高考数学一轮复习文理通用 第6章不等式推理与证明 练案43文档格式.docx
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C.2 D.
[解析] 作出区域A为△OMN,当a从-2连续变化到1时,动直线从l1变化到l2扫过A中区域为阴影部分,易知l2⊥MN,∴阴影部分面积S=×
2×
2-=.故选D.
3.(2017·
课标全国)设x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为( D )
A.0 B.1
C.2 D.3
[解析] 作出约束条件表示的可行域如图:
平移直线x+y=0,可得目标函数z=x+y在A(3,0)处取得最大值,zmax=3,故选D.
另解:
由约束条件求出三个交点的坐标(3,0),(1,0),(,),分别代入目标函数z=x+y,得到zmax=3.
4.(2017·
课标全国Ⅲ)设x,y满足约束条件则z=x-y的取值范围是( B )
A.[-3,0] B.[-3,2]
C.[0,2] D.[0,3]
[解析] 由题意,画出可行域(如图中阴影部分所示),易知A(0,3),B(2,0).
由图可知,目标函数z=x-y在点A,B处分别取得最小值与最大值,zmin=0-3=-3,zmax=2-0=2,
故z=x-y的取值范围是[-3,2].故选B.
5.(2018·
浙江温州适应性测试)若实数x,y满足约束条件的取值范围是( C )
A.[3,4] B.[3,12]
C.[3,9] D.[4,9]
[解析] 作出可行域如图中阴影部分所示.
由得
∴A(1,1),
∴B(3,3)
z=2x+y⇔y=-2x+z.
由图可知目标函数z=2x+y分别在点A、B处取得最小值3,最大值9.
∴z的取值范围是[3,9],故选C.
6.(2017·
福建南平适应性测试)已知实数x,y满足约束条件则目标函数z=x+y取不到的值是( C )
A.1 B.3
C.7 D.4
[解析] 作出可行域如图中阴影部分所示.当直线z=x+y过A(2,-3)、B(2,3)时分别取最小值-1、最大值5,故z取不到的值为7.
7.(2018·
陕西汉中质检)已知实数x,y满足不等式组:
,则z=3y-x的取值范围为( D )
A.[1,2] B.[2,5]
C.[2,6] D.[1,6]
[解析] 作出可行域如图中阴影部分所示,z=3y-x⇔y=x+,由图可知,直线z=3y-x过点(-1,0)时z取最小值且zmin=1;
直线z=3y-1过点(0,2)时z取最大值,且zmax=6,即1≤z≤6,故选D.
8.变量x,y满足约束条件若使z=ax+y取得最大值的最优解有无穷多个,则实数a的取值集合是( B )
A.{-3,0} B.{3,-1}
C.{0,1} D.{-3,0,1}
[解析] 作出不等式组所表示的平面区域,如图所示.易知直线z=ax+y与x-y=2或3x+y=14平行时取得最大值的最优解有无穷多个,即-a=1或-a=-3,∴a=-1或a=3.
9.(2017·
江西模拟)某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表:
年产量/亩
年种植成本/亩
每吨售价
黄瓜
4吨
1.2万元
0.55万元
韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:
亩)分别为( B )
A.50,0 B.30,20
C.20,30 D.0,50
[解析] 设种植黄瓜x亩,种植韭菜y亩,因此,原问题转化为在条件下,
求z=0.55×
4x+0.3×
6y-1.2x-0.9y=x+0.9y的最大值.画出可行域如图.利用线性规划知识可知,当x,y取的交点(30,20)时,z取得最大值.故选B.
二、填空题
10.(2016·
全国卷Ⅲ)若x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为 .
[解析] 不等式组表示的平面区域如图阴影部分,当直线经过D点时,z最大,
由得D(1,),
所以z=x+y的最大值为1+=.
11.(2018·
湖南三湘名校联盟联考)设x,y满足约束条件,则的取值范围为__[1,5]__.
表示点(x,y)与(-1,-1)连线的斜率,由图可知(x,y)取(0,0)时的最小值,(x,y)取(0,4)时取最大值5,∴的取值范围是[1,5].
12.(2018·
湖北黄冈质检)不等式组表示的平面区域为D,若(x,y)∈D,则(x-1)2+y2的最小值为 .
[解析] 作出可行域如图中阴影部分所示,(x-1)2+y2表示点(x,y)与点(1,0)间距离的平方,由图可知距离的最小值为点(1,0)到直线2x-y=0的距离=.
∴(x-1)2+y2的最小值为.
三、解答题
13.(2016·
天津)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:
原料
肥料
A
B
C
甲
4
8
3
乙
5
10
现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;
生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.
(1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;
(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?
并求出此最大利润.
[解析]
(1)由已知,x,y满足的数学关系式为
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分:
(2)设利润为z万元,则目标函数为z=2x+3y.
考虑z=2x+3y,将它变形为y=-x+,这是斜率为-,随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距,当取最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约求条件,所以由图2可知,当直线z=2x+3y经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大.
解方程组得点M的坐标为(20,24).
所以zmax=2×
20+3×
24=112.
答:
生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元.
B组能力提升
1.(2018·
河南开封定位考)已知实数x,y满足约束条件,则z=()x-2y的最大值是( C )
A. B.
C.32 D.64
[解析] 作出可行域如图中阴影部分所示,记z1=x-2y,∴y=x-.由图可知当直线z1=x-2y过点A(1,3)时z1最小为-5,∴z=()x-2y的最大值为32.故选C.
2.(2018·
山西长治二中、康杰中学等五校联考)设x,y满足约束条件则z=|x-3y|的最大值为( C )
C.5 D.6
[解析] 作出可行域如图中阴影部分所示,记z1=x-3y,则y=x-,由图可知当直线z1=x-3y过点B、C时z1分别取得最大值3和最小值-5.
∴z=|x-3y|的最大值为5,故选C.
z=·
,d=表示点(x,y)到直线x-3y=0的距离,又B(3,0)到直线x-3y=0的距离为,C(1,2)到直线x-3y=0的距离为.
∴z的最大值为×
=5.故选C.
开封一模)若x,y满足约束条件且目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,则a的取值范围是( B )
A.[-4,2] B.(-4,2)
C.[-4,1] D.(-4,1)
[解析] 作出不等式组表示的区域如图中阴影部分所示,直线z=ax+2y的斜率为k=-,从图中可看出,当-1<
-<
2,即-4<
a<
2时,目标函数z仅在点(1,0)处取得最小值.故选B.
4.(2018·
河北唐山一中质检)已知a>
0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a=( B )
C.1 D.2
[解析] 画出所表示的区域,作直线z=2x+y与直线x=1交于点A(1,-1),则点A必在直线y=a(x-3)上,∴-1=a(1-3),∴a=,故选B.
5.(文)(2018·
河南八市测评二)若变量x,y满足约束条件则z=的最小值等于( B )
A.-4 B.-2
C. D.0
[解析] 作出可行域如图中阴影部分所示,
由得∴A(-2,2)
z=⇒y=z(x-3)
z表示(x,y)与点(3,0)连线的斜率.
由图可知(x,y)取(2,2)时z最小为-2,故选B.
(理)(2017·
宁夏六盘山模拟)某所学校计划招聘男教师x名,女教师y名,x、y须满足约束条件则该校招聘的教师人数最多是__10__名.
[解析] 作出可行域如图阴影部分所示,
记z=x+y,则y=-x+z,(x、y∈N)
当x=5时,3≤y≤5,此时zmax=10;
当x=4时,2≤y≤3,此时zmax=7;
当x=3时,1≤y≤1,此时z=4.
当x=2时,0≤y≤-1(舍去)
综上可知招聘教师人数最多是10名.
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