高考数学文考前刷题大卷练14套含新题有解析 4Word文档格式.docx
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∴sin=cosα=cos=cos=.故选B.
3.
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>
0,0<
φ<
π)的部分图象如图所示,则f
(1)的值为( )
A.-B.-1
C.1D.
根据题中所给图象可知,函数f(x)的最小正周期T=2×
=2,A=2,ω==π,f=2sin=-2,又0<
π,所以φ=,所以f(x)=2sin,所以f
(1)=2sin=-1,故选B.
4.给出下列命题:
①若|a|=|b|,则a=b;
②若A,B,C,D是不共线的四点,则=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;
③若a=b,b=c,则a=c;
④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b.
其中正确命题的序号是( )
A.②③B.①②
C.③④D.①④
①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.②正确.∵=,∴||=||且∥.又A,B,C,D是不共线的四点,∴四边形ABCD为平行四边形;
反之,若四边形ABCD为平行四边形,则∥且||=||,因此,=.③正确.∵a=b,∴a,b的长度相等且方向相同,又b=c,∴b,c的长度相等且方向相同,∴a,c的长度相等且方向相同,故a=c.④不正确.当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故|a|=|b|且a∥b不是a=b的充要条件,而是必要不充分条件.综上所述,正确命题的序号是②③.故选A.
5.[2019·
宁夏育才中学月考]设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>
0,ω>
0),若f=f=-f,且f(x)在区间上单调,则f(x)的最小正周期是( )
A.B.
C.D.π
D
由f=-f,且函数f(x)在区间上具有单调性可知f=f=0,
据此可得函数的最小正周期T≥4×
=,
又f=f,所以函数在x==处取得最值,则函数的最小正周期T=4×
=π.故选D.
6.[2018·
全国卷Ⅱ]若f(x)=cosx-sinx在[-a,a]是减函数,则a的最大值是( )
f(x)=cosx-sinx=-=-sin,当x∈,即x-∈-,时,y=sin单调递增,y=-sin单调递减.
∵函数f(x)在[-a,a]是减函数,
∴[-a,a]⊆,
∴0<
a≤,∴a的最大值为.故选A.
7.[2019·
广东省七校联考
(一)]在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sinA=,a=2,S△ABC=,则b的值为( )
C.2D.2
因为△ABC为锐角三角形,sinA=,所以cosA=.由S△ABC=bcsinA=,得bc=3 ①.由cosA=得b2+c2=6 ②.联立①②,解得b=,故选A.
8.[2019·
广西桂林、贺州联考]设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.如果(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且a=,那么△ABC的外接圆半径为( )
A.2B.4
C.D.1
∵(a+b+c)(b+c-a)=(b+c)2-a2=3bc,化为b2+c2-a2=bc.∴cosA==,∴sinA=,由正弦定理可得△ABC的外接圆半径R===1.
9.
如图所示,AB是圆O的直径,P是上的点,M,N是直径AB上关于O对称的两点,且AB=6,MN=4,则·
=( )
A.13B.7
C.5D.3
C
连接AP,BP,则=+,=+=-,所以·
=(+)·
(-)=·
-·
+·
-||2=-·
-||2=·
-||2=1×
6-1=5.
10.[2019·
辽宁六校协作体模拟]已知向量||=3,||=2,=(m-n)+(2n-m-1).若与的夹角为60°
,且⊥,则实数的值为( )
C.D.
∵=(m-n)+(2n-m-1),∴=+=(m-n)+(2n-m-1)+=(m-n)+(2n-m).∴·
=[(m-n)+(2n-m)]·
(-)=(2m-3n)||·
||cos60°
-(m-n)||2+(2n-m)||2=8n-7m=0,则=.故选A.
11.
为了竖一块广告牌,要制造一个三角形支架,如图,要求∠ACB=60°
,BC的长度大于1米,且AC比AB长0.5米,为了稳固广告牌,要求AC越短越好,则AC最短为( )
A.米B.2米
C.(1+)米D.(2+)米
设BC的长度为x米,AC的长度为y米,则AB的长度为(y-0.5)米,在△ABC中,由余弦定理AB2=AC2+BC2-2AC·
BCcos∠ACB,得(y-0.5)2=y2+x2-2xy×
,化简得y(x-1)=x2-.因为x>
1,所以x-1>
0,因此y==(x-1)++2≥+2,当且仅当x-1=时取等号,即x=1+时,y取得最小值2+,因此AC最短为(2+)米.
12.已知函数f(x)=2sin(0<
π,ω>
0)为偶函数,且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.若将函数y=f(x)的图象向右平移个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,则g(x)在下列区间上是减函数的是( )
A.B.[0,π]
C.[2π,3π]D.
因为f(x)为偶函数,所以φ-=+kπ,k∈Z,故φ=+kπ,k∈Z.
又0<
π,故φ=,所以f(x)=2sinωx+=2cosωx.
由题意得=2·
,所以ω=2,故f(x)=2cos2x.
将f(x)的图象向右平移个单位后,得到f的图象,再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到f的图象,
所以g(x)=f=2cos2-=2cos.
令2kπ≤-≤2kπ+π(k∈Z),可得4kπ+≤x≤4kπ+(k∈Z).
故函数g(x)在(k∈Z)上是减函数,结合选项即得选D.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.
13.[2019·
北京西城模拟]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=3,C=,△ABC的面积为,则b=______;
c=________.
1
由题意,S△ABC=absinC=×
3×
b×
=⇒b=1,由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC=9+1-2×
1×
=13⇒c=.
14.设向量a=(cosα,-1),b=(2,sinα),若a⊥b,则tan=________.
∵a=(cosα,-1),b=(2,sinα),a⊥b,∴2cosα-sinα=0,∴tanα=2,∴tan===.
15.[2019·
山东泰安月考]已知扇形的圆心角是α,半径是r,弧长为l.若扇形的周长为20,则扇形面积的最大值为________,此时扇形圆心角的弧度数为________.
25 2
根据题意知l+2r=20,即l=20-2r.
∵S=lr,∴S=×
(20-2r)r=-(r-5)2+25.
∴当r=5时,Smax=25.又∵l=20-2r=αr,∴10=α×
5,即α=2.
∴扇形面积的最大值为25,此时扇形圆心角的弧度数为2.
16.如图,在△ABC中,∠BAC=90°
,AB=3,D在斜边BC上,且CD=2DB,则·
=________.
6
解法一 因为=-,∠BAC=90°
,AB=3,
且CD=2DB,所以·
=·
(+)=·
=2+·
=×
9+0=6.
解法二 如图,以点A为坐标原点建立平面直角坐标系,则由题意得,B(3,0),设C(0,y),过D作DM⊥AB交x轴于点M,作DN⊥AC交y轴于点N,∵CD=2DB,∴DM=AC=y,DN=AB=2,∴D.∴=(3,0),=,∴·
=6.
三、解答题:
本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
[2019·
河南第一次段考]已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,-2).
(1)若|c|=2,且c∥a,求c的坐标;
(2)若|b|=1,且a+b与a-2b垂直,求a与b的夹角θ的余弦值.
(1)设c=(x,y),则
由c∥a和|c|=2可得
解得或
∴c=(-2,4)或c=(2,-4).
(2)∵a+b与a-2b垂直,∴(a+b)·
(a-2b)=0,
即a2-a·
b-2b2=0,∴a·
b=3,
∴cosθ==.
18.(本小题满分12分)
如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为α,且tanα=7,与的夹角为45°
.若=m+n(m,n∈R),求m+n的值.
本题考查平面向量基本定理及其应用,平面向量的夹角及其应用等知识.
解法一 ∵tanα=7,α∈[0,π],
∴cosα=,sinα=,
∵与的夹角为α,∴=,
∵=m+n,||=||=1,||=,
∴=,①
又∵与的夹角为45°
,
∴==,②
又cos∠AOB=cos(45°
+α)=cosαcos45°
-sinαsin45°
-×
=-,
∴·
=||·
||·
cos∠AOB=-,
将其代入①②得m-n=,-m+n=1,
两式相加得m+n=,所以m+n=3.
解法二 过C作CM∥OB,CN∥OA,分别交线段OA,OB的延长线于点M,N,
则=m,=n,
由正弦定理得
==,
∵||=,
由解法一知,sinα=,cosα=,
∴||===,
||===,
又=m+n=+,||=||=1,
∴m=,n=,∴m+n=3.
19.(本小题满分12分)
北京师范大学附属中学模拟]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且ccosA=(2b-a)cosC.
(1)求角C;
(2)若A=,△ABC的面积为,D为AB的中点,求sin∠BCD.
(1)由ccosA=(2b-a)cosC得2bcosC=(ccosA+acosC);
由正弦定理得2sinBcosC=(sinCcosA+sinAcosC)=sin(A+C)=sinB.
因为sinB≠0,所以cosC=.
因为0<
C<
π,所以C=.
(2)因为A=,故△ABC为等腰三角形,且顶角B=π-A-C=,
故S△ABC=a2sinB==,所以a=2,c=a=2,DB==1.在△DBC中,由余弦定理得CD2=DB2+BC2-2DB·
BCcosB=7,所以CD=.
在△DBC中,由正弦定理得=,即=,所以sin∠BCD=.
20.(本小题满分12分)
湖北百所重点校联考]设α∈,满足sinα+cosα=.
(1)求cos的值;
(2)求cos的值.
(1)∵sinα+cosα=,∴sin=.
∵α∈,∴α+∈,
∴cos=.
(2)由
(1)可得
cos=2cos2-1=2×
2-1=.
∵α∈,∴
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