所以a-a=(a8+a2)(a8-a2)=2a5·
6d=36.
7. 【解析】要使函数f(x)=有意义,则≥0-≤lnx<
1≤x<
e,所以函数f(x)=的定义域为.
8. 【解析】|a+2b|====.
9. 【解析】因为PF1,PF2是一元二次方程t2-5t+5=0的两根,所以|PF1-PF2|==.因为点P在双曲线-=1(0<
2)上,所以|PF1-PF2|=2m,所以2m=,即m=.
10. 【解析】函数f(x)=的图象为圆x2+y2=1在x轴上方的部分(包含x轴上的点),+表示点P到点M(0,2)的距离与点P到点N(1,0)的距离之和,即+=PM+PN≥MN=.
11.[-4,5] 【解析】+=(sin2θ+cos2θ)=5++≥5+2=9,当且仅当=,即cos2θ=,sin2θ=时取等号,所以|2x-1|≤9,解得-4≤x≤5.
12.·
【解析】由题意知,圆锥母线长为R,设圆锥底面的半径为r,高为h,则r2+h2=R2,且·
2πr·
R=S,R=.圆锥筒的体积V====,令r2=t∈,u=S2r2-π2r6=S2t-π2t3,令u′=S2-3π2t2=0,得t=∈,当0<
t<
时,u′>
0,当<
时,u′<
0,所以当且仅当t=,即r2=时,u取得最大值,即这个圆锥筒的体积最大,此时扇形的半径R==·
13. 【解析】函数y=f(|x|)-m有4个不同的零点等价于y=f(|x|)的图象与直线y=m的图象有4个不同的公共点.因为f(|x|)为偶函数,且当x≥0时,f(x)=所以可以作出函数y=f(x)的图象如图所示,由图可知若函数y=f(|x|)-m有4个不同的零点时,则实数m的取值范围是{m|0<
m≤1或≤m<
2}.
(第13题)
14.[90°
,180°
) 【解析】设∠BAD=α,∠CAD=β.因为∠BAD≥90°
-C,所以α≥90°
-C,β≤90°
-B.因为AC>
AB,所以B>
C,所以0°
<
β<
α.因为90°
∠BAD,所以0°
α<
90°
,所以sinα≥sin(90°
-C)=cosC,sinβ≤sin(90°
-B)=cosB.因为D为BC边上的一点,且AD平分△ABC的面积,即S△ABD=S△ACD,所以c·
ADsinα=b·
ADsinβ,所以csinα=bsinβ,所以ccosC≤bcosB.在△ABC中,由正弦定理得sinCcosC≤sinBcosB,所以sin2C≤sin2B.因为β≤90°
-B,所以B≤90°
-β<
.因为C<
B,所以C<
,所以2B,2C∈(0°
).因为sin2C≤sin2B,所以|2C-90°
|≥|2B-90°
|,所以(2C-90°
)2≥(2B-90°
)2,所以(2C+2B-180°
)(2C-2B)≥0.因为B>
C,所以2C+2B-180°
≤0,所以B+C≤90°
,所以∠BAC的取值范围是[90°
).
15.【解答】
(1)因为向量a=(sinx,cosx),b=(1,-),a,b所成的角为,
所以a·
b=sinx-cosx=·
·
cos,(2分)
所以2sin=1,所以sin=.(4分)
因为x∈[-π,π],所以x-∈,
所以x-=-或x-=,(6分)
所以x=-或x=.(7分)
(2)f(x)=(a+c)·
(a-2c)=a2-a·
c-2c2=(si
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