三角函数的图象与性质专题Word下载.docx
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,∴φ=,
∴f(x)=sin.
∵x1+x2=,
∴+=2π,∴f(x1)+f(x2)=0.
2.若将函数y=tan(ω>
0)的图象向右平移个单位长度后,与函数y=tan的图象重合,则ω的最小正值为( )
A.B. C.D.
答案 D
解析 将y=tan的图象向右平移个单位长度,得到y=tan的图象,
由平移后的图象与y=tan的图象重合,
得-=kπ+,k∈Z,
故ω=-6k+,k∈Z,
所以ω的最小正值为.
3.(优质试题·
天津)将函数y=sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数( )
A.在区间上单调递增
B.在区间上单调递减
C.在区间上单调递增
D.在区间上单调递减
答案 A
解析 函数y=sin的图象向右平移个单位长度后的解析式为y=sin=sin2x,则函数y=sin2x的一个单调增区间为,一个单调减区间为.由此可判断选项A正确.
故选A.
4.设函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m在[0,2π]内恰有4个不同的零点,则实数m的取值范围是( )
A.(0,1)B.[1,2]
C.(0,1]D.(1,2)
解析 画出函数f(x)在[0,2π]上的图象,如图所示:
若函数g(x)=f(x)-m在[0,2π]内恰有4个不同的零点,即y=f(x)和y=m在[0,2π]内恰有4个不同的交点,结合图象,知0<
m<
1.
考点二 三角函数的性质
方法技巧
(1)整体思想研究性质:
对于函数y=Asin(ωx+φ),可令t=ωx+φ,考虑y=Asint的性质.
(2)数形结合思想研究性质.
5.(优质试题·
全国Ⅰ)已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则( )
A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3
B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4
C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3
D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4
答案 B
解析 ∵f(x)=2cos2x-sin2x+2=1+cos2x-+2=cos2x+,
∴f(x)的最小正周期为π,最大值为4.
故选B.
6.(2017·
全国Ⅲ)设函数f(x)=cos,则下列结论错误的是( )
A.f(x)的一个周期为-2π
B.y=f(x)的图象关于直线x=对称
C.f(x+π)的一个零点为x=
D.f(x)在上单调递减
解析 A项,因为f(x)=cos的周期为2kπ(k∈Z且k≠0),所以f(x)的一个周期为-2π,A项正确;
B项,因为f(x)=cos图象的对称轴为直线x=kπ-(k∈Z),所以y=f(x)的图象关于直线x=对称,B项正确;
C项,f(x+π)=cos.令x+=kπ+(k∈Z),得x=kπ-,k∈Z.当k=1时,x=,所以f(x+π)的一个零点为x=,C项正确;
D项,因为f(x)=cos的递减区间为(k∈Z),递增区间为(k∈Z),
所以f(x)在上单调递减,在上单调递增,D项错误.
7.使函数f(x)=sin+cos(2x+θ)是奇函数,且在上是减函数的θ的一个值是( )
解析 f(x)=2sin,
当θ=时,f(x)=2sin(2x+π)=-2sin2x,f(x)为奇函数.
又此时f(x)的减区间为,k∈Z,
∴f(x)在上是减函数.故选B.
8.关于函数f(x)=2(sinx-cosx)cosx的四个结论:
p1:
f(x)的最大值为;
p2:
把函数g(x)=sin2x-1的图象向右平移个单位长度后可得到函数f(x)的图象;
p3:
f(x)的单调递增区间为,k∈Z;
p4:
f(x)图象的对称中心为,k∈Z.
其中正确的结论有( )
A.1个B.2个 C.3个D.4个
解析 f(x)=2sinx·
cosx-2cos2x=sin-1,
∴f(x)max=-1,∴p1错;
应将g(x)=sin2x-1的图象向右平移个单位长度后得到f(x)的图象,
∴p2错;
p3,p4正确,故正确的结论有2个.
考点三 三角函数图象与性质的综合
要点重组 函数f(x)=Asin(ωx+φ)图象的相邻两条对称轴之间的距离是半个周期,一个最高点和与其相邻的一个最低点的横坐标之差的绝对值也是半个周期,两个相邻的最高点之间的距离是一个周期,一个对称中心和与其最近的一条对称轴之间的距离是四分之一个周期.
9.(优质试题·
湖南重点名校高三入学大联考)已知函数f(x)=sinωx-cosωx(ω<
0),若y=f
的图象与y=f
的图象重合,记ω的最大值为ω0,则函数g(x)=cos的单调递增区间为( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析 f(x)=2sin,由已知得为函数f(x)的一个周期,即=·
k,k∈Z,又ω<
0,
∴ω=-4k,k∈N*,∴ω0=-4,
∴g(x)=cos=cos,
令2kπ-π≤4x+≤2kπ,k∈Z,
解得-≤x≤-,k∈Z.
∴g(x)的单调递增区间为,k∈Z.
10.(2017·
天津)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>
0,|φ|<
π.若f
=2,f
=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则( )
A.ω=,φ=B.ω=,φ=-
C.ω=,φ=-D.ω=,φ=
解析 ∵f
=0,且f(x)的最小正周期大于2π,
∴f(x)的最小正周期为4=3π,
∴ω==,
∴f(x)=2sin.
又f
=2,
即2sin=2,即+φ=+2kπ,k∈Z,
得φ=2kπ+,k∈Z.
又|φ|<π,∴取k=0,得φ=.
11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象与直线y=a(0<a<A)的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8,则f(x)的单调递减区间是( )
A.[6kπ,6kπ+3],k∈Z
B.[6kπ-3,6kπ],k∈Z
C.[6k,6k+3],k∈Z
D.[6k-3,6k],k∈Z
解析 因为函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象与直线y=a(0<a<A)的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8,所以T==8-2=6,且当x==3时函数取得最大值,所以ω=,×
3+φ=+2nπ,n∈Z,所以φ=-+2nπ,n∈Z,所以f(x)=Asin.由2kπ+≤x-≤2kπ+,k∈Z,可得6k+3≤x≤6k+6,k∈Z.
12.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π,f(x)的图象向左平移个单位长度后关于直线x=0对称,则f
+f
的单调递增区间为( )
A.(k∈Z)B.(k∈Z)
C.(k∈Z)D.(k∈Z)
解析 易知ω=2,∴f(x)=sin(2x+φ),
的图象关于直线x=0对称,
∴π+φ=+kπ,k∈Z,又|φ|<
,∴φ=-,
即f(x)=sin.
∴f
=sin2x+sin=sin2x-cos2x=sin,
令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
的单调递增区间为,k∈Z.
1.为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象,可以将函数y=cos3x的图象( )
A.向右平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
解析 因为y=sin3x+cos3x=sin=sin,
又y=cos3x=sin=sin,
所以应由y=cos3x的图象向右平移个单位长度得到.
2.将函数f(x)=3sin的图象向左平移个单位长度,再向下平移4个单位长度,得到函数g(x)的图象,则函数f(x)的图象与函数g(x)的图象( )
A.关于点(-2,0)对称B.关于点(0,-2)对称
C.关于直线x=-2对称D.关于直线x=0对称
解析 将函数f(x)=3sin的图象向左平移个单位长度,再向下平移4个单位长度,得到函数g(x)的解析式为g(x)=3sin-4=3sin-4=3sin2-4,f(x)=3sin2,故两个函数的图象关于点(0,-2)对称,故选B.
3.已知关于x的方程(t+1)cosx-tsinx=t+2在(0,π)上有实根,则实数t的最大值是____.
答案 -1
解析 由(t+1)cosx-tsinx=t+2,
得cos(x+φ)=t+2,有解的条件为(t+1)2+t2≥(t+2)2,解得t≥3或t≤-1.因为x∈(0,π),
当t≥3时显然不成立,故t≤-1,
所以实数t的最大值是-1.
解题秘籍
(1)图象平移问题要搞清平移的方向和长度,由f(ωx)的图象得到f(ωx+φ)的图象平移了个单位长度(ω≠0).
(2)研究函数的性质时要结合图象,对参数范围的确定要注意区间端点能否取到.
1.将函数y=sin图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移个单位长度,纵坐标不变,所得函数图象的一条对称轴方程是( )
A.x=B.x=
C.x=-D.x=-
解析 将函数y=sin图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得函数y=sin,再向左平移个单位长度,纵坐标不变,得函数y=sin=sin,把四个选项中的值代入函数,只有D代入后有sin=sin=-1是函数的最小值,因此x=-是函数的一条对称轴方程.
2.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,如果x1,x2∈,且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)等于( )
A.B. C.D.1
解析 由题图可知,=-=,则T=π,ω=2,
又=,∴f(x)的图象过点,
即sin=1,又|φ|<
,所以φ=,
而x1+x2=-+=,
∴f(x1+x2)=f
=sin=sin=.
全国Ⅱ)若f(x)=cosx-sinx在[-a,a]上是减函数,则a的最大值是( )
A.B.C.D.π
解析 f(x)=cosx-sinx=-=-sin,
当x∈,即x-∈时,
y=sin单调递增,
f(x)=-sin单调递减.
∵函数f(x)在[-a,a]上是减函数,
∴[-a,a]⊆,
∴0<a≤,∴a的最大值为.
4.已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中|φ|<
π,若f(x)≤对x∈R恒成立,且f
<
f(π),则下列结论正确的是( )
A.f
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