高三一轮复习 直线与圆全章 练习3套+易错题+答案Word格式文档下载.docx
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y=k(x-2)+1与线段AB相交,则k的取值范围是( D )
(A)[,+∞)(B)(-∞,-2]
(C)(-∞,-2]∪[,+∞)(D)[-2,]
易知直线l恒过定点P(2,1),如图所示.若l与线段AB相交,则kPA≤k≤kPB,
因为kPA=-2,kPB=,
所以-2≤k≤.故选D.
4.平面直角坐标系中,与直线y=2x+1关于点(1,1)对称的直线方程是( D )
(A)y=2x-1(B)y=-2x+1
(C)y=-2x+3(D)y=2x-3
在直线y=2x+1上任取两个点A(0,1),B(1,3),则点A关于点(1,1)对称的点为(2,1),点B关于点(1,1)对称的点为(1,-1),所以所求对称直线的方程为y=2x-3.
5.已知直线ax+y-1=0与直线x+ay-1=0互相垂直,则a等于( D )
(A)1或-1(B)1(C)-1(D)0
因为直线ax+y-1=0与直线x+ay-1=0互相垂直,所以a×
1+a×
1=0⇒a=0,故选D.
6.若直线l1:
x-2y+m=0(m>
0)与直线l2:
x+ny-3=0之间的距离是,则m+n等于( A )
(A)0(B)1(C)-1(D)2
因为直线l1:
x+ny-3=0之间的距离为,
所以
所以n=-2,m=2或m=-8(舍去).故m+n=0.
二、填空题
7.若ab>
0,且A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,则ab的最小值为 .
根据A(a,0),B(0,b)确定的直线的方程为
+=1,又C(-2,-2)在该直线上,故+=1,
所以-2(a+b)=ab.又ab>
0,所以a<
0,b<
0,
所以ab=-2(a+b)≥4,可得≤0(舍去)或≥4,故ab≥16,当且仅当a=b=-4时取等号.故ab的最小值为16.
答案:
16
8.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).
(1)若l在两坐标轴上截距相等,则l的方程为 ;
(2)若l不经过第二象限,则实数a的取值范围为 .
(1)当直线经过原点时,该直线在x轴和y轴上的截距均为零,此时a=2,直线l的方程为3x+y=0;
当直线不经过原点时,即a≠2,截距存在且均不为0,
所以=a-2,即a+1=1,
所以a=0,直线l的方程为x+y+2=0.
综上,l的方程为3x+y=0或x+y+2=0.
(2)l的方程可化为y=-(a+1)x+a-2,由题意得所以a≤-1.
(1)3x+y=0或x+y+2=0
(2)(-∞,-1]
9.过点A(1,2)且与原点距离最大的直线的方程为
.
由题易知所求直线与OA垂直,因为kOA=2,所以所求直线方程为y-2=-(x-1),即x+2y-5=0.
x+2y-5=0
10.已知两直线l1:
(3+m)x+4y=5-3m,l2:
2x+(5+m)y=8,若l1∥l2,则m= ;
若l1⊥l2,则m= .
若l1∥l2,则=≠,即m=-7或m=-1(舍去),
所以m=-7.
若l1⊥l2,则(3+m)×
2+4(5+m)=0,即m=-.
-7 -
11.若实数x,y满足x+y-4≥0,则z=x2+y2+6x-2y+10的最小值为 .
因为z=x2+y2+6x-2y+10=(x+3)2+(y-1)2表示的几何意义是区域内的点(x,y)到(-3,1)的距离的平方,所以所求最小值为(-3,1)到直线x+y-4=0的距离的平方,即为()2=18.
18
12.与直线l1:
y=2x+3关于直线l:
y=x+1对称的直线l2的方程为 .
由
解得直线l1与l的交点坐标为(-2,-1).
又易知直线l2的斜率存在,故可设直线l2的方程为y+1=k(x+2),
即kx-y+2k-1=0.在直线l上任取一点(1,2),
由题可知点(1,2)到直线l1,l2的距离相等,
所以由点到直线的距离公式得
=,
解得k=(k=2舍去),故直线l2的方程为x-2y=0.
x-2y=0
三、解答题
13.设直线l的方程为(a+1)x+y-2-a=0(a∈R).
(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程;
(2)若a>
-1,直线l与x,y轴分别交于M,N两点,O为坐标原点,求△OMN面积取最小值时,直线l的方程.
解:
(1)当直线l经过坐标原点时,该直线在两坐标轴上的截距都为0,此时a+2=0,解得a=-2,
此时直线l的方程为-x+y=0,即x-y=0.
当直线l不经过坐标原点,即a≠-2时,若a≠-1.
则由直线在两坐标轴上的截距相等可得=2+a,解得a=0,此时直线l的方程为x+y-2=0;
若a=-1,则y=1,不符合条件.所以直线l的方程为x-y=0或x+y-2=0.
(2)由直线方程可得M(,0),N(0,a+2).
因为a>
-1,所以S△OMN=×
×
(2+a)=×
=[(a+1)++2]
≥×
[2+2]=2,
当且仅当a+1=,即a=0时,等号成立.
故当△OMN面积最小时,直线l的方程为x+y-2=0.
14.已知直线l:
x-2y+8=0和两点A(2,0),B(-2,-4).点P为直线l上一点.
(1)求使|PA|+|PB|最小的点P的坐标;
(2)求使||PB|-|PA||最大的点P的坐标.
(1)设A关于直线l对称的点为A′(m,n),则
解得故A′(-2,8).
P为直线l上的一点,则|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|≥|A′B|,当且仅当B,P,A′三点共线时,|PA|+|PB|取得最小值|A′B|,故点P即为直线
A′B与直线l的交点,解得
故所求点P的坐标为(-2,3).
(2)易知A,B两点在直线l的同侧,且P是直线l上的一点,则||PB|-|PA||≤|AB|,当且仅当A,B,P三点共线时,||PB|-|PA||取得最大值|AB|,故点P即为直线AB与直线l的交点.又直线AB的方程为y=x-2,
得故所求点P的坐标为(12,10).
15.已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点P.
(1)点A(5,0)到直线l的距离为3,求直线l的方程;
(2)求点A(5,0)到直线l的距离的最大值.
(1)因为经过两已知直线交点的直线系方程为
(2x+y-5)+λ(x-2y)=0,
即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0,
所以=3,解得λ=或λ=2.
所以直线l的方程为x=2或4x-3y-5=0.
(2)由解得交点P(2,1),如图,过P作任一直线l,设d为点A到直线l的距离,则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立).所以dmax=|PA|=.
第2节 圆的方程
1.已知圆M的方程为x2+y2-8x+6y=0,则下列说法中不正确的是( C )
(A)圆M的圆心为(4,-3)
(B)x轴被圆M截得的弦长为8
(C)圆M的半径为25
(D)y轴被圆M截得的弦长为6
圆M的标准方程为(x-4)2+(y+3)2=25,圆心坐标为(4,-3),半径为5.显然选项C不正确.
2.已知圆x2+y2-2x+my-4=0上两点M,N关于直线2x+y=0对称,则圆的半径为( B )
(A)9(B)3(C)2(D)2
根据圆的几何特征,可知直线2x+y=0经过圆的圆心(1,-).将圆心坐标代入直线方程解得m=4,即圆的方程为x2+y2-2x+4y-4=0,配方得(x-1)2+(y+2)2=32,故圆的半径为3.
3.若a为实数,则圆(x-a)2+(y+2a)2=1的圆心所在的直线方程为( A )
(A)2x+y=0(B)x+2y=0
(C)x-2y=0(D)2x-y=0
圆的圆心坐标为(a,-2a),由消去参数a得2x+y=0.
4.圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的和是( C )
(A)30(B)18
(C)10(D)5
由圆x2+y2-4x-4y-10=0知圆心坐标为(2,2),半径为3,圆心(2,2)到直线x+y-14=0的距离d==5>
3,直线和圆相离,则圆上的点到直线x+y-14=0的最大距离为d+3=8,最小距离为d-3=
2,故最大距离与最小距离的和为10.
5.直线x+y-2=0与圆(x-1)2+(y-2)2=1相交于A,B两点,则弦|AB|等于( D )
(A)(B)(C)(D)
因为圆心(1,2)到直线x+y-2=0的距离d=,
所以|AB|=2=.
6.已知A,B,C是圆O:
x2+y2=1上不同的三个点,且·
=0,若存在实数λ,μ满足=λ+μ,则点(λ,μ)与圆O的位置关系是( B )
(A)在圆O外(B)在圆O上
(C)在圆O内(D)无法确定
因为点A,B,C在单位圆上,
所以||=1,于是有||2=1,
即(λ+μ)2=1,
展开得λ2+μ2=1,
所以点(λ,μ)在圆x2+y2=1上.
7.已知圆C过点A(1,0)和B(3,0),且圆心在直线y=x上,则圆C的标准方程为 .
由题意可设圆心坐标为(a,a),半径为r,则圆的标准方程为(x-
a)2+(y-a)2=r2,
解得故圆C的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=5.
(x-2)2+(y-2)2=5
8.已知两点A(-2,0),B(0,2),点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点,则△ABC面积的最小值是 .
直线AB的方程为x-y+2=0,圆心(1,0)到直线AB的距离d=.
因为该圆的半径为1,
所以AB边上的高的最小值为-1.
因为|AB|=2,
所以△ABC面积的最小值是×
2×
(-1)=3-.
3-
9.点P(1,2)到圆C:
x2+y2+2kx+2y+k2=0上的点的距离的最小值是
.
圆C的标准方程为(x+k)2+(y+1)2=1,
所以圆心C(-k,-1),半径r=1.易知点P(1,2)在圆外,
所以点P到圆心C的距离|PC|==≥3,
所以|PC|min=3,
所以点P到圆C上点的最小距离dmin=|PC|min-r=3-1=2.
2
10.已知点A(0,2)为圆M:
x2+y2-2ax-2ay=0(a>
0)外一点,圆M上存在点T使得∠MAT=45°
则实数a的取值范围是 .
圆M的标准方程为(x-a)2+(y-a)2=2a2,圆心M(a,a),半径r=a,
所以|AM|=,|TM|=a.设AS与圆切于S,
因为AM,TM长度固定,
所以当点T与点S重合时,∠MAT最大.
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