大学物理授课教案第十二章机械振动文档格式.docx
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定义:
物体受力与位移正比反向时的振动称为简谐振动。
由定义知,弹簧振子做谐振动。
由牛顿第二定律知,加速度为
(为物体质量)
∵∴
∵、均大于0,∴可令
可有:
(12-2)
式(12-2)是谐振动物体的微分方程。
它是一个常系数的齐次二阶的线性微分方程,它的解为
(12-3)
或(12-4)
式(12-3)(12-4)是简谐振动的运动方程。
因此,我们也可以说位移是时间的正弦或余弦函数的运动是简谐运动。
本书中用余弦形式表示谐振动方程。
3、谐振动的速度和加速度
物体位移:
速度:
(12-5)
加速度:
(12-6)
可知:
、、曲线如下
图12-2
图12-3
说明:
(1)是谐振动的动力学特征;
(2)是谐振动的运动学特征;
(3)做谐振动的物体通常称为谐振子。
12-2谐振动的振幅角频率位相
上节我们得出了谐振动的运动方程,现在来说明式中各量意义。
1、振幅
做谐振动的物体离开平衡位置最大位移的绝对值称为振幅,记做。
反映了振动的强弱。
2、角频率(圆频率)
为了定义角频率。
首先定义周期和频率。
物体作一次完全振动所经历的时间叫做振动的周期,用表示;
在单位时间内物体所作的完全振动次数叫做频率,用表示。
由上可知:
或
∵为周期,∴
∵从时刻经过1个周期时,物体又首次回到原来时刻状态,∴(余弦函数周期为)
可见:
表示在秒内物体所做的完全振动次数,称为角频率(圆频率)
∵
∴
对于给定的弹簧振子,、都是一定的,所以、完全由弹簧振子本身的性质所决定,与其它因素无关。
因此,这种周期和频率又称为固有周期和固有频率。
3、位相
在力学中,物体在某一时刻的运动状态由位置坐标和速度来决定,振动中,当、给定后,物体的位置和速度取决于,称为位相(或周相、相位)。
由上可见,位相是决定振动物体运动状态的物理量。
是时的位相,称为初相。
4、、的确定
对于给定的系统,已知,初始条件给定后可求出、。
初始条件:
时由、表达式有
即
(12-7)
值所在象限:
1),:
在第Ⅰ象限
2),:
在第Ⅱ象限
3),:
在第Ⅲ象限
4),:
在第Ⅳ象限
5、两个谐振动物体在同一时刻位相差
设物体1和2的谐振动方程为图12-4
任意时刻二者位相差为
:
2的位相比1超前
2、1同位相
2的位相比1落后
例12-1:
如图所示,一弹簧振子在光滑水平面上,已知,,试求下列情况下的振动方程。
(1)将从平衡位置向右移到处由静止释放;
(2)将从平衡位置向右移到处并给以向左的速率为。
解:
(1)的运动方程为
由题意知:
时,,
可得:
图12-5
∵,,∴
2)初始条件:
对于给定的系统,如果初始条件不同,则振幅和初相就有相应的改变。
例12-2:
如图所示,一根不可以伸长的细绳上端固定,下端系一小球,使小球稍偏离平衡位置释放,小球即在铅直面内平衡位置附近做振动,这一系统称为单摆。
(1)证明:
当摆角很小时小球做谐振动;
(2)求小球振动周期。
证:
(1)设摆长为,小球质量为,某时刻小球悬线与铅
直线夹角为,选悬线在平衡位置右侧时,角位移为正,由
转动定律:
有
图12-6
即
∵很小。
∴
∵这是谐振动的微分方程(或与正比反向)
∴小球在做谐振动。
(2)
(注意做谐振动时条件,即很小)
12-3表示谐振动的旋转矢量方法
在中学中,为了更直观更方便地研究三角函数,引进了单位圆的图示法,同样,在此为了更直观更方便地研究简谐振动,来引进旋转矢量的图示法。
一、旋转矢量
自ox轴的原点o作一矢量,其模
为简谐振动的振幅,并使在图面内
绕o点逆时针转动,角速度大小为谐振动
角频率,矢量称为旋转矢量。
二、简谐振动的旋转矢量表示法图12-7
(1)旋转矢量的矢端M在x轴上投影坐标可表示为x轴上的谐振动,振幅为
(2)旋转矢量以角速度旋转一周,相当于谐振动物体在x轴上作一次完全振动,即旋转矢量旋转一周,所用时间与谐振动的周期相同。
(3)时刻,旋转矢量与x轴夹角为谐振动的初相,时刻旋转矢量与x轴夹角为时刻谐振动的位相。
(1)旋转矢量是研究谐振动的一种直观、简便方法。
(2)必须注意,旋转矢量本身并不在作谐振动,而是它矢端在x轴上的投影点在x轴上做谐振动。
旋转矢量与谐振动曲线的对应关系(设)
图12-8
三、旋转矢量法应用举例
例12-3:
一物体沿x轴作简谐振动,振幅为,周期为。
时,位移为,且向x轴正向运动。
(1)求物体振动方程;
(2)设时刻为物体第一次运动到处,试求物体从时刻运动到平衡位置所用最短时间。
(1)设物体谐振动方程为
由题意知
〈方法一〉用数学公式求
∵,
∴
〈方法二〉用旋转矢量法求
根据题意,有如左图所示结果
∴图12-9
由上可见,〈方法二〉简单
(2)〈方法一〉用数学式子求
由题意有:
(∵∴)
或
∵此时
设时刻物体从时刻运动后首次到达平衡位置,
有:
或(∵∴)
由题意知,有左图所示结果,M1为时刻
末端位置,M2为时刻末端位置。
从
内转角为
显然〈方法二〉简单。
图12-10
例12-4:
图为某质点做谐振动的曲线。
求振动方程。
设质点的振动方程为
由图知:
图12-11
用旋转矢量法(见上页图)可知,(或)
例12-5:
弹簧振子在光滑的水平面上做谐振动,为振幅,时刻情况如图所示。
O为原点。
试求各种情况下初相。
图12-12
12-4谐振动的能量
对于弹簧振子,系统的能量=(物体动能)+(弹簧势能)
已知:
物体位移
物体速度
(11-8)
(1)虽然、均随时间变化,但总能量且为常数。
原因是系统只有保守力作功,机械能要守恒。
(2)与互相转化。
当时,,。
在处,,。
例12-6:
一物体连在弹簧一端在水平面上做谐振动,振幅为。
试求的位置。
设弹簧的倔强系数为,系统总能量为
在时,有
例12-7:
如图所示系统,弹簧的倔强系数,物块,物块,与间最大静摩擦系数为,与地面间是光滑的。
现将物块拉离平衡位置,然后任其自由振动,使在振动中不致从上滑落,问系统所能具有的最大振动能量是多少。
系统的总能量为
(此时)
不致从上滑落时,须有
图12-13
极限情况
12-5同方向同频率两谐振动合成
一个物体可以同时参与两个或两个以上的振动。
如:
在有弹簧支撑的车厢中,人坐在车厢的弹簧垫子上,当车厢振动时,人便参与两个振动,一个为人对车厢的振动,另一个为车厢对地的振动。
又如:
两个声源发出的声波同时传播到空气中某点时,由于每一声波都在该点引起一个振动,所以该质点同时参与两个振动。
在此,我们考虑一质点同时参与两个在同一直线的同频率的振动。
取振动所在直线为x轴,平衡位置为原点。
振动方程为
、分别表示第一个振动和第二个振动的振幅;
、分别表示第一个振动和第二个振动的初相。
是两振动的角频率。
由于、表示同一直线上距同一平衡位置的位移,所以合成振动的位移在同一直线上,而且等于上述两分振动位移的代数和,即
为简单起见,用旋转矢量法求分振动。
图12-14图12-15
如图所示,时,两振动对应的旋转矢量为、,合矢量为。
∵、以相同角速度转动,∴转动过程中与间夹角不变,可知大小不变,并且也以转动。
任意时刻,矢端在x轴上的投影为:
因此,合矢量即为合振动对应的旋转矢量,为合振动振幅,为合振动初相。
合振动方程为:
(仍为谐振动)
由图中三角形知:
(12-9)
(12-10)
讨论:
(1)时(称为位相相同)
(2)时(称为位相相反)
例12-8:
有两个同方向同频率的谐振动,其合成振动的振幅为,位相与第一振动的位相差为,若第一振动的振幅为,用振幅矢量法求第二振动的振幅及第一、第二两振动位相差。
(1)
(2)∵∴
图12-16
例11-9:
一质点同时参与三个同方向同频率的谐振动,他们的振动方程分别为,,,试用振幅矢量方法求合振动方程。
如左图,(、、、构成一等腰梯形)
图12-17
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- 大学物理 授课 教案 第十二 机械振动