专题11 数列通项公式与求和三年高考数学文真题分项版解析解析版Word文件下载.docx
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【名师点睛】本题考查了数列的概念,递推数列,属于中档题目,根据已知条件,逐步试算即可求出结果,注意计算的准确性即可.
4.【2014,安徽文12】如图,在等腰直角三角形中,斜边,过点作的垂线,垂足为;
过点作的垂线,垂足为;
…,以此类推,设,,,…,,则________.
由题意,,,所以是以首项,公比的等比数列,则.
1.等比数列通项公式.
【名师点睛】此题是以平面几何为依托,考查数列通项公式和性质的知识交汇性问题,是高考今后的方向,主体知识是等差数列及其性质,都是基本点,因而提醒考生在今后复习中基础知识一定要狠抓不放.要求等比数列通项,必须求出首项和公比.
5.【2015高考安徽,文13】已知数列中,,(),则数列的前9项和等于.
【答案】27
【考点定位】本题主要考查等差数列的定义、通项公式和前n项和公式的应用.
【名师点睛】能够从递推公式判断数列的类型或采用和种方法是解决本题的关键,这需要考生平时多加积累,同时本题还考查了等差数列的基本公式的应用,考查了考生的基本运算能力.
6.【2015高考福建,文16】若是函数的两个不同的零点,且这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则的值等于________.
【答案】9
【解析】由韦达定理得,,则,当适当排序后成等比数列时,必为等比中项,故,.当适当排序后成等差数列时,必不是等差中项,当是等差中项时,,解得,;
当是等差中项时,,解得,,综上所述,,所以.
【考点定位】等差中项和等比中项.
【名师点睛】本题以零点为载体考查等比中项和等差中项,其中分类讨论和逻辑推理是解题核心.三个数成等差数列或等比数列,项与项之间是有顺序的,但是等差中项或等比中项是唯一的,故可以利用中项进行讨论,属于难题.
7.【2017课标3,文17】设数列满足.
(1)求的通项公式;
(2)求数列的前项和.
【答案】
(1);
(2)
∴时,②
①-②得,,,
又时,适合上式,
∴.
(2)由
(1),
【考点】数列通项公式,裂项法求和
【名师点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式,然后通过累加抵消中间若干项的方法,裂项相消法适用于形如(其中是各项均不为零的等差数列,c为常数)的数列.裂项相消法求和,常见的有相邻两项的裂项求和(如本例),还有一类隔一项的裂项求和,如或.
8.【2017山东,文19】
(本小题满分12分)已知{an}是各项均为正数的等比数列,且.
()求数列{an}通项公式;
(){bn}为各项非零的等差数列,其前n项和Sn,已知,求数列的前n项和.
();
()
解得,
所以.
()由题意知
所以,
令,
则
因此
又,
两式相减得
【考点】等差数列的通项,错位相减法求和.
【名师点睛】
(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想.
(2)用错位相减法求和时,应注意:
在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式;
若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
9.【2017天津,文18】已知为等差数列,前n项和为,是首项为2的等比数列,且公比大于0,
.
(Ⅰ)求和的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前n项和.
(Ⅰ)..(Ⅱ).
试题解析:
(Ⅰ)解:
设等差数列的公差为,等比数列的公比为.由已知,得,而,所以.又因为,解得.所以,.
由,可得.由,可得,联立①②,解得,由此可得.
所以,的通项公式为,的通项公式为.
(Ⅱ)解:
设数列的前项和为,由,有
,
上述两式相减,得
得.
所以,数列的前项和为.
【考点】1.等差,等比数列;
2.错位相减法求和.
【名师点睛】重点说说数列求和的一些方法:
本题考查了数列求和,一般数列求和方法
(1)分组转化法,一般适用于等差数列加等比数列,
(2)裂项相消法求和,,,等的形式,(3)错位相减法求和,一般适用于等差数列乘以等比数列,(4)倒序相加法求和,一般距首末两项的和是一个常数,这样可以正着写和和倒着写和,两式两式相加除以2得到数列求和,(5)或是具有某些规律求和.
10.【2017北京,文15】已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.
(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)求和:
.
(Ⅰ);
(Ⅱ).
(Ⅱ)设的公比为,.=,所以
所以是以为首项,为公比的等比数列,
【考点】1.等比,等差数列;
2.等比数列的前项和.
11.【2017江苏,19】对于给定的正整数,若数列满足
对任意正整数总成立,则称数列是“数列”.
(1)证明:
等差数列是“数列”;
(2)若数列既是“数列”,又是“数列”,证明:
是等差数列.
(1)见解析
(2)见解析
(2)数列既是“数列”,又是“数列”,因此,
当时,,①
当时,.②
由①知,,③
,④
将③④代入②,得,其中,
所以是等差数列,设其公差为.
在①中,取,则,所以,
所以数列是等差数列.
【考点】等差数列定义及通项公式
【名师点睛】证明为等差数列的方法:
(1)用定义证明:
为常数);
(2)用等差中项证明:
;
(3)通项法:
为的一次函数;
(4)前项和法:
12【2016高考新课标1文数】
(本题满分12分)已知是公差为3的等差数列,数列满足,.
()求的通项公式;
()求的前n项和.
()()
(I)由已知,得得,所以数列是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为.
(II)由(I)和,得,因此是首项为1,公比为的等比数列.记的前项和为,则
等差数列与等比数列
【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程(组),因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.
13.【2014高考广东卷.文.19】
(本小题满分14分)设各项均为正数的数列的前项和为,且满足,.
(1)求的值;
(2)求数列的通项公式;
(3)证明:
对一切正整数,有.
(1);
(2);
(3)详见解析.
,从而,,
所以当时,,
又,;
(3)当时,,
证法二:
当时,成立,
当时,,
【考点定位】本题以二次方程的形式以及与的关系考查数列通项的求解,以及利用放缩法证明数列不等式的综合问题,考查学生的计算能力与逻辑推理能力,属于中等偏难题.
【名师点晴】本题主要考查的是数列的通项公式和利用放缩法证明数列不等式,属于难题.本题通过将的递推关系式进行因式分解,得到与的关系式,利用可得数列通项公式,再根据式子的特点进行裂项相消法,即可证明.解题时一定要注意公式的条件“”,否则很容易出现错误.
14.[2016高考新课标Ⅲ文数]已知各项都为正数的数列满足,.
(I)求;
()求的通项公式.
(Ⅱ).
(Ⅱ)由得.
因为的各项都为正数,所以,
故是首项为,公比为的等比数列,因此.......12分
1、数列的递推公式;
2、等比数列的通项公式.
【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法:
(1)定义法,即证明(常数);
(2)中项法,即证明.根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形,转化为等比数列或等差数列来求解.
15.【2015高考湖南,文19】
(本小题满分13分)设数列的前项和为,已知,且,
(I)证明:
(II)求。
(I)略;
(II)
(I)由条件,对任意,有,
因而对任意,有,
两式相减,得,即,
又,所以,
故对一切,。
(II)由(I)知,,所以,于是数列是首项,公比为3的等比数列,数列是首项,公比为3的等比数列,所以,
于是
从而,
综上所述,。
【考点定位】数列递推关系、数列求和
【名师点睛】已知数列{an}的前n项和Sn,求数列的通项公式,其求解过程分为三步:
(1)先利用a1=S1求出a1;
(2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式;
(3)对n=1时的结果进行检验,看是否符合n≥2时an的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;
如果不符合,则应该分n=1与n≥2两段来写.数列求和的常用方法有倒序相加法,错位相减法,裂项相消法,分组求和法,并项求和法等,可根据通项特点进行选用.
16.【2015高考湖南,文21】(本小题满分13分)函数,记为的从小到大的第个极值点。
数列是等比数列;
(II)若对一切恒成立,求的取值范围。
得到,所以,求得,得到的取值范围;
(I)
令,由,得,即,
而对于,当时,
若,即,则;
因此,在区间与上,的符号总相反,于是当时,取得极值,所以,此时,
,易知,而
是常数,
故数列是首项为,公比为的等比数列。
(II)对一切恒成立,即恒成立,亦即
恒成立,
设,则,令得,
当时,,所以在区间上单调递减;
当时,,所以在区间上单调递增;
因为,且当时,所以
因此,恒成立,当且仅当,解得,
故实数的取值范围是。
【考点定位】恒成立问题;
等比数列的性质
【名师点睛】解决数列与函数的综合问题时,如果是证明题要根据等比数列的定义明确证明的方向,如果是不等式恒成立问题,要使用不等式恒成立的各种不同解法,如变量分离法、最值法、因式分解法等,总之解决这类问题把数列
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