专题01 三角函数-直击2020新高考数学多选题Word文件下载.doc
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y=cosx
y=tanx
图象
定义域
R
值域
[-1,1]
对称性
对称轴:
x=kπ+(k∈Z);
对称中心:
(kπ,0)(k∈Z)
x=kπ(k∈Z);
(k∈Z)
对称中心(k∈Z),无对称轴
奇偶性
奇函数
偶函数
周期性
最小正周期:
2π
π
单调性
在(k∈Z)上单调递增;
在(k∈Z)上单调递减
在[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上单调递增;
在[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上单调递减
在开区间(k∈Z)内递增
最值
在x=+2kπ(k∈Z)时,ymax=1;
在x=-+2kπ(k∈Z)时,ymin=-1
在x=2kπ(k∈Z)时,ymax=1;
在x=π+2kπ(k∈Z)时,ymin=-1
无最值
5.A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)的图象变化的影响
(1)φ对函数y=sin(x+φ),x∈R的图象的影响:
(2)ω(ω>0)对y=sin(ωx+φ)的图象的影响:
(3)A(A>0)对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响:
二、跟踪训练
1.下列四个选项正确的有
A.-75°
角是第四象限角B.225°
角是第三象限角C.475°
角是第二象限角D.-315°
是第一象限角
【答案】A,B,C,D
【解析】对于A:
如图1所示,-75°
角是第四象限角;
对于B:
如图2所示,225°
角是第三象限角;
对于C:
如图3所示,475°
角是第二象限角;
对于D:
如图4所示,-315°
角是第一象限角.故选A,B,C,D
2.已知扇形的周长是6cm,面积是2cm2,下列选项正确的有()
A.圆的半径为2 B.圆的半径为1
C.圆心角的弧度数是1 D.圆心角的弧度数是2
【答案】A,C
【解析】设扇形半径为r,圆心角弧度数为α,
则由题意得∴或故选A,C
3.下列四个选项,正确的有()
A.点P(tanα,cosα)在第三象限,则α是第二象限角.
B若三角形的两内角A,B,满足sinAcosB<0,则此三角形必为钝角三角形
C.sin145°
cos(-210°
)>0.
D.sin3·
cos4·
tan5>0.
【答案】A,B,D
【解析】由对于A:
由题意知,tanα<0且cosα<0,∴α是第二象限角,正确
A,B∈(0,π),∴sinA>0,cosB<0,正确;
∵145°
是第二象限角,∴sin145°
>0,∵-210°
=-360°
+150°
,∴-210°
是第二象限角,∴cos(-210°
)<0,∴sin145°
)<0,C错误;
∵<3<π,π<4<π,<5<2π,∴sin3>0,cos4<0,tan5<0,sin3·
tan5>0.D正确,故选A,B,D
4.下列选项中,正确的有()
A.和的正弦线长度相等B.②和的正切线相同C.和的余弦线长度相等.
D.点P(tan2016°
,cos2016°
)位于第四象限.
【答案】A,B,C,D.
【解析】对于A,和的正弦线关于y轴对称,长度相等,正确;
对于B,和两角的正切线相同,正确;
对于C,和的余弦线长度相等,正确;
对于D,2016°
=5×
360°
+212°
,∴2016°
是第三象限角,则tan2016°
>0,cos2016°
<0.故选A,B,C,D.
5.若sinα=,且α为锐角,则下列选项中正确的有()
A.tanα= B.cosα= C.Sinα+cosα= D.Sinα-cosα=
【答案】A,B,C
【解析】∵sinα=,且α为锐角,∴cosα===,
∴tanα===.Sinα+cosα=,Sinα-cosα=,故D错误
6.在△ABC中,给出下列四个式子,其中为常数的是()
A.sin(A+B)+sinCB.cos(A+B)+cosCC.sin(2A+2B)+sin2CD.cos(2A+2B)+cos2C.
【答案】B,C
sin(A+B)+sinC=2sinC;
cos(A+B)+cosC=-cosC+cosC=0;
sin(2A+2B)+sin2C=sin[2(A+B)]+sin2C=sin[2(π-C)]+sin2C
=sin(2π-2C)+sin2C=-sin2C+sin2C=0;
cos(2A+2B)+cos2C=cos[2(A+B)]+cos2C=cos[2(π-C)]+cos2C
=cos(2π-2C)+cos2C=cos2C+cos2C=2cos2C.故选B,C.
7.下列函数中,最小正周期为π的选项有( )
A. B.
C.y=tan2x D.
【解析】由于函数sin(2x+)周期是π,A正确;
由于函数y=cos(2x+)=﹣sin2x,最小正周期为π,故B正确;
由于函数y=tan2x最小正周期为,错误,
由于,函数的周期是π,故D正确,故选A,B,D
故选B.
8.关于x的函数f(x)=sin(x+φ)有以下四个选项,错误的有():
A.对任意的φ,f(x)都是非奇非偶函数;
B.存在φ,使f(x)是偶函数;
C.存在φ,使f(x)是奇函数;
D.对任意的φ,f(x)都不是偶函数.
【答案】A,D
【解析】φ=0时,f(x)=sinx,是奇函数,A错误,φ=时,f(x)=cosx是偶函数,显然D错误
9.已知函数f(x)=sin(x﹣)(x∈R),下列结论正确的是( )
A.函数f(x)是奇函数 B.函数f(x)的最小正周期为2π
C.函数f(x)=在区间[0,]上是增函数 D.函数f(x)的图象关于直线x=0对称
【答案】B,C,D
【解析】函数f(x)=sin(x﹣)=﹣sin(﹣x)=﹣cosx(x∈R),∴f(x)=﹣cosx是偶函数,A错误;
f(x)=﹣cosx的最小正周期为2π,B正确;
y=cosx在[0,]上是减函数,
∴f(x)=﹣cosx在区间[0,]上是增函数,C正确;
由y=cosx的图象知,f(x)=﹣cosx的图象关于直线x=0对称,D正确.故选B,C,D.
10.下列关于函数y=tan的说法正确的是( )
A.在区间上单调递增B.最小正周期是π
C.图象关于成中心对称D.图象关于直线x=成轴对称
【答案】A,B
【解析】令kπ-<
x+<
kπ+,解得kπ-<
x<
kπ+,k∈Z,显然满足上述关系式,故A正确;
易知该函数的最小正周期为π,故B正确;
令x+=,解得x=-,k∈Z,任取k值不能得到x=,故C错误;
正切函数曲线没有对称轴,因此函数y=tan的图象也没有对称轴,故D错误.故选B.
11.将函数f(x)=cos(2x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,
则下列判断正确的是( )
A.曲线y=g(x)关于直线x=对称
B.曲线y=g(x)关于点(,0)对称
C.函数g(x)在(0,)上单调递增
D.函数g(x)在()上单调递减
【答案】A
【解析】将函数f(x)=cos(2x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)=cos(x﹣)的图象,令x=,求得g(x)=1,故曲线y=g(x)关于直线x=对称,故A正确;
令x=﹣,求得g(x)=0,故曲线y=g(x)关于点(,0)对称,故B正确;
在(0,)上,x﹣∈(﹣,0),函数g(x)单调递增,故C正确;
在()上,x﹣∈(,),函数g(x)没有单调性,故D错误,故选A,B,C.
12.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的最大值为,其图象相邻两条对称轴之间的距离为,
且f(x)的图象关于点(﹣,0)对称,则下列判断正确的是( )
A.要得到函数f(x)的图象只将y=cos2x的图象向右平移个单位
B.函数f(x)的图象关于直线x=对称
C.当x∈[﹣]时,函数f(x)的最小值为﹣
D.函数f(x)在[]上单调递增
【解析】函数f(x)=Asin(ωx+φ)中,A=,=,∴T=π,ω==2,
又f(x)的图象关于点(﹣,0)对称,∴ωx+φ=2×
(﹣)+φ=kπ,
解得φ=kπ+,k∈Z,∴φ=;
∴f(x)=sin(2x+);
对于A,y=cos2x向右平移个单位,得y=cos2(x﹣)=cos(2x﹣)的图象,
且y=cos(2x﹣)=cos(﹣2x)=sin(2x+),∴A正确;
对于B,x=时,f()=sin(2×
+)=0,f(x)的图象不关于x=对称,B错误;
对于C,x∈[﹣,]时,2x+∈[﹣,],sin(2x+)∈[﹣,1],f(x)的最小值为﹣,C正确;
对于D,x∈[,]时,2x+∈[,],f(x)是单调递减函数,D错误.故选A,C.
13.水车在古代是进行灌溉引水的工具,是人类的一项古老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个
半径为R的水车,一个水斗从点A(3,﹣3)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时60秒.经过t
秒后,水斗旋转到P点,设P的坐标为(x,y),其纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt+φ)(t≥0,ω>0,|φ|<).则
下列叙述正确的是( )
A. B.当t∈[35,55]时,点P到x轴的距离的最大值为6
C.当t∈[10,25]时,函数y=f(t)单调递减 D.当t=20时,
【解析】由题意,R==6,T=60=,∴ω=,
点A(3,﹣3)代入可得﹣3=6sinφ,∵|φ|<),∴φ=﹣.故A正确;
f(t)=6sin(t﹣),当t∈[35,55]时,t﹣∈[π,],∴点P到x轴的距离的最大值为6,正确;
当t∈[10,25]时,t﹣∈[π,],函数y=f(t)单调递减,不正确;
当t=20时,t﹣=,P的纵坐标为6,|PA|==6,正确,故选A,B,D.
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