高考数学理科试题分类汇编导数Word格式文档下载.docx
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【解析】法1:
验证A,当,故排除A;
验证B,当,
,而,故排除B;
验证C,令,显然恒成立
所以当,,所以,为增函数,所以
,恒成立,故选C;
验证D,令
,令,解得,所以当时,,显然不恒成立,故选C.
法2:
设,则
所以所以当时,
同理即,故选C
【点评】本题主要考查导数公式,以及利用导数,通过函数的单调性与最值来证明不等式,考查转化思想、推理论证能力、以及运算能力,难度较大。
5.【2012高考湖北理3】已知二次函数的图象如图所示,则它与轴所围图形的面积为
A.B.
C.D.
考点分析:
本题考察利用定积分求面积.
【解析】根据图像可得:
,再由定积分的几何意义,可求得面积为.
6.【2012高考全国卷理10】已知函数y=x²
-3x+c的图像与x恰有两个公共点,则c=
(A)-2或2(B)-9或3(C)-1或1(D)-3或1
【答案】A
【命题意图】本试题主要考查了导数在研究三次函数中的极值的运用。
要是函数图像与轴有两个不同的交点,则需要满足极佳中一个为零即可。
【解析】若函数的图象与轴恰有两个公共点,则说明函数的两个极值中有一个为0,函数的导数为,令,解得,可知当极大值为,极小值为.由,解得,由,解得,所以或,选A.
二、填空题
7.【2012高考浙江理16】定义:
曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离,已知曲线C1:
y=x2+a到直线l:
y=x的距离等于曲线C2:
x2+(y+4)2=2到直线l:
y=x的距离,则实数a=_______。
【答案】
【解析】曲线C2:
y=x的距离为,
曲线C1:
y=x2+a对应函数的导数为,令得,所以C1:
y=x2+a上的点为,点到到直线l:
y=x的距离应为,所以,解得或(舍去)。
8.【2012高考江西理11】计算定积分___________。
【命题立意】本题考查有关多项式函数,三角函数定积分的应用.
【解析】。
9.【2012高考山东理15】设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为,则______.
【解析】由已知得,所以,所以。
10.【2012高考广东理12】曲线y=x3-x+3在点(1,3)处的切线方程为.
【解析】,当时,,此时,故切线方程为,即。
11.【2012高考上海理13】已知函数的图象是折线段,其中、、,函数()的图象与轴围成的图形的面积为。
【解析】当,线段的方程为,当时。
线段方程为,整理得,即函数,所以,函数与轴围成的图形面积为。
【点评】本题主要考查函数的图象与性质,函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想,本题综合性较强,需要较强的分析问题和解决问题的能力,在以后的练习中加强这方面的训练,本题属于中高档试题,难度较大.
12.【2012高考陕西理14】设函数,是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域,则在上的最大值为.
【答案】2.
【解析】函数在点处的切线为,即.所以D表示的平面区域如图当目标函数直线经过点M时有最大值,最大值为.
三、解答题
13.【2012高考广东理21】
(本小题满分14分)
设a<1,集合,,。
(1)求集合D(用区间表示);
(2)求函数在D内的极值点.
【答案】本题是一个综合性问题,考查集合与导数的相关知识,考查了学生综合解决问题的能力,难度较大.
【解析】
(1)对于方程
判别式
因为,所以
①当时,,此时,所以;
②当时,,此时,所以;
当时,,设方程的两根为且,则
,
③当时,,,所以
此时,
④当时,,所以
(2),
所以函数在区间上为减函数,在区间和上为增函数
①是极点
②是极点
得:
时,函数无极值点,时,函数极值点为,
时,函数极值点为与
14.【2012高考安徽理19】
(本小题满分13分)
设。
(I)求在上的最小值;
(II)设曲线在点的切线方程为;
求的值。
【答案】本题考查函数、导数的基础知识,运用导数研究函数性质等基本方法,考查分类讨论思想,代数恒等变形能力和综合运用数学知识分析问题解决问题的能力。
(I)设;
则,
①当时,在上是增函数,
当时,的最小值为。
②当时,,
当且仅当时,的最小值为。
(II),
由题意得:
。
15.【2012高考福建理20】
(本小题满分14分)已知函数f(x)=ex+ax2-ex,a∈R.
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线平行于x轴,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)试确定a的取值范围,使得曲线y=f(x)上存在唯一的点P,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.
【答案】本题主要考查函数导数的应用、二次函数的性质、函数零点的存在性定理等基础知识,考查推理论证能力、基本运算能力、抽象概括能力,以及分类与整合思想、数形结合思想、化归与转化思想.
解答:
(Ⅰ)
函数的单调递增区间为,单调递减区间为
(Ⅱ)设;
则过切点的切线方程为
令;
则
切线与曲线只有一个公共点只有一个根
,且
(1)当时,
当且仅当时,
由的任意性,不符合条件(lbylfx)
(2)当时,令
①当时,
当且仅当时,在上单调递增
只有一个根
②当时,
,又
存在两个数使,
又
存在使,与条件不符。
③当时,同理可证,与条件不符
从上得:
当时,存在唯一的点使该点处的切线与曲线只有一个公共点
16.【2012高考全国卷理20】
(本小题满分12分)(注意:
在试题卷上作答无效)
设函数f(x)=ax+cosx,x∈0,π].
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)设f(x)≤1+sinx,求a的取值范围.
【命题意图】本试题考查了导数在研究函数中的运用。
第一就是函数中有三角函数,要利用三角函数的有界性,求解单调区间。
另外就是运用导数证明不等式问题的构造函数思想的运用。
解:
(Ⅰ)因为,所以。
当时,,在上为单调递增函数;
当时,,在上为单调递减函数;
当时,由得,
由得或;
由得。
所以当时在和上为为单调递增函数;
在上为单调递减函数。
(Ⅱ)因为
当时,恒成立
当时,
令,则
又令,则
则当时,,故,单调递减
当时,,故,单调递增
所以在时有最小值,而
综上可知时,,故在区间单调递
所以
故所求的取值范围为。
另解:
由恒成立可得
当时,,当时,
又,所以,即
故当时,有(lbylfx)
①当时,,,所以
综上可知故所求的取值范围为。
【点评】试题分为两问,题词面比较简单,给出的函数比较新颖,因为里面还有三角函数,这一点对于同学们来说有点难度,不同于平时的练习题,相对来说做得比较少。
但是解决的关键还是要看导数的符号,求解单调区间。
第二问中,运用构造函数的思想,证明不等式,一直以来是个难点,那么这类问题的关键是找到合适的函数,运用导数证明最值大于或者小于零的问题得到解决。
17.【2012高考北京理18】
(本小题共13分)
已知函数,.
(1)若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线,求,的值;
(2)当时,求函数的单调区间,并求其在区间上的最大值.
()由为公共切点可得:
,则,,
①
又,,
,即,代入①式可得:
.
(2),设
则,令,解得:
,;
,,
原函数在单调递增,在单调递减,在上单调递增
①若,即时,最大值为;
②若,即时,最大值为
③若时,即时,最大值为.
综上所述:
当时,最大值为;
当时,最大值为.
18.【2012高考新课标理21】
(本小题满分12分)
已知函数满足满足;
(1)求的解析式及单调区间;
(2)若,求的最大值.
(1)
令得:
在上单调递增
的解析式为
且单调递增区间为,单调递减区间为
(2)得
①当时,在上单调递增
时,与矛盾
当时,的最大值为
19.【2012高考天津理20】本小题满分14分)
已知函数的最小值为0,其中
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若对任意的有≤成立,求实数的最小值;
(Ⅲ)证明().
(1)函数的定义域为
时,
(2)设
则在上恒成立(*)
①当时,与(*)矛盾
②当时,符合(*)
实数的最小值为
(3)由
(2)得:
对任意的值恒成立
取:
当时,得:
【点评】试题分为三问,题面比较简单,给出的函数比较常规,因此入手对于同学们来说没有难度,第二问中,解含参数的不等式时,要注意题中参数的讨论所有的限制条件,从而做到不重不漏;
第三问中,证明不等式,应借助于导数证不等式的方法进行.
20.【2012高考江苏18】
(16分)若函数在处取得极大值或极小值,则称为函数的极值点。
已知是实数,1和是函数的两个极值点.
(1)求和的值;
(2)设函数的导函数,求的极值点;
(3)设,其中,求函数的零点个数.
【答案】解:
(1)由,得。
∵1和是函数的两个极值点,
∴,,解得。
(2)∵由
(1)得,,
∴,解得。
∵当时,;
当时,,
∴是的极值点。
∵当或时,,∴不是的极值点。
∴的极值点是-2。
(3)令,则。
先讨论关于的方程根的情况:
当时,由
(2)可知,的两个不同的根为I和一2,注意到是奇函数,∴的两个不同的根为一和2。
当时,∵,,
∴一2,-1,1,2都不是的根。
由
(1)知。
①当时,,于是是单调增函数,从而。
此时在无实根。
②当时.,于是是单调增函数。
又∵,,的图象不间断,
∴在(1,2)内有唯一实根。
同理,在(一2,一I)内有唯一实根。
③当时,,于是是单调减两数。
∴在(一1,1)内有唯一实根。
因此,当时,有两个不同的根满足;
当时
有三个不同的根,满足。
现考虑函数的零点:
(i)当时,有两个根,满足。
而有三个不同的根,有两个不同的根,故有5个零点。
(11)当时,有三个不同的根,满足。
而有三个不同的根,故有9个零点。
综上所述,当时,函数有5个零点;
当时,函数有9个零点。
【考点】函数的概念和性质,导数的应用。
(1)求出的导数,根据1和是函数的两个极值点代入列方程组求解即可。
(2)由
(1)得,,求出,令,求解讨论即可。
(3)比较复杂
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