届全国名校大联考高三第四次联考数学文试题解析版Word文件下载.docx
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本题选择A选项.
点睛:
求函数的定义域,其实质就是以函数解析式有意义为准则,列出不等式或不等式组,然后求出它们的解集即可.
4.已知直线与圆相交于两点,且关于直线对称,则的值为()
A.1B.-1C.2D.-2
【解析】由几何关系可得直线经过圆的直径,且与直线垂直,由直线垂直的充要条件有:
.
5.设变量满足约束条件,则目标函数的最大值为()
A.2B.5C.15D.12
【答案】C
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示,结合目标函数的几何意义可知目标函数在点处取得最大值,最大值为:
本题选择C选项.
6.如图为一个几何体的侧视图和俯视图,若该几何体的体积为,则它的正视图为()
考点:
三视图.
7.等比数列的前三项和,若成等差数列,则公比()
A.3或B.-3或
C.3或D.-3或
【解析】很明显等比数列的公比,由题意可得:
,①
且:
,即,②
①②联立可得:
或,
综上可得:
公比3或.
8.已知是相异两平面,是相异两直线,则下列命题中错误的是()
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若,则
【解析】由线面垂直的性质可知选项A,B,C正确,
如图所示,对于选项D,在正方体中,取直线为,平面为上顶面,平面为平面,则直线为,
此时有,直线与为异面直线,即选项D的说法是错误的;
9.若点在函数的图像上,,则下列点在函数的图像上的是()
【解析】函数与函数互为反函数,其函数图象关于直线对称,
则原问题等价于求解点关于直线的对称点,
据此可得所求解的点的坐标为.
10.“”是“直线:
与直线:
垂直”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.即不充分也不必要条件
【解析】若“”,则所给的直线方程为:
,,两直线不垂直,充分性不成立;
若“直线:
垂直”,则:
解得:
或,必要性不成立;
“”是“直线:
垂直”的既不充分也不必要条件.
11.已知函数满足,若在上为偶函数,且其解析式为,则的值为()
A.-1B.0C.D.
【解析】由题意可得:
,即函数是周期为的函数,
则:
12.已知底面为正方形的四棱锥,各侧棱长都为,底面面积为16,以为球心,2为半径作一个球,则这个球与四棱锥相交部分的体积是()
【解析】构造棱长为4的正方体,四棱锥O-ABCD的顶点O为正方体的中心,底面与正方体的一个底面重合.可知所求体积是正方体内切球体积的,所以这个球与四棱锥O-ABCD相交部分的体积是:
与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,求几何体的体积,要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解.
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.若,为第二象限角,则__________.
【答案】
【解析】由题意结合诱导公式有:
结合同角三角函数基本关系有:
14.已知三棱锥的三条侧棱两两垂直,且,,若点为三棱锥的外接球的球心,则这个外接球的半径是__________.
【解析】如图所示,将三棱锥补形为长方体,则该棱锥的外接球直径为长方体的体对角线,设外接球半径为,则:
即这个外接球的半径是.
与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;
球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.
15.已知圆.由直线上离圆心最近的点向圆引切线,切点为,则线段的长为__________.
【解析】圆心到直线的距离:
结合几何关系可得线段的长度为.
16.设是两个非零平面向量,则有:
①若,则
②若,则
③若,则存在实数,使得
④若存在实数,使得,则或四个命题中真命题的序号为__________.(填写所有真命题的序号)
【答案】①③④
【解析】逐一考查所给的结论:
①若,则,据此有:
,说法①正确;
②若,取,则,
而,说法②错误;
③若,则,据此有:
由平面向量数量积的定义有:
则向量反向,故存在实数,使得,说法③正确;
④若存在实数,使得,则向量与向量共线,
此时,,
若题中所给的命题正确,则,
该结论明显成立.即说法④正确;
真命题的序号为①③④.
处理两个向量的数量积有三种方法:
利用定义;
利用向量的坐标运算;
利用数量积的几何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择,同时要注意数量积运算律的应用.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知在中,,且.
(1)求角的大小;
(2)设数列满足,前项和为,若,求的值.
(1);
(2)或.
【解析】试题分析:
(1)由题意结合三角形内角和为可得.由余弦定理可得,,结合勾股定理可知为直角三角形,,.
(2)结合
(1)中的结论可得.则,据此可得关于实数k的方程,解方程可得,则或.
试题解析:
(1)由已知,又,所以.又由,
所以,所以,
所以为直角三角形,,.
(2).
所以,由,得
,所以,所以,所以或.
18.在中,,,,为线段的中点,为线段的三等分点(如图1).将沿着折起到的位置,连接(如图2).
(1)若平面平面,求三棱锥的体积;
(2)记线段的中点为,平面与平面的交线为,求证:
(2)证明见解析.
(1)由题意可知是等边三角形,取中点,连接,则.由面面垂直的性质定理可得平面.三棱锥的高,其底面积.据此可得三棱锥的体积为.
(2)由中位线的性质可得,然后利用线面平行的判断定理可得平面,最后利用线面平行的性质定理可得.
(1)在直角中,为的中点,所以.
又,所以是等边三角形.
取中点,连接,所以.
因为平面平面,平面平面,平面,
所以平面.
在中,,,,为的中点,所以,.
所以.
所以三棱锥的体积为.
(2)因为为的中点,为的中点,所以.
又平面,平面,所以平面.
因为平面,平面平面,所以.
19.
(1)求圆心在直线上,且与直线相切于点的圆的方程;
(2)求与圆外切于点且半径为的圆的方程.
(2).
(1)由题意可得圆的一条直径所在的直线方程为,据此可得圆心,半径,则所求圆的方程为.
(2)圆的标准方程为,得该圆圆心为,半径为,两圆连心线斜率.设所求圆心为,结合弦长公式可得,.则圆的方程为.
(1)过点且与直线垂直的直线为,
由.
即圆心,半径,
所求圆的方程为.
(2)圆方程化为,得该圆圆心为,半径为,故两圆连心线斜率.设所求圆心为,
,∴,
,∴.
∴.
求圆的方程,主要有两种方法:
(1)几何法:
具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理.如:
①圆心在过切点且与切线垂直的直线上;
②圆心在任意弦的中垂线上;
③两圆相切时,切点与两圆心三点共线.
(2)待定系数法:
根据条件设出圆的方程,再由题目给出的条件,列出等式,求出相关量.一般地,与圆心和半径有关,选择标准式,否则,选择一般式.不论是哪种形式,都要确定三个独立参数,所以应该有三个独立等式.
20.如图所示,平面,点在以为直径的上,,,点为线段的中点,点在弧上,且.
(1)求证:
平面平面;
(2)求证:
(1)证明见解析;
(Ⅰ)利用三角形的中位线定理可得,即可得出平面,再利用,可得平面,再利用面面平行的判定定理即可得出平面平面;
(Ⅱ)点在以为直径的上,可得,利用平面,可得,可得平面,即可得出平面平面.
证明:
(Ⅰ)因为点为线段的中点,点为线段的中点,所以.
因为平面,平面,所以平面.因为,
又平面,平面,所以平面.
因为平面,平面,,
所以平面平面.
(2)因为点在以为直径的上,所以,即.
因为平面,平面,所以.因为平面,平面,,所以平面.
因为平面,所以平面平面
1、面面平行的判定定理;
2、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理.
21.已知圆,点,直线.
(1)求与圆相切,且与直线垂直的直线方程;
(2)在直线上(为坐标原点),存在定点(不同于点),满足:
对于圆上任一点,都有为一常数,试求所有满足条件的点的坐标.
(2)答案见解析.
(1)设所求直线方程为,利用圆心到直线的距离等于半径可得关于b的方程,解方程可得,则所求直线方程为
(2)方法1:
假设存在这样的点,由题意可得,则,然后证明为常数为即可.
方法2:
假设存在这样的点,使得为常数,则,据此得到关于的方程组,求解方程组可得存在点对于圆上任一点,都有为常数.
(1)设所求直线方程为,即,
∵直线与圆相切,∴,得,
∴所求直线方程为
假设存在这样的点,
当为圆与轴左交点时,;
当为圆与轴右交点时,,
依题意,,解得,(舍去),或.
下面证明点对于圆上任一点,都有为一常数.
设,则,
∴,
从而为常数.
假设存在这样的点,使得为常数,则,
∴,将代入得,
,即
对恒成立,
∴,解得或(舍去),
所以存在点对于圆上任一点,都有为常数.
求定值问题常见的方法有两种:
(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.
(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.
22.已知函数的导函数为,其中为常数.
(1)当时,求的最大值;
(2)若在区间(为自然对数的底数)上的最大值为-3,求的值.
(1)由导函数的解析式可得.则,.结合导函数与原函数的单调性之间的关系可得.
(2)由题意结合函数的定义域和导函数的解析式分类讨论:
∵,,∴.
①若,在上是增函数,.不合题意.
②若,在上为增函数,在上为减函数,,求解方程可得.
据此有.
(1)∵,∴.
当时,,.
当时,;
当时,.
∴在上是增
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