河北省唐山市届高三第二次模拟考试数学理试题+Word版含答案Word下载.docx
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第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.展开式的常数项为.(用数字作答)
14.曲线与直线所围成的封闭图形的面积为.
15.在四棱锥中,底面,底面是正方形,,三棱柱的顶点都位于四棱锥的棱上,已知分别是棱的中点,则三棱柱的体积为.
16.数列满足,若时,,则的取值范围是.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.如图,在平面四边形中,,设.
(1)若,求的长度;
(2)若,求.
18.为了研究黏虫孵化的平均温度(单位:
)与孵化天数之间的关系,某课外兴趣小组通过试验得到如下6组数据:
组号
1
2
3
4
5
6
平均温度
15.3
16.8
17.4
18
19.5
21
孵化天数
16.7
14.8
13.9
13.5
8.4
6.2
他们分别用两种模型①,②分别进行拟合,得到相应的回归方程并进行残差分析,得到如图所示的残差图:
经计算得,
(1)根据残差图,比较模型①,②的拟合效果,应选择哪个模型?
(给出判断即可,不必说明理由)
(2)残差绝对值大于1的数据被认为是异常数据,需要剔除,剔除后应用最小二乘法建立关于的线性回归方程.(精确到0.1)
,.
19.如图,在三棱柱中,,平面平面.
(1)求证:
;
20.已知抛物线的焦点为,过点的直线与抛物线交于两点,交轴于点为坐标原点.
(1)若,求直线的方程;
(2)线段的垂直平分线与直线轴,轴分别交于点,求的最小值.
21.设.
(1)证明:
在上单调递减;
(2)若,证明:
.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:
坐标系与参数方程
在极坐标系中,曲线,曲线,点,以极点为原点,极轴为轴正半轴建立直角坐标系.
(1)求曲线和的直角坐标方程;
(2)过点的直线交于点,交于点,若,求的最大值.
23.选修4-5:
不等式选讲
已知.
(2)判断等式能否成立,并说明理由.
理科数学参考答案
一.选择题:
A卷:
BACDBCDBDCAB
B卷:
BACDCCDBDBAB
二.填空题:
(13)15(14)(15)1(16)[2,+∞)
三.解答题:
17.解:
(1)由题意可知,AD=1.
在△ABD中,∠DAB=150°
,AB=2,AD=1,由余弦定理可知,
BD2=
(2)2+12-2×
2×
1×
(-)=19,
BD=.
(2)由题意可知,AD=2cosθ,∠ABD=60°
-θ,
在△ABD中,由正弦定理可知,
=,
即=4,
整理得tanθ=.
18.解:
(1)应该选择模型①.
(2)剔除异常数据,即组号为4的数据,
剩下数据的平均数=(18×
6-18)=18;
=(12.25×
6-13.5)=12.
=1283.01-18×
13.5=1040.01;
=1964.34-182=1640.34.
==≈-1.97,
=-=12+1.97×
18≈47.5,
所以y关于x的线性回归方程为:
=-2.0x+47.5.
19.解:
(1)因为平面AA1C1C⊥平面ABC,交线为AC,又BC⊥AC,
所以BC⊥平面AA1C1C,
因为C1C平面AA1C1C,
从而有BC⊥C1C.
因为∠A1CC1=90°
,所以A1C⊥C1C,
又因为BC∩A1C=C,
所以C1C⊥平面A1BC,
A1B平面A1BC,
所以CC1⊥A1B.
(2)如图,以C为坐标原点,分别以,的方向为x轴,y轴的正方向建立空间直角坐标系C-xyz.
由∠A1CC1=90°
,AC=AA1得
A1C=AA1.
不妨设BC=AC=AA1=2,
则B(2,0,0),C1(0,-1,1),A(0,2,0),A1(0,1,1),
所以=(0,-2,0),=(-2,-1,1),=(2,-2,0),
设平面A1BC1的一个法向量为m,
由·
m=0,·
m=0,可取m=(1,0,2).
设平面ABC1的一个法向量为n,
n=0,·
n=0,可取n=(1,1,3).
cos〈m,n〉==,
又因为二面角A1-BC1-A为锐二面角,
所以二面角A1-BC1-A的余弦值为.
20.解:
(1)设直线l的方程为x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2),
由得y2-4my-4=0,
y1+y2=4m,y1y2=-4.
所以kOA+kOB=+==-4m=4.
所以m=-1,
所以l的方程为x+y-1=0.
(2)由
(1)可知,m≠0,C(0,-),D(2m2+1,2m).
则直线MN的方程为y-2m=-m(x-2m2-1),则
M(2m2+3,0),N(0,2m3+3m),F(1,0),
S△NDC=·
|NC|·
|xD|=·
|2m3+3m+|·
(2m2+1)=,
S△FDM=·
|FM|·
|yD|=·
(2m2+2)·
2|m|=2|m|(m2+1),
则==m2++1≥2,
当且仅当m2=,即m2=时取等号.
所以,的最小值为2.
其它解法参考答案给分.
21.解:
(1)f'
(x)=.
令h(x)=1--lnx,则h'
(x)=-=,x>0,
所以0<x<1时,h'
(x)>0,h(x)单调递增,
又h
(1)=0,所以h(x)<0,
即f'
(x)<0,所以f(x)单调递减.
(2)g'
(x)=axlna+axa-1=a(ax-1lna+xa-1),
当0<a≤时,lna≤-1,所以ax-1lna+xa-1≤xa-1-ax-1.
由(Ⅰ)得<,所以(a-1)lnx<(x-1)lna,即xa-1<ax-1,
所以g'
(x)<0,g(x)在(a,1)上单调递减,
即g(x)>g
(1)=a+1>1.
当<a<1时,-1<lna<0.
令t(x)=ax-xlna-1,0<a<x<1,则t'
(x)=axlna-lna=(ax-1)lna>0,
所以t(x)在(0,1)上单调递增,即t(x)>t(0)=0,
所以ax>xlna+1.
所以g(x)=ax+xa>xa+xlna+1=x(xa-1+lna)+1>x(1+lna)+1>1.
综上,g(x)>1.
22.解:
(1)曲线C1的直角坐标方程为:
x2+y2-2y=0;
曲线C2的直角坐标方程为:
x=3.
(2)P的直角坐标为(-1,0),设直线l的倾斜角为α,(0<α<),
则直线l的参数方程为:
(t为参数,0<α<)
代入C1的直角坐标方程整理得,
t2-2(sinα+cosα)t+1=0,
t1+t2=2(sinα+cosα)
直线l的参数方程与x=3联立解得,t3=,
由t的几何意义可知,
|PA|+|PB|=2(sinα+cosα)=λ|PQ|=,整理得,
4λ=2(sinα+cosα)cosα=sin2α+cos2α+1=sin(2α+)+1,
由0<α<,<2α+<,
所以,当2α+=,即α=时,λ有最大值(+1).
23.解:
(1)由题意得(a+b)2=3ab+1≤3()2+1,当且仅当a=b时,取等号.
解得(a+b)2≤4,又a,b>0,
所以,a+b≤2.
(2)不能成立.
+≤+,
因为a+b≤2,
所以+≤1+,
因为c>0,d>0,cd>1,
所以c+d=+≥+>+1,
故+=c+d不能成立.
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