高考数学总复习讲+练+测 专题76 数学归纳法讲.docx
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高考数学总复习讲+练+测专题76数学归纳法讲
第06节数学归纳法
【考纲解读】
考点
考纲内容
五年统计
分析预测
数学归纳法
了解数学归纳原理,会用数学归纳法证明简单的数学命题.
2017浙江22
利用数学归纳法证明数列问题.
备考重点:
1.数学归纳法原理;
2.数学归纳法的简单应用.
【知识清单】
数学归纳法
1.证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)
时命题成立.
(2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.
2.数学归纳法的框图表示
对点练习
【2018届浙江省温州市高三9月一模】已知数列中,,().
(1)求证:
;
(2)求证:
是等差数列;
(3)设,记数列的前项和为,求证:
.
【答案】
(1)证明见解析;
(2)证明见解析;(3)证明见解析.
试题解析:
(1)证明:
当时,,满足,
假设当()时,,则当时,,
即时,满足;
所以,当时,都有.
(2)由,得,
所以,
即,
即,
所以,数列是等差数列.
(3)由
(2)知,,
∴,
因此,
当时,,
即时,,
所以时,,
显然,只需证明,即可.
当时,.
【考点深度剖析】
数学归纳法是一种重要的数学方法,其应用主要体现在证明等式、证明不等式、证明整除性问题、归纳猜想证明等.浙江对数学归纳法的考查主要是与数列相结合.
【重点难点突破】
考点1利用数学归纳法证明等式
【1-1】.用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”,验证n=1时,左边计算所得的式子为( )
A.1B.1+2C.1+2+22D.1+2+22+23
【答案】D
【解析】左边的指数从0开始,依次加1,直到n+2,所以当n=1时,应加到23,故选D.
【1-2】观察下列等式:
;
;
;
;
………
(1)照此规律,归纳猜想出第个等式;
(2)用数学归纳法证明
(1)中的猜想.
【答案】
(1)();
(2)见解析.
试题解析:
(1)第个等式为();
(2)用数学归纳法证明:
①当时,等式显然成立;
②假设当()时,等式成立,
即
则当时,
所以当时,等式成立.
由①②知,()
【领悟技法】
数学归纳法证明等式的思路和注意点
(1)思路:
用数学归纳法证明等式问题,要“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,初始值n0是多少.
(2)注意点:
由n=k时等式成立,推出n=k+1时等式成立,一要找出等式两边的变化(差异),明确变形目标;二要充分利用归纳假设,进行合理变形,正确写出证明过程,不利用归纳假设的证明,就不是数学归纳法.
【触类旁通】
【变式一】观察下列等式:
;;;;
,
…………
(1)猜想第个等式;
(2)用数学归纳法证明你的猜想.
【答案】
(1).
(2)答案见解析.
试题解析:
(1).
(2)证明:
(i)当时,等式显然成立.
(ii)假设时等式成立,即,
即.
那么当时,左边
,
右边.
所以当时,等式也成立.
综上所述,等式对任意都成立.
【变式二】已知数列中,,
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)猜想的表达式,并用数学归纳法证明.
【答案】(I);(II)见解析.
【解析】试题分析:
(1)由已知直接求出的值;
(2)猜想,注意数学归纳法的步骤。
试题解析:
(1);
(2)猜想:
证明:
①当n=1时,,猜想成立.
②假设n=k时成立,即,
则当n=k+1时,由得
所以n=k+1时,等式成立.
所以由①②知猜想成立.
考点2利用数学归纳法证明不等式
【2-1】【.用数学归纳法证明(,)成立时,第二步归纳假设的正确写法为()
A.假设时,命题成立B.假设()时,命题成立
C.假设()时,命题成立D.假设()时,命题成立
【答案】C
【2-2】【2017浙江卷22】已知数列满足:
证明:
当时
(I);
(II);
(III)
【答案】(I)见解析;(II)见解析;(Ⅲ)见解析.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)用数学归纳法可证明;(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,构造函数,利用函数的单调性可证;(Ⅲ)由及,递推可得
那么n=k+1时,若,则,矛盾,故.
因此.
所以,
因此.
(Ⅱ)由得,
.
记函数,
,
函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以=0,因此
,
故.
(Ⅲ)因为,
所以,
由,得,
所以,
故.
综上,.
【领悟技法】
数学归纳法证明不等式的适用范围及关键
(1)适用范围:
当遇到与正整数n有关的不等式证明时,若用其他办法不容易证,则可考虑应用数学归纳法.
(2)关键:
由n=k时命题成立证n=k+1时命题也成立,在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明,充分应用均值不等式、不等式的性质等放缩技巧,使问题得以简化
【触类旁通】
【变式一】设正项数列的前项和,且满足.
(Ⅰ)计算的值,猜想的通项公式,并证明你的结论;
(Ⅱ)设是数列的前项和,证明:
.
【答案】
(1)
(2)见解析
试题解析:
(Ⅰ)解:
当n=1时,,得;,得;
,得.
猜想
证明:
(ⅰ)当n=1时,显然成立.
(ⅱ)假设当n=k时,
则当n=k+1时,
结合,解得
于是对于一切的自然数,都有
(Ⅱ)证法一:
因为,
证法二:
数学归纳法
证明:
(ⅰ)当n=1时,,,
(ⅱ)假设当n=k时,
则当n=k+1时,
要证:
只需证:
由于
所以
于是对于一切的自然数,都有.
【变式二】求证:
++…+>(n≥2,n∈N*).
【答案】见解析
++…++++
=++…++(++-)
>+(++-)
>+(3×-)=.
∴当n=k+1时不等式亦成立.
∴原不等式对一切n≥2,n∈N*均成立.
考点3归纳、猜想、证明
【3-1】给出下列不等式:
,
,
,
,
,……
(1)根据给出不等式的规律,归纳猜想出不等式的一般结论;
(2)用数学归纳法证明你的猜想.
【答案】
(1);
(2)详见解析.
试题解析:
(1)观察不等式左边最后一个数分母的特点:
,
……猜想不等式左边最后一个数分母,对应各式右端为,
所以,不等式的一般结论为:
.
(2)证明:
①当时显然成立;
②假设时结论成立,即:
成立
当时,
即当时结论也成立.由①②可知对任意,结论都成立.
【3-2】【2017届浙江省嘉兴一中、杭州高级中学、宁波效实中学等五校联考】已知数列中,满足记为前n项和.
(I)证明:
;
(Ⅱ)证明:
(Ⅲ)证明:
.
【答案】
(1)见解析;
(2)见解析;(3)见解析.
,化简可得。
再由数列的前n项和及等比数列前n项和公式可得结论。
试题解析:
证明:
(I)因
故只需要证明即可……………………………………………………3分
下用数学归纳法证明:
当时,成立
假设时,成立,
那么当时,,
所以综上所述,对任意,…………………………………………6分
(Ⅱ)用数学归纳法证明
当时,成立
假设时,
那么当时,
所以综上所述,对任意,…………………………10分
(Ⅲ)得…12分
故……15分
【领悟技法】
(1)“归纳——猜想——证明”的一般步骤
①计算(根据条件,计算若干项).
②归纳猜想(通过观察、分析、综合、联想,猜想出一般结论).
③证明(用数学归纳法证明).
(2)与“归纳——猜想——证明”相关的常用题型的处理策略
①与函数有关的证明:
由已知条件验证前几个特殊值正确得出猜想,充分利用已知条件并用数学归纳法证明.
②与数列有关的证明:
利用已知条件,当直接证明遇阻时,可考虑应用数学归纳法.
【触类旁通】
【变式一】设等差数列的公差,且,记
(1)用分别表示,并猜想;
(2)用数学归纳法证明你的猜想.
【答案】
(1).;
(2)见解析.
试题解析:
(1)T1==;
T2=+=×=×=;
T3=++=×=×=
由此可猜想Tn=.
(2)证明:
①当n=1时,T1=,结论成立.
②假设当n=k时(k∈N*)时结论成立,
即Tk=.
则当n=k+1时,Tk+1=Tk+=+==.
即n=k+1时,结论成立.
由①②可知,Tn=对于一切n∈N*恒成立.
【变式二】【2017届浙江省“超级全能生”3月联考来】已知每一项都是正数的数列满足,.
(1)用数学归纳法证明:
;
(2)证明:
;
(3)记为数列的前项和,证明:
.
【答案】
(1)见解析;
(2)见解析;(3)见解析.
,
(2)奇数项隔项递减,且最大值为,所以研究偶数项单调性:
隔项递增,且最小值为,(同
(1)的方法给予证明),最后需证明,根据归纳可借助第三量,作差给予证明;(3)先探求数列递推关系:
,再利用等比数列求和公式得.
试题解析:
(1)由题知,,
①当时,,,
,成立;
②假设时,结论成立,即,
因为
所以
即时也成立,
由①②可知对于,都有成立.
(2)由
(1)知,,
所以,
同理由数学归纳法可证,
.
猜测:
,下证这个结论.
因为,
所以与异号.注意到,知,,
即.
所以有,
从而可知.
(3)
所以
所以
【易错试题常警惕】
易错典例:
【2017届山西省孝义市5月模拟】数列满足,且.
(1)写出的前3项,并猜想其通项公式;
(2)用数学归纳法证明你的猜想.
易错分析:
对于归纳猜想证明类问题,有三个易错点.一是归纳结论不正确;二是应用数学归纳法,确认n的初始值n0不准确;三是在第二步证明中,忽视应用归纳假设.
题成立.
(2)①当时,成立;
②假设时,猜想成立,即有,
由,,及,
得,即当时猜想成立,
由①②可知,对一切正整数均成立.
温馨提示:
1.数学归纳法证题时初始值n0不一定是1.
2.推证n=k+1时一定要用上n=k时的假设,否则不是数学归纳法.
3.解“归纳——猜想——证明”题的关键是准确计算出前若干具体项,这是归纳、猜想的基础,否则将会做大量无用功.
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