平行四边形的判定典型例题及练习Word文件下载.docx
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三角形两边中点的连线平行于第三边,并且等于第三边的一半。
3、三角形的重心
(1)重心的定义:
三角形的三条中线交于一点,这点就是三角形的重心。
(2)重心的性质:
三角形的三条中线相交于一点,这点和各边中点的距离等于相应各边上中线的三分之一。
2、典型例题讲解
模块1:
平行四边形的判定
题型1:
例题1:
如图所示,在平行四边形中,分别是,的平分线,求证:
四边形是平行四边形。
例题2:
如图,在等边三角形中,是的中点,以为边向左侧作等边三角形。
(1)求的度数。
(2)取的中点,连接、。
试证明四边形是平行四边形。
例题3:
如图,在平行四边形中,为对角线,是上的点,且.
求证:
变式练习:
1.如图,在中,中线,相交于点,、分别是、的中点,连接,求证:
2.如图,已知,,,求证:
3.如图,四边形中,,作交于。
的周长是,四边形的周长是,那么。
题型2:
添加条件证明平行四边形
例题4:
如图,在四边形中,,要使四边形成为平行四边形,则应添加的条件不能是()
A、B、C、D、
例题5:
、、、在同一平面内,从①;
②;
③;
④这四个条件中任选两个,能使四边形是平行四边形的选法有种。
变式练习
1.(如图,四边形的对角线交于点,下列哪组条件不能判断四边形是平行四边形()
A、B、
C、D、
2.已知在四边形中,,添加下列一个条件后,一定能判定四边形是平行四边形的是()
3.如图所示,平行四边形中,、是对角线上两点,连接,,
,添加条件,可以判定四边形是平行四边形。
(填一个符合要求的条件即可)
4.四边形中,,要使四边形成为平行四边形还需满足的条件是(横线上只需填一个你认为合适的条件即可)
题型3:
平行四边形的判定与性质的综合应用
例题6:
已知:
如图,平行四边形的两条对角线相交于点,是的中点,过点作的平行线,交的延长线于点,连接。
(1)求证:
;
(2)求证:
例题7:
如图所示,为等边内任意一点,,,,并且、、分别在、、上,求证:
.
例题8:
如图所示,是的角平分线,点,分别在边,上,且.
(2)若,求四边形的面积。
1.如图,是等边三角形外一点,且,,,若的周长是36,则=。
2.如图,在平行四边形中,交于点,,,垂足分别为,求证:
四边形为平行四边形。
3.如图所示,在平行四边形中,,分别是的中点,.
(1)求证四边形是平行四边形;
(2)求证.
题型4:
平行四边形中的动点问题
例题18:
如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD>BC,BC=6cm,点P、Q分别从A、C两点的位置同时出发,点P以1cm/s的速度由点A向点D运动,点Q以2cm/s的速度由点C出发向点B运动.试探究:
几秒后四边形ABQP是平行四边形?
例题19:
如图,在四边形中,,,,是的中点。
点以每秒1个单位长度的速度从点出发,沿向点运动;
点同时以每秒3个单位长度的速度从点出发,沿向点运动。
点停止运动时,点也随之停止运动。
当运动时间为多少秒时,以
为顶点的四边形是平行四边形。
1.如图:
在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD>BC,BC=6cm,AD=9cm,P、Q分别从A、C同时出发,P以1cm/s的速度由A向D运动,Q以2cm/s的速度由C向B运动,______秒时直线QP将四边形截出一个平行四边形.
2.如图,在四边形中,,,,
,,点从点出发,以的速度向点运动;
点从点同时出发,以的速度向点运动。
规定,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动,从运动开始,使和,分别需经过多少时间?
为什么?
模块2:
三角形的中位线
题型1:
直接利用三角形的中位线性质
如图,在中,,,,点,,分别是三边的中点,则的周长为()
A、9B、10C、11D、12
如图,周长为1,连接三边中点构成第二个三角形,再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形,以此类推,第2018个三角形的周长为()
1.已知三角形的3条中位线分别为、、,则这个三角形的周长是()
2.如图所示,是的中位线,平分,交于,若,则。
利用三角形的中位线解决图形的面积问题
如图,是的中位线,是的中点,的延长线交于点,若的面积为,则的值为()
如图,的面积是12,点、、、分别是、、、的中点,则的面积是()
1.如图,在中,,分别是的中点,为上的点,连接,。
若,,,则图中阴影部分面积为()。
A、25B、35C、30D、42
第1题第2题
2.如图,在中,,,点分别是,的中点,交的延长线于,则四边形的面积为。
与三角形中位线有关的动点问题
如图,四边形中,,,,点分别为线段,上的动点(含端点,但点不与点重合),点分别为的中点,则长度的最大值为()
A、8B、6C、4D、5
1.如图,已知四边形中,分别是,边上的点,分别是的中点,当点在上从向移动而点不动时,下列结论成立的是()
A、的周长不变B、线段的长与点的位置无关
C、点到的距离不变D、的大小不变
2.如图,已知四边形中,,点是边上的动点,连接,分别是,的中点,当点在上从点向点移动过程中,下列结论成立的是()
A、线段的长先减小后增大B、线段的长不变
C、线段的长逐渐增大D、线段的长逐渐减小
三角形中位线性质的综合应用
如图,在中,点是边的中点,点在内,平分,,点在边上,.
四边形是平行四边形;
(2)线段、、的数量之间具有怎样的关系?
证明你所得到的结论。
1.如图所示,已知是中的平分线,的延长线于点是的中点。
.
课后作业
1、选择题。
1.下列不能判定一个四边形是平行四边形的是()
A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C.一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
D.对角线相互平分的四边形是平行四边形
2.能判定四边形为平行四边形的条件是()
3.小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块,为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃,他带了两块碎玻璃,其编号应该是()
A、①,②B、①,④C、③,④D、②,③
第3题第4题第5题
4.如图,中,、分别是、的中点,平分,交于点,若,则的长是()
5.如图,是的边的中点,平分,
于点,且,,则的长是()
A、12B、14C、16D、18
6.如图,在中,分别是的中点,点在上,且,与相交于点,若,,那么的度数是()
第6题第7题第8题
7.如图,在四边形中,,,,,点从点出发以3个单位/s的速度沿向终点运动,同时点从点出发,以1个单位/s的速度沿向终点运动。
当四边形为平行四边形时,运动时间为()
8.如图,平行四边形中,,,点在边上以每秒的速度从点向点运动,点在边上,以每秒的速度从点出发,在间往返运动,两个点同时出发,当点到达点时停止(同时点也停止),在运动以后,以四点组成平行四边形的次数有()
A、1次B、2次C、3次D、4次
2、填空题。
9.如图,在中,分别是边的中点,,先将沿折叠,点落在三角形所在平面内的点为,则的度数为。
10.如图,用9个全等的等边三角形,按图拼成一个几何图案,从该图案中可以找出平行四边形。
11.如图,已知为等腰三角形纸片的底边,,,将此三角形纸片沿剪开,得到两个三角形,若把这两个三角形拼成一个平行四边形,则能拼出平行四边形个。
12.已知直角坐标系内有四个点,,,,若以为顶点的四边形是平行四边形,则=。
13.如图,在等边三角形ABCD中,,射线,点从点出发沿射线以的速度运动,点从点出发沿射线以的速度运动。
如果点同时出发,设运动时间为,当=时,以为顶点的四边形是平行四边形。
3、解答题
14.如图,四边形中,,,,是边的中点,连接并延长,与的延长线相交于点.
15.如图,在平行四边形中,,,连接,,,.求证:
16.在平行四边形和平行四边形中,,,,分别是对角线、的中点,求的长。
17.如图,平行四边形是对角线、交于点,,,连接。
18.如图所示,在四边形中,,是对角线的中点,是的中点,是的中点。
请判断的形状,并说明理由。
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