新人教版高中数学必修第一册全套课时作业第二章 22 第2课时.docx
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新人教版高中数学必修第一册全套课时作业第二章22第2课时
第2课时 基本不等式的应用
学习目标 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.
知识点 用基本不等式求最值
用基本不等式≥求最值应注意:
(1)x,y是正数;
(2)①如果xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2;
②如果x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值S2.
(3)讨论等号成立的条件是否满足.
预习小测 自我检验
1.已知0 答案 解析 y=x(1-2x)=·2x·(1-2x) ≤2=, 当且仅当2x=1-2x,即x=时取“=”. 2.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x=________. 答案 20 解析 总运费与总存储费用之和 y=4x+×4=4x+≥2=160, 当且仅当4x=, 即x=20时取等号. 3.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位: 万元)与机器运转时间x(单位: 年)的关系为y=-x2+18x-25(x∈N*),则该公司每台机器年平均利润的最大值是________万元. 答案 8 解析 年平均利润=-x+18-=-+18≤-2+18=-10+18=8,当且仅当x=5时取“=”. 4.已知x>2,则x+的最小值为________. 答案 6 解析 x+=x-2++2, ∵x-2>0,∴x-2++2≥2+2=4+2=6. 当且仅当x-2=,即x=4时取“=”. 一、利用基本不等式变形求最值 例1 已知x>0,y>0,且+=1,求x+y的最小值. 解 方法一 ∵x>0,y>0,+=1, ∴x+y=(x+y)=++10 ≥6+10=16, 当且仅当=, 又+=1,即x=4,y=12时,上式取等号. 故当x=4,y=12时,(x+y)min=16. 方法二 由+=1,得(x-1)(y-9)=9(定值). 由+=1可知x>1,y>9, ∴x+y=(x-1)+(y-9)+10 ≥2+10=16, 当且仅当x-1=y-9=3, 即x=4,y=12时上式取等号, 故当x=4,y=12时,(x+y)min=16. 延伸探究 若将条件换为: x>0,y>0且2x+8y=xy,求x+y的最小值. 解 方法一 由2x+8y-xy=0,得y(x-8)=2x. ∵x>0,y>0,∴x-8>0,y=, ∴x+y=x+=x+ =(x-8)++10≥2+10=18. 当且仅当x-8=,即x=12时,等号成立. ∴x+y的最小值是18. 方法二 由2x+8y-xy=0及x>0,y>0, 得+=1. ∴x+y=(x+y) =++10≥2+10=18. 当且仅当=,即x=2y=12时等号成立. ∴x+y的最小值是18. 反思感悟 应根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”,创造应用基本不等式及使等号成立的条件.当连续应用基本不等式时,要注意各不等式取等号时的条件要一致,否则也不能求出最值;特别注意“1”的代换. 跟踪训练1 已知正数x,y满足x+y=1,则+的最小值是________. 答案 9 解析 ∵x+y=1, ∴+=(x+y) =1+4++. ∵x>0,y>0,∴>0,>0, ∴+≥2=4, ∴5++≥9. 当且仅当即x=,y=时等号成立. ∴min=9. 二、基本不等式在实际问题中的应用 例2 “足寒伤心,民寒伤国”,精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障.某地政府在对山区乡镇企业实施精准扶贫的工作中,准备投入资金将当地农产品二次加工后进行推广促销,预计该批产品销售量Q万件(生产量与销售量相等)与推广促销费x万元之间的函数关系为Q=(其中推广促销费不能超过3万元).已知加工此批农产品还要投入成本2万元(不包含推广促销费用),若加工后的每件成品的销售价格定为元/件. 那么当推广促销费投入多少万元时,此批产品的利润最大? 最大利润为多少? (利润=销售额-成本-推广促销费) 解 设该批产品的利润为y, 由题意知y=·Q-2-x =2Q+20-2Q--x=20--x =20--x=21-,0≤x≤3. ∵21-≤21-2=17, 当且仅当x=1时,上式取“=”, ∴当x=1时,ymax=17. 答 当推广促销费投入1万元时,利润最大为17万元. 反思感悟 应用题,先弄清题意(审题),建立数学模型(列式),再用所掌握的数学知识解决问题(求解),最后要回应题意下结论(作答).使用基本不等式求最值,要注意验证等号是否成立. 跟踪训练2 2016年11月3日20点43分我国长征五号运载火箭在海南文昌发射中心成功发射,它被公认为是我国从航天大国向航天强国迈进的重要标志.长征五号运载火箭的设计生产采用了很多新技术新产品,甲工厂承担了某种产品的生产,并以x千克/时的速度匀速生产时(为保证质量要求1≤x≤10),每小时可消耗A材料kx2+9千克,已知每小时生产1千克该产品时,消耗A材料10千克.消耗A材料总重量为y千克,那么要使生产1000千克该产品消耗A材料最少,工厂应选取何种生产速度? 并求消耗的A材料最少为多少. 解 由题意,得k+9=10,即k=1, 生产1000千克该产品需要的时间是, 所以生产1000千克该产品消耗的A材料为 y=(x2+9)=1000≥1000×2=6000, 当且仅当x=,即x=3时,等号成立,且1<3<10. 故工厂应选取3千克/时的生产速度,消耗的A材料最少,最少为6000千克. 基本不等式在实际问题中的应用 典例 围建一个面积为360m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修),其他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口,如图.已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位: m),修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位: 元). 试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用. 解 设矩形的另一边长为am, 则y=45x+180(x-2)+180×2a=225x+360a-360. 由已知xa=360,得a=, ∴y=225x+-360. ∵x>0, ∴225x+≥2=10800. ∴y=225x+-360≥10440. 当且仅当225x=时,等号成立. 即当x=24m时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是10440元. [素养提升] 数学建模是对现实问题进行数学抽象,建立和求解模型的过程耗时费力,所以建立的模型要有广泛的应用才有价值.本例中所涉及的y=x+(a>0)就是一个应用广泛的函数模型. 1.设x>0,则3-3x-的最大值是( ) A.3B.3-2 C.-1D.3-2 答案 D 解析 ∵x>0,∴3x+≥2=2,当且仅当x=时取等号,∴-≤-2,则3-3x-≤3-2,故选D. 2.已知(x>1)在x=t时取得最小值,则t等于( ) A.1+B.2 C.3D.4 答案 B 解析 ==x+ =x-1++1≥2+1=3, 当且仅当x-1=,即x=2时,等号成立. 3.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m2、形状为直角三角形的框架,在下列四种长度的铁丝中,选用最合理(够用且浪费最少)的是( ) A.6.5mB.6.8mC.7mD.7.2m 答案 C 解析 设两直角边分别为a,b,直角三角形的框架的周长为l,则ab=2,∴ab=4,l=a+b+≥2+=4+2≈6.828(m).∵要求够用且浪费最少,故选C. 4.已知正数a,b满足a+2b=2,则+的最小值为________. 答案 4 解析 +=×(a+2b) = ≥(4+2)=4. 当且仅当=,即a=1,b=时等号成立, ∴+的最小值为4. 5.设计用32m2的材料制造某种长方体车厢(无盖),按交通法规定厢宽为2m,则车厢的最大容积是________m3. 答案 16 解析 设车厢的长为bm,高为am. 由已知得2b+2ab+4a=32,即b=, ∴V=a··2=2·. 设a+1=t,则V=2 ≤2=16, 当且仅当t=3,即a=2,b=4时等号成立. 1.知识清单: (1)已知x,y是正数. ①若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值. ②若x·y=P(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值. 即: “和定积最大,积定和最小”. (2)求解应用题的方法与步骤. ①审题,②建模(列式),③解模,④作答. 2.方法归纳: 注意条件的变换,常用“1”的代换方法求最值. 3.常见误区: 缺少等号成立的条件. 1.已知正数x,y满足+=1,则x+2y的最小值是( ) A.18B.16C.8D.10 答案 A 解析 x+2y=(x+2y)=10++≥10+2=18,当且仅当=,即x=4y=12时,等号成立. 2.已知a>0,b>0,+=,若不等式2a+b≥9m恒成立,则m的最大值为( ) A.8B.7C.6D.5 答案 C 解析 由已知,可得6=1, ∴2a+b=6×(2a+b) =6≥6×(5+4)=54, 当且仅当=时,即a=b=18等号成立, ∴9m≤54,即m≤6,故选C. 3.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a A.a C. 答案 A 解析 设小王从甲地到乙地行驶的路程为s, ∵b>a>0,则v==<=, 又>=a,故选A. 4.若正数x,y满足x2+3xy-1=0,则x+y的最小值是( ) A.B.C.D. 答案 B 解析 由x2+3xy-1=0,可得y=. 又x>0,所以x+y=+≥2=. 5.已知m>0,n>0,m+n=1且x=m+,y=n+,则x+y的最小值是( ) A.4B.5C.8D.10 答案 B 解析 依题意有x+y=m+n++=1++=3++≥3+2=5,当且仅当m=n=时取等号.故选B. 6.为净化水质,向一个游泳池加入某种化学药品,加药后池水中该药品的浓度C(单位: mg·L-1) 随时间t(单位: h)的变化关系为C=,则经过_______h后池水中该药品的浓度达到最大. 答案 2 解析 C==. 因为t>0,所以t+≥2=4 . 所以C=≤=5,当且仅当t=, 即t=2时,C取得最大值. 7.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为________m. 答案 20 解析 设矩形花园的宽为y,则=,即y=40-x,矩形花园的面积S=x(40-x)≤2=400,当且仅当x=20时,取等号,即当x=20m时,面积最大. 8.某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运,据市场分析每辆车营运的总利润y(单位: 10万元)与营运年数x(x∈N*)满足关系y=-x2+12x-25,则每辆客车营运________年时,年平均利润最大. 答案 5 解析 ∵y=-x2+12x-25, ∴年平均利润为= =-+12≤-2+12=2, 当且仅当x=,即x=5时,等号成立. 9.已知x>0,y>0且2x+5y=20. (1)求xy的最大值; (2)求+的最小值. 解 (1)∵2x+5y=20,x>0,y>0
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