高考数学数列大题专题训练Word文件下载.docx
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(Ⅰ)求函数h()=()-g()的零点个数,并说明理由;
(Ⅱ)设数列满足,,证明:
存在常数M,使得对于任意的,都有≤
.
7.已知两个等比数列,满足.
(1)若,求数列的通项公式;
(2)若数列唯一,求的值.
8、已知等差数列{an}满足a2=0,a6+a8=-10
(II)求数列的前n项和.
9.设数列满足且
(Ⅰ)求的通项公式(Ⅱ)设
10.等比数列中,分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且中的任何两个数不在下表的同一列.
第一列
第二列
第三列
第一行
3
2
10
第二行
6
4
14
第三行
9
8
18
(Ⅱ)若数列满足:
,求数列的前n项和.
11.已知数列和的通项公式分别为,(),将集合
中的元素从小到大依次排列,构成数列。
3求⑵求证:
在数列中、但不在数列中的项恰为
⑶求数列的通项公式。
12.
(1)写出并判断是否为等比数列。
若是,给出证明;
若不是,说明理由;
(II)设,求数列的前n项和.
13.已知数列与满足:
,,且
.
(Ⅰ)求的值(Ⅱ)设,证明:
是等比数列
(III)设证明:
14.等比数列的各项均为正数,且
(1)求数列的通项公式.
(2)设求数列的前n项和.
15.已知公差不为0的等差数列的首项为a(),设数列的前n项和为,且,,成等比数列
(1)求数列的通项公式及
(2)记,,当时,试比较与的大小.
16.设实数数列的前n项和,满足
(I)若成等比数列,求和;
(II)求证:
对
参考答案
1.解:
(Ⅰ)设构成等比数列,其中,则
①
②
①×
②并利用,得
(Ⅱ)由题意和(Ⅰ)中计算结果,知
另一方面,利用
得
所以
2.解:
(Ⅰ)0,1,2,1,0是一具满足条件的E数列A5。
(答案不唯一,0,1,0,1,0也是一个满足条件的E的数列A5)
(Ⅱ)必要性:
因为E数列A5是递增数列,
所以.
所以A5是首项为12,公差为1的等差数列.
所以a2000=12+(2000—1)×
1=2011.
充分性,由于a2000—a1000≤1,
a2000—a1000≤1
……
a2—a1≤1
所以a2000—a≤19999,即a2000≤a1+1999.又因为a1=12,a2000=2011,
所以a2000=a1+1999.
是递增数列.
综上,结论得证。
(Ⅲ)令
因为
……
所以为偶数,
所以要使为偶数,
即4整除.
当时,有
当的项满足,
当不能被4整除,此时不存在E数列An,
使得
3.
4.解(1)法一:
,得,
设,则,
(ⅰ)当时,是以为首项,为公差的等差数列,
即,∴
(ⅱ)当时,设,则,
令,得,,
知是等比数列,,又,
,.
法二:
(ⅱ)当时,,,,
猜想,下面用数学归纳法证明:
①当时,猜想显然成立;
②假设当时,,则
,
所以当时,猜想成立,
由①②知,,.
(2)(ⅰ)当时,,故时,命题成立;
(ⅱ)当时,,
,以上n个式子相加得
.故当时,命题成立;
综上(ⅰ)(ⅱ)知命题成立.
5.解:
(I)由已知可得,两式相减可得
即
又所以r=0时,
数列为:
a,0,…,0,…;
当时,由已知(),
于是由可得,
成等比数列,
,
综上,数列的通项公式为
(II)对于任意的,且成等差数列,证明如下:
当r=0时,由(I)知,
对于任意的,且成等差数列,
当,时,
若存在,使得成等差数列,
则,
由(I)知,的公比,于是
对于任意的,且
成等差数列,
综上,对于任意的,且成等差数列。
6.解析:
(I)由知,,而,且,则为的一个零点,且在内有零点,因此至少有两个零点
解法1:
,记,则。
当时,,因此在上单调递增,则在内至多只有一个零点。
又因为,则在内有零点,所以在内有且只有一个零点。
记此零点为,则当时,;
当时,;
所以,
当时,单调递减,而,则在内无零点;
当时,单调递增,则在内至多只有一个零点;
从而在内至多只有一个零点。
综上所述,有且只有两个零点。
解法2:
因此在内也至多只有一个零点,
(II)记的正零点为,即。
(1)当时,由,即.而,因此,由此猜测:
。
下面用数学归纳法证明:
①当时,显然成立;
②假设当时,有成立,则当时,由
知,,因此,当时,成立。
故对任意的,成立。
(2)当时,由
(1)知,在上单调递增。
则,即。
从而,即,由此猜测:
综上所述,存在常数,使得对于任意的,都有.
7.
(1)设的公比为q,则
由成等比数列得
即
所以的通项公式为
(2)设的公比为q,则由
由,故方程(*)有两个不同的实根
由唯一,知方程(*)必有一根为0,代入(*)得
8.解:
(I)设等差数列的公差为d,由已知条件可得
解得,故数列的通项公式为
(II)设数列,即,
所以,当时,
=
综上,数列
9.解:
(I)由题设即是公差为1的等差数列。
又所以
(II)由(I)得
,
10.解:
(I)当时,不合题意;
当时,当且仅当时,符合题意;
当时,不合题意。
因此所以公式q=3,故
(II)因为
所以当n为偶数时,
当n为奇数时,
综上所述,
11.⑴;
⑵①任意,设,则,即
②假设(矛盾),∴
∴在数列中、但不在数列中的项恰为。
⑶,
,,
∵
∴当时,依次有,……
∴
设为非零实数,
12.解析:
(1)
因为为常数,所以是以为首项,为公比的等比数列。
(2)
(2)
(1)
13.(I)解:
由
可得,又
(II)证明:
对任意
①
②
③
②—③,得④
将④代入①,可得
又
因此是等比数列.
(III)证明:
由(II)可得,于是,对任意,有
将以上各式相加,得即,
此式当k=1时也成立.由④式得
从而
所以,对任意,
对于n=1,不等式显然成立.所以,对任意
14.解:
(Ⅰ)设数列{an}的公比为q,由得所以。
由条件可知c>
0,故。
由得,所以。
故数列{an}的通项式为an=。
(Ⅱ
)
故
所以数列的前n项和为
15.(I)解:
设等差数列的公差为d,由
因为,所以所以
(II)解:
因为,所以
当,
所以,当当
16.(I)解:
由题意,
由S2是等比中项知
由解得
(II)证法一:
由题设条件有
从而对有
因,由①得
要证,由①只要证
即证此式明显成立.
因此最后证若不然
又因矛盾.因此
证法二:
由题设知,
故方程(可能相同).因此判别式
又由
因此,解得
因此
由,得
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