秋高中数学第三章导数及其应用导数在研究函数中的应用函数的单调性与导数学案新人教A版选修Word下载.docx
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比较“陡峭”(向上或向下)
越小
慢
比较“平缓”(向上或向下)
[基础自测]
1.思考辨析
(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>
0,则函数f(x)在定义域上单调递增.
( )
(2)函数在某一点的导数越大,函数在该点处的切线越“陡峭”.( )
(3)函数值在某个区间上变化越快,函数在这个区间上导数的绝对值越大.
(4)在区间(a,b)内,f′(x)>
0是f(x)在此区间上单调递增的充要条件.
[答案]
(1)×
(2)×
(3)√ (4)×
2.函数y=x3+x的单调递增区间为( )
A.(0,+∞) B.(-∞,1)
C.(1,+∞)D.(-∞,+∞)
D [y′=3x2+1>
0,故选D.]
3.若在区间(a,b)内,f′(x)>
0,且f(a)≥0,则在(a,b)内有( )
【导学号:
97792146】
A.f(x)>
0B.f(x)<
C.f(x)=0D.不能确定
A [由f′(x)>
0知函数f(x)在区间(a,b)内是增函数,且f(a)≥0,故f(x)>
0.]
[合作探究·
攻重难]
函数的单调性与单调区间
(1)函数f(x)=3x2-2lnx的单调递减区间为__________.
(2)设函数f(x)=x--alnx(a∈R),讨论f(x)的单调性.
[思路探究]
(1)求f′(x)⇒解不等式f′(x)<
(2)求f′(x)⇒根据a的取值判断f′(x)的正负号.
[解析]
(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞).
f′(x)=6x-=
令f′(x)<
0,即<
0,解得-<
x<
.
又x>
0,故0<
即函数f(x)=3x2-2lnx的单调递减区间为.
[答案]
(2)f(x)的定义域为(0,+∞).
f′(x)=1+-=.
令g(x)=x2-ax+1,
其判别式Δ=a2-4.
①当|a|≤2时,Δ≤0,f′(x)≥0.
故f(x)在(0,+∞)上单调递增.
②当a<
-2时,Δ>
0,g(x)=0的两根都小于0.在(0,+∞)上,f′(x)>
0.故f(x)在(0,+∞)上单调递增.
③当a>
2时,Δ>
0,g(x)=0的两根为
x1=,x2=.
当0<
x1时,f′(x)>
0;
当x1<
x2时,f′(x)<
当x>
x2时,f′(x)>
0.
故f(x)分别在,上单调递增,在上单调递减.
[规律方法]
求函数y=f(x)的单调区间的步骤:
(1)确定函数y=f(x)的定义域;
(2)求导数y′=f′(x);
(3)解不等式f′(x)>
0,函数在定义域内的解集上为增函数;
(4)解不等式f′(x)<
0,函数在定义域内的解集上为减函数.
[跟踪训练]
1.
(1)函数y=x3-x2-x的单调递增区间为( )
A.和(1,+∞)
B.
C.∪(1,+∞)
D.
A [y′=3x2-2x-1,令y′>
0,得x<
-或x>
1,所以函数的单调递增区间为和(1,+∞),故选A.]
(2)讨论函数f(x)=x2+alnx(a∈R,a≠0)的单调性.
[解] 函数定义域为(0,+∞),f′(x)=x+.
①当a>0时,f′(x)=x+>0恒成立,这时函数只有单调递增区间为(0,+∞);
②当a<0时,由f′(x)=x+>0,得x>;
由f′(x)=x+<0,得0<x<,所以当a<0时,函数的单调递增区间是,单调递减区间是(0,).
综上,当a>0时,单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间;
当a<0时,单调递增区间为(,+∞),单调递减区间为(0,).
导数与函数图象的关系
(1)f′(x)是函数y=f(x)的导函数,若y=f′(x)的图象如图331所示,则函数y=f(x)的图象可能是( )
图331
(2)已知函数y=f(x)的图象如图332所示,则函数y=f′(x)的图象可能是图中的( )
【导学号:
97792147】
图332
[解析]
(1)由f′(x)>
0(f′(x)<
0)的分界点判断原函数在此分界点两侧的图象的上升和下降趋势.由已知可得x的取值范围和f′(x)的正、负,f(x)的增减变化情况如下表所示:
x
(-∞,0)
(0,2)
(2,+∞)
f′(x)
+
-
f(x)
↗
↘
↗
由表可知f(x)在(-∞,0)内递增,在(0,2)内递减,在(2,+∞)内递增,满足条件的只有D,故选D.
(2)由函数y=f(x)的图象的增减变化趋势判断函数y=f′(x)的正、负情况如下表:
(-1,b)
(b,a)
(a,1)
由表可知函数y=f′(x)的图象,当x∈(-1,b)时,函数图象在x轴下方;
当x∈(b,a)时,函数图象在x轴上方;
当x∈(a,1)时,函数图象在x轴下方.故选C.
[答案]
(1)D
(2)C
[规律方法]
(1)研究函数与导数图象间对应关系的注意点
研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时,注意抓住各自的关键要素,对于原函数,要注意其图象在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;
而对于导函数,则应注意其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零,并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.
(2)导数与函数图象的关系
函数值增加得越来越快
函数值增加得越来越慢
0且越来越大
0且越来越小
函数值减少得越来越快
函数值减少得越来越慢
0且越来越小绝对值越来越大
0且越来越大绝对值越来越小
提醒:
函数图象变化得越快,f′(x)的绝对值越大,不是f′(x)的值越大.
2.
(1)设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图333所示,则导函数y=f′(x)可能为( )
图333
D [由函数的图象知:
当x<0时,函数单调递增,导数应始终为正;
当x>0时,函数先增后减再增,导数应先正后负再正,对照选项,只有D正确.]
(2)函数y=f(x)在定义域内可导,其图象如图334,记y=f(x)的导函数为y=f′(x),则不等式f′(x)<
0的解集为__________.
图334
∪(2,3) [根据导数和图象单调性的关系知当x∈∪(2,3)时f′(x)<
已知函数的单调性求参数的取值范围
[探究问题]
1.在区间(a,b)内,若f′(x)>0,则f(x)在此区间上单调递增,反之也成立吗?
提示:
不一定成立.比如y=x3在R上为增函数,但其在x=0处的导数等于零.也就是说f′(x)>0是y=f(x)在某个区间上递增的充分条件.
2.一般地,在区间(a,b)内函数的单调性与导数有什么关系?
函数的单调性
导数
f′(x)≥0且f′(x)不恒为0
f′(x)≤0且f′(x)不恒为0
常函数
f′(x)=0
已知函数f(x)=x3-ax-1,
(1)若f(x)在区间(1,+∞)内为增函数,求a的取值范围;
(2)若f(x)的单调递减区间为(-1,1),求a的值.
[思路探究]
(1)转化为f′(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,求a的范围;
(2)由f′(x)<0,求单调减区间,对比已知,求a的值.
[解]
(1)因为f′(x)=3x2-a,且f(x)在区间(1,+∞)上为增函数,
所以f′(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,即3x2-a≥0在(1,+∞)上恒成立,所以a≤3x2在(1,+∞)上恒成立,即a≤3.
(2)f′(x)=3x2-a.
①当a≤0时,f′(x)≥0,无减区间,不满足条件.
②当a>0时,令3x2-a=0,得x=±
;
当-<x<时,f′(x)<0.
因此f(x)在上为减函数.
所以=1,即a=3.
[规律方法] 1.利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路
(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题,即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立,利用分离参数或函数性质求解参数范围,然后检验参数取“=”时是否满足题意.
(2)先令f′(x)>
0(或f′(x)<
0),求出参数的取值范围后,再验证参数取“=”时f(x)是否满足题意.
2.恒成立问题的重要思路
(1)m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max.
(2)m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min.
3.
(1)若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是__________.
97792148】
[1,+∞) [由于f′(x)=k-,f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)上单调递增⇔f′(x)=k-≥0在(1,+∞)上恒成立.
由于k≥,而0<
<
1,所以k≥1.
即k的取值范围为[1,+∞).]
(2)已知函数f(x)=x2+2alnx.
①试讨论函数f(x)的单调区间
②若函数g(x)=+f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围.
[解] ①f′(x)=2x+=,函数f(x)的定义域为(0,+∞).
Ⅰ.当a≥0时,f′(x)>
0,
f(x)的单调递增区间为(0,+∞);
Ⅱ.当a<
0时,
f′(x)=,
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
(0,)
,+∞
递减
递增
由上表可知,函数f(x)的单调递减区间是(0,);
单调递增区间是(,+∞).
②由g(x)=+x2+2alnx,
得g′(x)=-+2x+,
由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数,
则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立,
即-+2x+≤0在[1,2]上恒成立,
即a≤-x2在[1,2]上恒成立,
令h(x)=-x2,
则h′(x)=--2x=-<
x∈[1,2],
所以h(x)在[1,2]上为减函数,
h(x)min=h
(2)=-,
所以a≤-.
故实数a的取值范围为.
[当堂达标·
固双基]
1.下列函数中,在(0,+∞)内为增函数的是( )
A.y=sinx B.y=xex
C.y=x3-xD.y=-x+lnx
B [对于y=xex,y′=ex+xex=ex(1+x)>
∴y=xex在(0,+∞)内为增函数.]
2.在R上可导的函数f(x)的图象如图335所示,则关于x的不等式x·
0的解集为( )
图335
A.(-∞,-1)∪(0,1)
B.(-1,
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- 高中数学 第三 导数 及其 应用 研究 函数 中的 调性 新人 选修
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