高考数学理科必考题第三章 三角函数解三角形 第18讲 任意角弧度制及任意角的三角函数Word文件下载.docx
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(3)若β与α是终边相同的角,则β用α表示为!
β=2kπ+α,k∈Z ###.
2.弧度与角度的互化
(1)1弧度的角
长度等于!
半径 ###的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
(2)角α的弧度数
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l,那么角α的弧度数的绝对值是|α|=!
###.
(3)角度与弧度的换算
①1°
=!
###rad;
②1rad=!
°
###.
(4)弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为l,圆心角大小为αrad,半径为r,则l=!
|α|r ###,扇形的面积为S=lr=!
|α|·
r2 ###.
3.任意角的三角函数
(1)定义:
设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么sinα=!
y ###,cosα=!
x ###,tanα=!
(x≠0) ###;
若α终边上有一点P(x,y)(与O不重合),则sinα=,cosα=,tanα=,其中r=.
(2)几何表示:
三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0).如图中有向线段MP,OM,AT分别叫做角α的!
正弦线 ###,!
余弦线 ###和!
正切线 ###.
1.思维辨析(在括号内打“√”或“×
”).
(1)顺时针旋转得到的角是正角.( ×
)
(2)钝角是第二象限的角.( √ )
(3)若两个角的终边相同,则这两个角相等.( ×
(4)1弧度的角就是长度为1的弧所对的圆心角.( ×
(5)终边在y轴上的角的正切值不存在.( √ )
解析
(1)错误.顺时针旋转得到的角是负角.
(2)正确.钝角的范围是,显然是第二象限的角.
(3)错误.角180°
的终边与角-180°
的终边相同,显然它们不相等.
(4)错误.1弧度的角是单位圆中长度为1的弧所对的圆心角.
(5)正确.终边在y轴上的角与单位圆的交点坐标为(0,1),(0,-1).由三角函数的定义知,角的正切值不存在.
2.-870°
的终边在第几象限( C )
A.一 B.二
C.三 D.四
解析 因-870°
=-2×
360°
-150°
,-150°
是第三象限角.
3.已知角α的终边经过点(,-1),则角α的最小正值是( B )
A. B.
C. D.
解析 ∵sinα==-,且α的终边在第四象限,∴α=π.
4.若sinα<
0且tanα>
0,则α是( C )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
解析 由sinα<
0,知α在第三、第四象限或α终边在y轴的负半轴上,由tanα>
0,知α在第一或第三象限,因此α在第三象限.
5.弧长为3π,圆心角为135°
的扇形半径为!
4 ###,面积为!
6π ###.
解析 弧长l=3π,圆心角α=π,由弧长公式l=|α|·
r得r===4,面积S=lr=6π.
一 象限角及终边相同的角
象限角和终边相同的角的判断及表示方法
(1)若要确定一个绝对值较大的角所在的象限,一般是先将角化为2kπ+α(0≤α<
2π)(k∈Z)的形式,然后再根据α所在的象限予以判断.
(2)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角.
【例1】
(1)写出终边在直线y=x上的角的集合.
(2)若角θ的终边与π角的终边相同,求在[0,2π]内终边与角的终边相同的角.
(3)已知角α是第一象限角,试确定2α,所在的象限.
解析
(1)终边在直线y=x上的角的集合为.
(2)所有与π角终边相同的角的集合是,
∴所有与角终边相同的角可表示为=π+kπ,k∈Z.
∴在[0,2π]内终边与角终边相同的角有π,π,π.
(3)∵2kπ<
α<
2kπ+,k∈Z,∴4kπ<
2α<
4kπ+π,kπ<
<
kπ+,k∈Z.∴2α在第一或第二象限或终边在y轴非负半轴上,角终边在第一或第三象限.
二 三角函数的定义
利用三角函数的定义解题的技巧
(1)已知角α终边上一点P的坐标,可求角α的三角函数值.先求P到原点的距离,再用三角函数的定义求解.
(2)已知角α的某三角函数值,可求角α终边上一点P的坐标中的参数值,可根据定义中的两个量列方程求参数值.
(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小,根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标.
【例2】
(1)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,若P(4,y)是角θ终边上一点,且sinθ=-,则y=!
-8 ###.
(2)(2017·
北京卷)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sinα=,则cos(α-β)=!
- ###.
解析
(1)r==,且sinθ=-,
所以sinθ===-,解得y=-8.
(2)因为角α与角β的终边关于y轴对称,
所以α+β=2kπ+π,k∈Z,
所以cos(α-β)=cos(2kπ+π-2α)=cos(2kπ+π-2α)=
-cos2α=-(1-2sin2α)=-=-.
三 扇形的弧长及面积公式的应用
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.
(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决.
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.
【例3】已知扇形的圆心角是α,半径为R,弧长为l.
(1)若α=60°
,R=10,求扇形的弧长l.
(2)若扇形的周长为20,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大?
(3)若α=,R=2,求扇形的弧所在的弓形的面积.
解析
(1)l=10×
=.
(2)由已知得l+2R=20,
所以S=lR=(20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2+25,
所以R=5时,S取得最大值25,此时l=10,α=2rad.
(3)设弓形面积为S弓,由题知l=,
S弓=S扇-S△=×
×
2-×
22×
sin=.
1.若sinα·
tanα<
0,且<
0,则角α是( C )
解析 由sinα·
0可知sinα,tanα异号,从而α为第二或第三象限角;
由<
0,可知cosα,tanα异号,从而α为第三或第四象限角.综上,α为第三象限角.
2.如图,设点A是单位圆上的一定点,动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周,点P所旋转过的弧的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的图象大致为( C )
解析 如图取AP的中点为D,连接OD,连接OP.设∠DOA=θ,则d=2sinθ,l=2θ,故d=2sin.
3.若cosα=-,且角α的终边经过点P(x,2),则P点的横坐标x是( D )
A.2 B.±
2
C.-2 D.-2
解析 r=,
由题意得=-,解得x=-2.
4.已知半径为10的圆O中,弦AB的长为10.
(1)求弦AB所对的圆心角α的大小;
(2)求α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.
解析
(1)在△AOB中,AB=OA=OB=10,
所以△AOB为等边三角形.所以弦AB所对的圆心角α=.
(2)由扇形的弧长与扇形面积公式,得l=α·
R=×
10=,
S扇形=R·
l=α·
R2=.
又S△AOB=OA·
OB·
sin=25.
所以弓形的面积S=S扇形-S△AOB=50.
易错点 定义应用错误
错因分析:
用三角函数的定义求三角函数值时,要注意点的位置或字母正负的讨论.
【例1】已知α角的终边过点P(3a,-4a)(a≠0),求α角的三个三角函数值,
解析 根据任意角的三角函数的定义可得
r===5|a|,
当a<
0时,r=-5a,sinα==,cosα==-,
tanα==-;
当a>
0时,r=5a,sinα==-,cosα==,
tanα==-.
【跟踪训练1】已知角α的终边在直线y=-3x上,求10sinα+的值.
解析 设α终边上任一点为P(k,-3k),
则r==|k|.
当k>
0时,r=k,
∴sinα==-,==,
∴10sinα+=-3+3=0;
当k<
0时,r=-k,
∴sinα==,==-.
∴10sinα+=3-3=0.
综上,10sinα+=0.
课时达标 第18讲
[解密考纲]本考点主要考查三角函数的概念、任意角和弧度制.通常以选择题、填空题的形式呈现.安排在比较靠前的位置.
一、选择题
1.将表的分针拨快10分钟,则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( C )
A. B.
C.- D.-
解析 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转,为负角.故A项,B项不正确,又因为拨快10分钟,故应转过的角为圆周的,
即为-×
2π=-,故选C.
2.点P从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点Q,则点Q的坐标为( A )
解析 由三角函数定义可知Q点的坐标(x,y)满足x=cos=-,y=sin=.
3.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cosα≤0,sinα>
0,则实数a的取值范围是( A )
A.(-2,3] B.(-2,3)
C.[-2,3) D.[-2,3]
解析 由cosα≤0,sinα>
0可知,角α的终边在第二象限或y轴的正半轴上,所以有解得-2<
a≤3.
4.(2018·
福建三明模拟)设α是第二象限角,P(x,4)为其终边上的一点,且cosα=x,则sinα=( A )
A. B.-
C. D.-
解析 因为r=,cosα=x=,得x=3或x=-3,又因为α是第二象限角,则x=-3,r=5,所以sinα=,故选A.
5.(2018·
安徽合肥模拟)已知角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos2θ=( B )
A.- B.-
解析 由题意知,tanθ=2,即sinθ=2cosθ,将其代入sin2θ+cos2θ=1中可得cos2θ=,故cos2θ=2cos2θ-1=-,故选B.
6.已知正角α的终边上一点的坐标为,则角α的最小值为( D )
解析 ∵=,∴角α为第四象限角,且sinα=-,cosα=,∴角α的最小值为,故选D.
二、填空题
7.在与2010°
终边相同的角中,绝对值最小的角的弧度数为 - .
解析 ∵2010°
=π=12π-,
∴与2010°
终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为-
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