求二面角的几何法Word文档下载推荐.docx
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∵AB=AC(已知)
∴AM⊥BE
同理AC=AD有AN⊥CD
在直角梯形BCDE中,
∵M、N分别是BE、CD的中点
∴MN∥BC
又∠BCD=90°
∴MN⊥CD
∴CD⊥面AMN
∴CD⊥AM
又AM⊥BE,CD、BE是梯形的两个腰,即它们一定相交,
∴AM⊥面BCD,又AM面ABE
∴面ABE⊥面BCD。
当二面角不是直二面角时可以采用下面几种方法。
1.充分利用二面角的定义,证明某角即为二面角的平面角,如找不到现成的,则可以通过三垂线定理或其逆定理把它作出来再计算。
例3.如图三棱锥P-ABC中,PC⊥平面ABC,PC=,D是BC的中点,且△ADC是边长为2的正三角形,求二面角P-AB-C的大小。
解:
由已知条件,D是BC的中点
∴CD=BD=2又△ADC是正三角形
∴AD=CD=BD=2
∴D是△ABC之外心又在BC上
∴△ABC是以∠BAC为直角的三角形,
∴AB⊥AC,又PC⊥面ABC
∴PA⊥AB(三垂线定理)
∴∠PAC即为二面角P-AB-C之平面角,
易求∠PAC=30°
例4.如图在三棱锥S-ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC,DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E,又SA=AB,BS=BC,求以BD为棱,BDE与BDC为面的二面角的度数。
∵BS=BC,又DE垂直平分SC
∴BE⊥SC,SC⊥面BDE
∴BD⊥SC,又SA⊥面ABC
∴SA⊥BD,BD⊥面SAC
∴BD⊥DE,且BD⊥DC
则∠EDC就是所要求的平面角
设SA=AB=a,
则BC=SB=a且AC=
易证△SAC∽△DEC
∴∠CDE=∠SAC=60°
例5.如图:
ABCD是矩形,AB=8,BC=4,AC与BD相交于O点,P是平面ABCD外一点,PO⊥面ABCD,PO=4,M是PC的中点,求二面角M-BD-C大小。
取OC之中点N,则MN∥PO
∵PO⊥面ABCD
∴MN⊥面ABCD且MN=PO/2=2,
过N作NR⊥BD于R,连MR,
则∠MRN即为二面角M-BD-C的平面角
过C作CE⊥BD于S
则RN=CE在Rt△BCD中,CD·
BC=BD·
CE
∴
∴
2.利用
此方法的优点只要找出射影图形及两个面积,不需要找出两面角的平面角,缺点是计算相对烦一些。
例6.如图△ABC与△BCD所在平面垂直,且AB=BC=BD,∠ABC=∠DBC=,求二面角A-BD-C的余弦值。
过A作AE⊥CB的延长线于E,连结DE,
∵面ABC⊥面BCD
∴AE⊥面BCD
∴E点即为点A在面BCD内的射影
∴△EBD为△ABD在面BCD内的射影设AB=a则AE=DE=ABsin60°
=
∴AD=,
∴sin∠ABD=
∴又
∴
考虑到我们求的是二面角A-BD-E,而二面角A-BD-C与A-BD-C互补
∴二面角A-BD-C的余弦值为。
例7.已知正方体AC'
,M、N分别是BB'
,DD'
的中点,求截面AMC'
N与面ABCD,CC'
D'
D所成的角。
设边长为a,易证ANC'
N是菱形
且MN=,A'
C=
∴S□AMC'
N=
由于AMC'
N在面ABCD上的射影即
为正方形ABCD
∴S□ABCD=
取CC'
的中点M'
,连结DM'
则平行四边形DM'
C'
N是四边形AMC'
N在CC'
D上的射影,
S□DM'
M=
∴
3.利用公式
这个公式是异面直线上二点的距离公式,我们稍作改造便可以用于求二面角的大小。
事实上,以公垂线AA'
与a构成平面α,AA'
与b构成平面β,则θ是两异面直线所成的角变成了二面角α-AA'
-β的平面角或它的补角(要注意它们的范围可能发生了变化)。
例8.如图AC⊥面BCD,BD⊥面ACD,若AC=CD=1,∠ABC=30°
,求二面角的大小。
作DF⊥AB于F,CE⊥AB于E,
∵AC=CD=1∠ABC=30°
∴AD=,BC=,
AB=2,BD=
在Rt△ABC中,
,
同理
即所求角的大小为。
例9.三棱锥A-BCD中,∠BAC=∠BCD=90°
,∠DBC=30°
,AB=AC=,AD=4,求二面角A-BC-D的度数。
由已知条件∠BAC=90°
,AB=AC,
设BC的中点设为O,则OA=OC=
BC=
解之得:
从一道高考题谈二面角大小的种种求法
546700蒙山县第一中学黄天华
在历年高考中,立体几何这一道题,就其解法而言,有传统的几何法和向量法两种(几何法重逻辑推理向量法重计算),更有其它的一些特殊解法,本文拟2008年江西卷(理科)第20题为例,谈二面角大小的种种求法。
题目:
如图,正三棱锥的三条侧棱两两垂直,且长度均为2,分别是的中点,是的中点,过的一个平面与侧棱或其延长线分别交于,已知.
(1)求证:
平面;
(2)求二面角的大小;
(3)求点到平面的距离。
1几何法
1.1定义法
根椐二面角的定义及度量知二面角的大小等于其平面角的大小,所以求二面角的大小一般遵循如下三个步:
一作二证三计算。
解法1:
(1)(3)略(以下各解法均略)。
(2)如图,过作于,连结,因为平面,根椐三垂线定理知:
,则是二面角的平面角。
作
,则∥,且为的中点,,由∽有:
,即,解得;
在中,,所以,,故所求二面角的大小为。
1.2面积射影法
设法作出二面角中的一个面在另一个面内的射影面,然后分别求出这个面和射影面的面积,利用求出二面角的大小。
解法2:
依题意知:
平面,所以平面在平面上的射影是.由解法1知:
,所以,而,设二面角的大小为,则,故所求二面角的大小为。
1.3双高比值法
设法分别求出点到平面和到棱的距离和,并设二面角的大小为,则由可求二面角的大小,这种方法我们称之为“双高比值法”。
解法3:
由解法1知:
;
又由解法2知:
,设点到平面的距离为,则由得:
,,设二面角的大小为,则,故所求二面角的大小为。
1.4公式法
利用下()教材例2的结论:
可以求二面角的大小。
解法4:
如图,过作于,则由解法1知:
,由得:
;
过作于,在中,由解法2知:
,则,所以,故将
代入
得:
,解得,故所求二面角的大小为。
1.5三面角余弦定理法
如图,在三面角中,有如下定理:
若,,二面角的平面角大小为,则(证明略)。
利用该公式可求二面角的大小。
解法5:
如图,由解法1知:
,则=
,在中,由余弦定理得:
,将
之值代入
得:
,,故所求二面角的大小为。
2向量法
2.1面法法
分别求出构成二面角的两个面的法向量,然后利用求出二面角的大小,这种方法我们称之为“面法法”。
解法6:
如图,以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,则相关点的坐标为,设,由与共线的充要条件知:
存在,使得:
=,即,有此得:
3,,同理,则,设是平面的一个法向量,则由得,令,则有,又是平面的一个法向量,所以=,故所求二面角的大小为。
2.2棱法法
我们把通过二面角棱上任意两点(可重合)在二面角的棱上且垂直于棱的两个向量,叫做二面角棱的法向量,利用可求出二面角的大小,这种方法我们称之为“棱法法”。
解法7:
如图,以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,则相关点的坐标为,
,由解法6知:
,,设点
,且,则,即
,所以①,又由得:
,所以②,解①②得,故。
设,且,同理可求得:
所以:
故所求二面角的大小为。
2.3非坐标向量法
选择不共面的三个向量作为基向量,然后用基向量来表示二面角所在的两个面的法向量,由公式可以求出二面角的大小。
解法8:
记,且
,,由
及
,设平面
的法向量为,
因为,=,所以由得:
,令得:
,又是平面的法向量,所以,故所求二面角的大小为。
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- 二面角 几何