将军饮马求最值问题中考数学之二次函数重点题型专题突破全国通用解析版文档格式.docx
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(1)∵点P(−,)在抛物线上,
∴,解得:
.
∴抛物线的函数表达式为:
;
(2),
∴抛物线的对称轴为.
由,得,,
∴,.
由,得,
∴C(0,2),
∵,两点关于对称轴对称,
∴连接,交对称轴于点,连接,
此时取得最小值,即为的长.
设直线的函数表达式为,
∴,解得.
∴,
当时,,
∴点的坐标为;
(3)∵M(m,0),N(0,n),P(−,),∠PMN=90°
,且满足:
,,
∴,,,
∵,
整理得关于的一元二次方程:
,
∵符合条件的点的个数有2个,
即,解得:
的取值范围为.
【点睛】
本题主要利用了抛物线与x轴的交点坐标的求解,待定系数法求函数解析式,二次函数的顶点坐标与对称轴的求法,勾股定理的逆定理以及一元二次方程根与系数的关系等,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件.
2.(2021·
广西西林·
九年级期中)如图,抛物线与x轴交于A(1,0)、B(﹣3,0)两点,于y轴交于点C(0,3),顶点为D.
(1)求该抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)请计算以A、B、D、C为顶点的四边形的面积;
(3)在x坐标轴上是否存在点Q,使得Q点到C、D两点的距离之和最短,若存在,请直接写出Q点坐标,若不存在,请说明理由.
(1)y=﹣x2﹣2x+3,D(﹣1,4);
(2)9;
(3)存在,Q(﹣,0).
(1)由待定系数法求出抛物线的表达式,进而求出顶点D的坐标.
(2)根据勾股定理证明是直角三角形,四边形ABCD的面积=×
BC×
CD+×
AB×
OC,计算求解.
(3)作点C关于x轴的对称点E(0,﹣3),连接DE,计算得出直线DE的解析式,DE交x轴于点Q,代入计算求出点Q的坐标.
(1)∵设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c,
将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得:
解得
∴抛物线的表达式为y=﹣x2﹣2x+3,
∵抛物线的对称轴为x=﹣1,当x=﹣1时,y=﹣x2﹣2x+3=4,
∴点D的坐标为(﹣1,4);
(2)∵由点B、C、D的坐标可知,BC2=18,CD2=2,BD2=20,
∴BC2+CD2=BD2,
∴△BCD为直角三角形,
∴四边形ABCD的面积==.
(3)存在,Q(﹣,0),如图
作点C关于x轴的对称点E(0,﹣3),连接DE交x轴于点Q,则点Q为所求点,
∵设直线ED的表达式为y=kx+b,将D、E两点坐标代入可得,
解得,
∴直线DE的表达式为y=﹣7x﹣3,
令y=﹣7x﹣3=0,解得x=﹣,
∴点Q的坐标为(﹣,0).
本题是二次函数综合题,主要考查运用待定系数法求二次函数解析式,勾股定理的逆用,求多边形面积及两点间线段最短,运用数形结合的方法是解题关键.
3.(2021·
山东东营·
中考真题)如图,抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于点C,直线过B、C两点,连接AC.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求证:
(3)点是抛物线上的一点,点D为抛物线上位于直线BC上方的一点,过点D作轴交直线BC于点E,点P为抛物线对称轴上一动点,当线段DE的长度最大时,求的最小值.
(2)见解析;
(3)
(1)先利用直线得到点B和点C的坐标,利用待定系数法求解;
(2)根据解析式求得点A的坐标,求出两个三角形的边长,根据两组对应边成比例夹角相等求证;
(3)设点D的坐标为,将线段DE的长用函数关系式表示为顶点式形式,利用函数的性质得到当时,线段DE的长度最大,得到点D的坐标,再利用轴对称及勾股定理求出答案即可.
(1)解:
∵直线分别与轴和轴交于点B和点C,
∴点B的坐标为(4,0),点C的坐标为(0,2),
把,分别代入,
得,
∴抛物线的解析式为.
(2)∵抛物线与x轴交于点A,
解得,,
∴点A的坐标为,
∴,,
在中,,,
又∵,
∴.
(3)设点D的坐标为
则点E的坐标为
∴
=
∴当时,线段DE的长度最大.
此时,点D的坐标为,
∴点C和点M关于对称轴对称,
连接CD交对称轴于点P,此时最小.
连接CM交直线DE于点F,则,点F的坐标为,
∵
∴的最小值.
此题考查的是二次函数的综合知识,利用待定系数法求函数解析式,函数图象与坐标轴的交点问题,函数的最值问题,轴对称的性质,勾股定理,证明两个三角形相似,熟练掌握各知识点是解题的关键.
4.(2021·
湖北恩施·
中考真题)如图,在平面直角坐标系中,四边形为正方形,点,在轴上,抛物线经过点,两点,且与直线交于另一点.
(2)为抛物线对称轴上一点,为平面直角坐标系中的一点,是否存在以点,,,为顶点的四边形是以为边的菱形.若存在,请求出点的坐标;
若不存在,请说明理由;
(3)为轴上一点,过点作抛物线对称轴的垂线,垂足为,连接,.探究是否存在最小值.若存在,请求出这个最小值及点的坐标;
若不存在,请说明理由.
(2)存在以点,,,为顶点的四边形是以为边的菱形,点的坐标为或或或;
(3)存在最小值,最小值为,此时点M的坐标为.
(1)由题意易得,进而可得,则有,然后把点B、D代入求解即可;
(2)设点,当以点,,,为顶点的四边形是以为边的菱形时,则根据菱形的性质可分①当时,②当时,然后根据两点距离公式可进行分类求解即可;
(3)由题意可得如图所示的图象,连接OM、DM,由题意易得DM=EM,四边形BOMP是平行四边形,进而可得OM=BP,则有,若使的值为最小,即为最小,则有当点D、M、O三点共线时,的值为最小,然后问题可求解.
(1)∵四边形为正方形,,
∴OB=1,
把点B、D坐标代入得:
解得:
∴抛物线的解析式为;
(2)由
(1)可得,抛物线解析式为,则有抛物线的对称轴为直线,
∵点D与点E关于抛物线的对称轴对称,
∴由两点距离公式可得,
设点,当以点,,,为顶点的四边形是以为边的菱形时,则根据菱形的性质可分:
①当时,如图所示:
∴由两点距离公式可得,即,
∴点F的坐标为或;
②当时,如图所示:
综上所述:
当以点,,,为顶点的四边形是以为边的菱形,点的坐标为或或或;
(3)由题意可得如图所示:
连接OM、DM,
由
(2)可知点D与点E关于抛物线的对称轴对称,,
∴,DM=EM,
∵过点作抛物线对称轴的垂线,垂足为,
∴四边形BOMP是平行四边形,
∴OM=BP,
若使的值为最小,即为最小,
∴当点D、M、O三点共线时,的值为最小,此时OD与抛物线对称轴的交点为M,如图所示:
∴的最小值为,即的最小值为,
设线段OD的解析式为,代入点D的坐标得:
∴线段OD的解析式为,
本题主要考查二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质,熟练掌握二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质是解题的关键.
5.(2020·
浙江·
临海市九年级期中)在平面直角坐标系中,已知(b、c为常数)的顶点为P,等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0,-1),点C的坐标为(4,3),直角顶点B在第四象限.
(1)如图,若抛物线经过A、B两点,求抛物线的解析式.
(2)平移
(1)中的抛物线,使顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离为时,试证明:
平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点.
(3)在
(2)的情况下,若沿AC方向任意滑动时,设抛物线与直线AC的另一交点为Q,在滑动过程中线段PQ的长度是否发生变化?
若不变,请直接写出PQ的长度,若改变请说明理由.
(4)在
(2)的情况下,若沿AC方向任意滑动时,设抛物线与直线AC的另一交点为Q,取BC的中点N,试探究NP+BQ是否存在最小值?
若存在,求出该最小值;
(2)证明见解析;
(3)PQ=;
(4)存在,NP+BQ的最小值为
(1)先求出点B的坐标,然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式;
(2)如图,设顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离时,到达P′,作P′M∥y轴,PM∥x轴,交于M点,根据直线AC的解析式求得△P′PM是等腰直角三角形,进而求得抛物线向上平移1个单位,向右平移1个单位,从而求得平移后的解析式,进而求得与x轴的交点,与直线AC的交点,即可证得结论;
(3)可设P的坐标为(m,m-1),则平移后抛物线的函数表达式为:
y=-(x-m)2+m-1.求出平移后抛物线与直线y=x-1的交点,然后利用两点的距离公式求解即可;
(4)如图所示,作点B关于直线AC的对称点B′,由分析可知,当B′、Q、F(AB中点)三点共线时,NP+BQ最小,最小值为线段B′F的长度.
(1)∵等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0,−1),C的坐标为(4,3)
∴点B的坐标为(4,−1).
∵抛物线过A(0,−1),B(4,−1)两点,
∴抛物线解析式为
(2)如图,设顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离时,到达P′,作P′M∥y轴,PM∥x轴,交于M点,
∵点A的坐标为(0,−1),点C的坐标为(4,3),
∴直线AC的解析式为y=x−1,
∴△P′PM是等腰直角三角形,
∵PP′=,
∴P′M=PM=1,
∴抛物线向上平移1个单位,向右平移1个单位,
∴平移后的抛物线的解析式为y,
令y=0,则0,
解得x1=1,x2=5,
∴平移后的抛物线与x轴的交点为(1,0),(5,0),
显然(1,0)在直线y=x−1上,
∴平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点(1,0).
(3)不变,PQ=.理由如下:
设P的坐标为(m,m-1),
则平移后抛物线的函数表达式为:
y=-(x-m)2+m-1.
解方程组:
∴P(m,m-1),Q(m-2,m-3).
∴PQ==.
(4)如图,取点B关于AC的对称点B′,易得点B′的坐标为(0,3),BQ=B′Q,取AB中点F,
连接QF,FN,QB′,易得FN∥PQ,且FN=PQ,
∴四边形PQFN为平行四边形
∴NP=FQ.
∴NP+BQ=FQ+B′Q⩾FB′=.
∴当B′、Q、F三点共线时,NP+BQ最小,最小值为.
本题为二次函数中考压轴题,考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、几何变换(平移,对称)、等腰直角三角形、平行四边形、轴对称-最短路线问题等知识点,考查了
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