专题9 平面向量高考数学备考关键问题对策及新题好题训练含答案Word文档格式.docx
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【指点迷津】概念不清主要表现在向量的概念,平行向量、单位向量的概念;
向量夹角的概念等。
例1向量,则与平行的单位向量的坐标为
【名师点睛】本题主要考查两个重要知识点,即平行向量和单位向量的概念,因混淆了“与同向的单位向量”和“与平行的单位向量”这两个不同的概念,出现错解:
因为故所求向量为,在复习时,只有深刻理解平行向量和单位向量的概念,才能达到正确解题的目的。
例2在边长为1的正三角形中,
【解析】
【名师点睛】本题主要考查向量夹角的定义及数量积的计算公式,学生易错解如下:
.这是由于对两向量夹角的概念理解不到位造成的,所以教学时必须强调两向量夹角的前提是其起点要重合。
问题
(二)运算理解不到位,不能合理选择算法
【名师点睛】学生存在的主要问题是:
(1)对向量运算理解不到位,比如会错把数的乘法的消去律运用在向量的数量积运算上;
(2)算法选择不合理,学生往往选择常规解法,导致过繁运算,计算量过大,甚至无法解答下去。
只有熟练掌握向量的运算技巧,根据题设条件合理选择算法,才能达到正确运算的目的。
例3已知与之间有关系其中。
(1)用表示;
(2)求的最小值,并求此时的夹角的大小.
(2),即∴的最小值为,
又,
∴.∴,此时与的夹角为60°
【名师点睛】本题主要考查向量的数量积公式、向量的模以及将向量问题转化为实数计算的意识,学生可能会把直接坐标化,导致过繁运算,实际还是归结为运算不注意算理的选择.在解决问题时,只有熟练掌握向量的运算技巧,根据题设条件选择合理的算法,才能达到正确运算的目的。
例4是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足
,则的轨迹一定通过的心.
【名师点睛】本题主要考查向量运算的几何意义及向量共线定理.本题学生产生的错因是对
理解不够。
不清楚的几何意义是与的角平分线有关.的几何意义是与共线同向的单位向量,因此掌握向量运算的几何意义及向量共线定理是关键.
问题(三).不能等价转换向量问题
【指点迷津】学生主要问题体现在:
题设条件问题转换不等价,在平时复习中,关注学生对相关概念、定理、公式等的本质的挖掘与掌握至关重要。
例5设若与的夹角为钝角,则的取值范围为
【解析】,因为为钝角,所以且与不共线,即且,所以且.
【名师点睛】本题主要考查向量的夹角公式,学生易错解如下:
,因为为钝角,所以.这是由于问题转换不等价造成的,其实向量与的夹角为钝角的充要条件是且与不共线.这里,与不共线不能忽略.
例6向量、都是非零向量,且向量与垂直,与垂直,求与的夹角.
【名师点睛】本题主要考查向量的垂直,向量的数量积及夹角公式,本题易出现下列错解:
由题意,得,① ,② 将①、②展开并相减,得,③ ∵,故,④ 将④代入②,得, 则,
设与夹角为,则.又∵,∴.
此解法表面上是正确的,但却存在着一个理解上的错误,即由③得到④,错把数的乘法的消去律运用在向量的数量积运算上.深刻理解数量积的运算律,掌握其本质非常关键。
问题(四).不能合理选择基底
【指点迷津】学生主要问题体现在:
不能合理选择基底解决问题,原因是学生对于平面向量基本定理并没有真正理解,所以在复习中,深刻理解平面向量基本定理,让学生真正掌握定理的本质及解决问题的技巧是关键。
例7在中,,若点D满足,则=()
A.B.C.D.
【解析】法1:
=.故选A.
法2:
特殊化思想:
把此三角形特殊为等腰直角三角形,并把点置于原点,
且设,则,所以,故选A.
法3:
因为,由定比分点线性表示知,故选A.
【名师点睛】本题主要考查平面向量的概念及线性表示,用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:
(1)①观察各向量的位置;
②利用回路法,寻找相应的三角形或多边形;
③运用法则找关系;
④化简结果.
也可以利用定比分点,若则.
问题(五).不能合理运用向量解决问题
【指点迷津】考查向量语言,体现向量的的工具性,解决平行与垂直的问题,与三角函数和解析几何的交汇是高考常见题型,学生的主要问题就是缺乏用向量解决问题的意识,导致运算量过大,甚至无法解答下去,因此,在复习中教师应重视向量在这方面的运用指导,引导学生拓展思路,必定会有意想不到的神奇效果。
例8在中,内角的对边分别为,已知.
(1)求;
(2)若,且边的中线,求的值.
(2)∵为边的中点,∴,两边同时平方,得
即,,整理,得,解得或(舍去).∴
【名师点评】本题主要考查三角诱导公式,二倍角公式,余弦定理以及应用平面向量解决问题的意识。
对于第(Ⅱ)问,题中未出现平面向量,如果按照常规思路,只会想到正、余弦定理及方程思想,则运算量较大,导致解题速度慢或出错.但如果学生有主动运用平面向量的意识,可使代数问题向量化——充分体现向量的工具性、桥梁作用,会大大减少运算量,从而轻松解决问题,体现了不同层次学生的思维能力.
【解决问题对策】
1.加强概念学习,注重本质理解
【指点迷津】在平面向量的概念复习中,如何让学生迅速把握住本质,达成理解?
重温概念的来龙去脉,理清知识网络,通过比较,对向量的概念进行辨析,在此基础上,抓住向量的两个要素:
大小、方向进行拓展,将向量概念精准化.学生存在的问题之一是:
概念不清,符号表示混乱,针对此问题,一方面教师在板书、表达等方面一定要准确和多方强调,另一方面,也可设置一些判断题,帮助学生辨析概念.
例9.①若与为非零向量,且时,则必与或中之一的方向相同;
②若为单位向量,且,则;
③;
④若与共线,与共线,则与必共线;
⑤若平面内有四个点,则必有.
上述命题正确的有______.(填序号)
【答案】⑤
【名师点睛】此题主要考查平面向量中的相等向量、共线向量、数量积、加减法则等有关方面的知识与技能,属于中低档题,也是平面向量的基础知识点.在此问题中,针对每个命题的条件与结论,逐一对照平面向量相关的知识,进行运算、判断,抓住零向量方向的特殊性,进行验证,从而问题可得解.
2.加强运算训练,关注算法选择
【指点迷津】单纯看向量的运算,实际上是比较抽象的.在复习中若能恰当运用模型,运用类比,不仅可以降低难度,而且对于学生认识抽象的运算有很大的好处:
比如说:
向量这个概念源于物理中的力、位移,那么力的合成、位移的合成实际上就是向量加法的模型,依此为基础很容易理解并记忆平行四边形法则和三角形法则。
而向量的减法则可类比于数的减法定义:
在实数运算中,减法是加法的逆运算;
于是向量的减法也可以看成是向量加法的逆运算;
在实数运算中,减去一个数,等于加上这个数的相反数。
据此,复习相反向量的概念。
要注意向量运算与实数运算的差异,抓住“结果是什么?
”“遵循什么样的运算律?
”等问题,在类比和辨析中掌握知识。
逐渐渗透在集合上定义二元运算的准则.自然形成对于“逆运算”、“逆元”等概念的了解.最终拓展学生对于运算的认识.
例10.如图,在直角梯形中,,,,,,P为线段(含端点)上一个动点,设,,对于函数,给出以下三个结论:
①当时,函数的值域为;
②对任意,都有成立;
③对任意,函数的最大值都等于4.④存在实数,使得函数最小值为0.其中所有正确结论的序号是_________.
【答案】②③④
,因此当时,取得最大值为;
④最小值为
,当时,.因此②③④正确.
3.重视几何特征,关注数形结合
【指点迷津】在“平面向量”的复习教学中,数形结合是重要的思想方法之一,理解向量线性运算的几何意义更是本专题的教学目标之一,但学生往往不能做到恰当转化.数形结合的关键是把握基本量的代数形式与几何特征之间的联系,一方面复习中要时刻注意二者的联系和相互表达,学会“看图说话”,另一方面也可选择恰当的例题,对某些几何特征量进行归纳,逐渐学会“由数到形”.每种运算都要注意从几何和代数两个方面进行解读,两者并重。
但要真正掌握、运用这种思想方法,还需对数和形的实质加以挖掘.比如“向量的加法”复习中,可从“位移的合成”引入三角形法则,这是向量加法的几何法则,将其代数化,就得到:
。
代数化和形式化并不只是一种简洁的表示,还可挖掘其内在的含义:
如这个式子其实可以脱离图形而存在,进一步得到.
例11已知正三角形的边长为,平面内的动点满足
,,则的最大值是( )
A.B.C.D.
轨迹是以H为圆心,r=为半径的圆,∴|BH|=,∴||的最大值为3+r=3+=,∴||2的最大值为.
4.重视方法训练,关注基底选择
【指点迷津】通过本专题的复习,研究用向量处理问题的两种方法:
“向量法”和“坐标法”.也即面对一个实际问题,要学会选择基底或者建立平面直角坐标系.本质上这两种方法是统一的,其依据都是“平面向量基本定理”,后者是前者的特例.学生往往对于后者较为熟悉,在给定的坐标系中会处理问题,但不善于自己选择基底.事实上,这种熟悉,对于很多学生来说:
只是一种简单的模仿和运算,而对于平面向量基本定理并没有真正理解。
但课标对于平面向量基本定理的要求,只限于“了解”。
因此,若学生程度较好,可在正交基底的基础上,引导学生选择其它的基底解决问题,强化平面向量基本定理的教学.
例12中,为直角,,,与相交于点,设,,
(Ⅰ)试用表示向量;
(Ⅱ)在线段上取一点,在上取一点,使得过点,设,,求证:
.
(Ⅰ)以为原点,如图建立平面直角坐标系,设,,
则,,设,则根据在直线上,也在直线上,根据斜率公式,可得:
,,
解之得:
,所以.
(Ⅱ)由题可得,,由三点共线,可证得.
由平面向量基本定理知:
解之得,∴.
(Ⅱ)若设,,则,
又因为三点共线,所以.
例13如图,,点在由射线,线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且,则的取值范围是______;
当时,的取值范围是______.
【解析】如图,作交于.则
,
由点的位置不难知道.
因此,,也即的取值范围是
当时,,所以此时,的取值范围是.
5.强化问题意识,注重向量运用
【指点迷津】学生的主要问题就是缺乏用向量解决问题的意识,学生处理问题的意识不是一朝一夕形成的,教师要在教学中积极引导学生自觉地思考、转化、构图和变式,让学生不断积累思维和活动经验,要加强教学过程中对学生思维、意识和能力的培养,注重过程强化,关注解题过程的思维达成度,培养学生的悟性。
例14设实数满足,,证明:
【解析】设,则由得
,即
平方并整理得:
,故,同理可证,
例15.如图,在三棱锥中,,,为中点,平面,.
(Ⅰ)证明:
;
(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.
(Ⅱ)法一:
过作交于,连接
易得,
结合图形知就是二面角的平面角分
在中
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