高一数学函数经典练习题含答案详细Word格式文档下载.docx
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0≤≤1
2≤≤3
∴4≤x≤9
∴f()定义域为[4,9]
3、若函数的定义域为,则函数的定义域是;
函数的定义域为。
y=f(x+1)的定义域是【-2,3】注:
y=f(x+1)的定义域是【-2,3】指的是里面X的定义域不是括号内整体的定义域
即-2<
=x<
=3
∴-1<
=x+1<
=4∴x+1的范围为[-1,4]
f(x)括号内的范围相等
y=f(2x-1)
∴2x-1的范围为[-1,4]
-1<
=2x-1<
=4
0<
=
函数y=f(2x-1)的定义域为[0,]
f(+2)的定义域-1≤+2≤4
∴-3≤≤2-3x≤1≤2x
∴定义域:
{x|x≤-或x≥}
4、知函数的定义域为,且函数的定义域存在,求实数的取值范围。
答案解1:
知函数f(x)的定义域为[-1.1],
则对函数F(X)=f(m+x)-f(x-m)来说
-1≤m+x≤1
-1≤x-m≤1
1.由-1≤m+x和x-m≤1
两式相加-1+x-m≤m+x+1
解得2m≥-2m≥-1
2.由m+x≤1和-1≤x-m
两式相加m+x-1≤x-m+1
2m≤2
解得m≤1
综上:
-1≤m≤1
答案解2:
-1<
x+m<
1
-1-m
<
x<
1-m
x-m<
-1+m<
x<
1+m
定义域存在,两者的交集不为空集,(注:
则只需(-m-1,1-m)与(m-1,1-m)有交集即可。
)
1-m
-1-m<
m<
1
答案解3:
-1≤x+m≤1-1-m≤x≤1-mx∈[-1-m,1-m][f(x+m)定义域]
同理x∈[-1+m,1+m]是f(x-m)的定义域.
要F(x)定义域非空,[-1-m,1-m]∩[-1+m,1+m]≠φ(空集意思)
-1+m≤1-m,且-1-m≤1+m即-1≤m≤1
二、求函数的值域
5、求下列函数的值域:
答案解:
即y=(x+1)²
-4此函数图像是以x=-1为对称轴,以(-1,-4)为顶点、开口朝上的抛物线.那么当x∈R时,值域最大值为+∞,而最小值是顶点纵坐标-4,即y∈[-4,+∞)或写作或写作y≥-4
-4,当x=1时,取得最小值0,当x=2时,取得最大值5.画一画图,就可以看出
⑶
这个数没有规定定义域,说明了只要x+1≠0就可以了=3-,因为不可能等于0,所以y≠3.y的值域是(-∞,3)U(3,+∞))或写作x≠-1
⑷答案解:
y=3-,x无限增大时,无限减小,所以3-无限接近3但不等于3。
x=5时,y=7/3。
所以y的值域为[,3)或写作
⑸
∵y=
∵≥0=>
≥2∴0<≤
∴-5≤<0∴-3≤2<2,故函数的值域是[-3,2)或写作
⑹
y==,∴y=5+9/(x-1)≠5
且分母x+1≠0x≠-1
而x=-1时,即≠
所以y≠∴值域(-∞,1/2)∪(1/2,5)∪(5,+∞)或写作
⑺
若x<
-1,x-3<
0,x+1<
0∴|x-3|=-x+3,|x+1|=-x-1
y=3-x-x-1=2-2x≥2-2(-1)≥4.
若-1≤x≤3,x-3≤0,x+1≥0
∴|x-3|=-x+3,|x+1|=x+1
y=3-x+x+1=4.
若x>
3,x-3>
0,x+1>
0∴|x-3|=x-3,|x+1|=x+1
y=x-3+x+1=2x-2≥23-2≥4
∴y≥4或写作.如图:
⑻
∴
⑼
=
03
即0y3或写作
⑽
解:
根号下的式子必须不小于0.
∵-x²
+4x+5≥0-(x+1)(x-5)≥0
∴x+1≥0x-5≤0∴-1≤x≤5而x+1≤0且x-5≥0无解
∴x∈[-1,5]
-x²
+4x+5对称轴为x=2此时取最大值9.
+4x+5∈[0,9]
∈[0,3]
-∈[-3,0]
4-∈[1,4].
∴
⑾
∵x定义域1-2x>
0,x<
,y最大值=-=
∴y的值域为负无穷到。
6、已知函数的值域为[1,3],求的值。
利用判别式法求值域,因为该方程能解出x所以Δ≥0.
在数学中,Δ在一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)或二次函数y=ax+bx+c(a≠0)中代表b²
-4ac即△=b²
-4ac,在方程中,若Δ≥0方程有实数解(若Δ>0,方程有两个不相等的实数解;
若Δ=0,方程有两个相等的实数解),若Δ<0方程无实数解;
在二次函数中,若Δ≥0图像与x轴有交点(若Δ>0,图像与x轴有两个交点;
若Δ=0,图像与x轴有一个交点),若Δ<0图像与x轴无交点。
在物理学中,表示物理量的变化如Q=cmΔt(式中Q代表热量,c代表物质的比热[容],m代表物质的质量,Δt代表温度的变化量)
∵y=,∴y(x+1)=→∴(y-2)x²
-ax+y-b=0
(1)当y-2≠0时因为x∈R,Δ≥0,b²
-4ac≥0(注:
这个abc是个通用定理字母)。
即(-a)²
-4(y-2)(y-b)≥0→a²
-4(y²
-2y-by+2b)≥0→a²
-4y²
+4(2+b)y-8b≥0→∴4y²
-4(2+b)y+8b-a²
≤0
又∵1≤y≤3∴1,3是关于y=方程4y²
=0的两根
对于一元二次方程
(a
0)经常运用的是韦达定理,如果有实数根,设两实数根为
则
,
(注意:
a指二次项系数,b指一次项系数,c指常数,且a≠0)。
由根与系数的关系,
→1+3=-→4=2+b→b=2,
→1ⅹ3=→3=→12=16-a²
→a²
=4→a=-2,或2,∴a=±
2b=2
(2)当y=2时ax+b=2,当a=2,b=2;
或a=-2,b=2时,x=0满足题意所以a=±
2,b=2
三、求函数的解析式
1、已知函数,求函数,的解析式。
方法多种多样。
方法1、换元法:
令t=x-1,则有:
x=t+1(注:
这个x是个通用代入表示字母)。
得:
f(t)=(t+1)-4(t+1)=t-2t+1-4→t-2t-3∴f(x)=x²
-2x-3
方法2、拼凑法:
-4x=(x-1)²
-2(x-1)-3∴f(x)=x²
-2x-3.
第二问把x用2x-1代替即可f(2x+1)=(2x+1)-2(2x+1)-3=4x+4x+1-4x-2-3→4x-4
∴;
2、已知是二次函数,且,求的解析式。
∵f(x)是二次函数,∴可设f(x)=ax²
+bx+c.
∴f(x+1)=a(x+1)²
+b(x+1)+c=ax²
+2ax+1+bx+b+c.
f(x-1)=a(x-1)²
+b(x-1)+c=ax²
-2ax+1+bx-b+c.
∴f(x+1)+f(x-1)=2ax²
+2+2bx+2c=2ax²
+2bx+2c+2.·
·
①
又f(x+1)+f(x-1)=2x²
-4x.·
②
显然,①、②恒等,∴通过比较各项系数,得:
a=1、b=-2、c=-1.
∴f(x)=x²
-2x-1.
3、已知函数满足,则=。
方法1
∵2f(x)+f(-x)=3x+4·
令-x代替上式中的x,即x=-x,则
∴2f(-x)+f(x)=-3x+4·
①2-②得2[2f(x)+f(-x)]-[2f(-x)+f(x)]=4f(x)+2f(-x)-2f(-x)-f(x)=3f(x)=2(3x+4)-(-3x+4)=9x+4
∵,3f(x)==9x+4,∴f(x)=3x+.
方法2:
解:
设f(x)=kx+b,则f(-x)=-kx+b,
2f(x)+f(x)=2kx+2b-kx+b=kx+3b
∴kx+3b=3x+4,∴k=3,b=,所以f(x)=3x+
4、设是R上的奇函数,且当时,,则当时=_____
在R上的解析式为
函数的奇偶性定义:
偶函数:
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称函数f(x)为偶函数。
奇函数:
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数。
奇函数与偶函数的图像的对称性:
奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y轴对称。
当时,-x>
∵是奇函数,∴f(-x)=-f(x)
∵→∴f(-x)=-x(1+=-f(x)
→-f(x)=-x(1+)→∴f(x)=x(1+)=x(1-)……(-1开立方为-1)
→f(x)=x(1-)
∴;
∴解析式为
5、设与的定义域是,是偶函数,是奇函数,且,求与的解析表达式
∵f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,∴f(-x)=f(x),且g(-x)=-g(x)
∵………①
∴f(-x)+g(-x)==-=f(x)-g(x)
∴f(x)-g(x)=-………②
①+②得2f(x)=+(-)=-=
====
即2f(x)=,∴f(x)=
①-②得2g(x)=-(-)=+=
===
即g(x)=
∴
四、求函数的单调区间
6、求下列+:
⑴
单调性的定义:
对于给定区间D上的函数f(x),若对于任意x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则称f(x)是区间上的增函数;
当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),则称f(x)是区间D上的减函数。
如果函数y=f(x)在区间上是增函数或减函数,就说函数y=f(x)在区间D上具有(严格的)单调性,区间D称为函数f(x)的单调区间。
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,区间D称为函数f(x)的单调增或减区间
∵y=x+2x+3=(x+1)+2
抛物线的顶点(-1,2),对称轴是x=-1,开口向上,
∴x在内,任意x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),·
∴x在(-∞,-1)内,任意x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),·
∴在(-1,+∞)内单调增函数,在(-∞,-1)内单调减函数。
∴增区间:
减区间:
⑵
方法1
∵≥0,∴≥0-(-2x-1)+4≥0
-(x-1)+4≥0(抛物线开口向下,对称轴x=1,当x=1时有最大值)4≥(x-1)(x-1)≤4,∴-1≤X≤3
∵=
∴增区间(即x增y就增):
减区间(即x增y就减):
。
方法2
∵≥0,∴≥0-2x-3≤0(x+1)(x-3)≤0
或,∴-1≤X≤3
⑶
当x≥0时,=x-6x-1=x-6x+9-9-1=(x-3)-10(对称轴为x=3,开口向上)
∴x≥3即x,+时增区间,0≤x≤3即x时减区间
当X≤0时,=
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