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1、定义当,且时,总有,d叫公差。
2、通项公式
3、前n项和公式
由,
相加得,还可表示为,是n的二次函数。
特别的,由可得。
4、由三个数,,组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则称为与的等差中项.若,则称为与的等差中项.
5、等差数列的性质:
(1)(、、、),则;
特别地,若(、、),则.
(2),,成等比数列.
(3)若项数为,则,.
(4)若项数为,则,
3、等比数列
1、定义当,且时,总有,q叫公比。
2、通项公式:
在等比数列中,若,则.
3、、在与中间插入一个数,使,,成等比数列,则称为与的等比中项.若,则称为与的等比中项.
4、等比数列的前项和的性质:
若是等比数列,且(、、),则.
(2),,成等比数列。
5、前n项和公式:
由,两式相减,
当时,;
当时,。
关于此公式可以从以下几方面认识:
1不能忽视成立的条件:
。
特别是公比用字母表示时,要分类讨论。
2公式推导过程中,所使用的“错位相消法”,可以用在相减后所得式子能够求和的情形。
如,公差为d的等差数列,,则,
相减得,
当时,,
当时,;
第一节等差数列的概念、性质及前n项和
题根一等差数列{an}中,,求S20
[思路]等差数列前n项和公式:
1、由已知直接求a1,公差d.
2、利用性质
[请你试试1——1]
1、等差数列{an}满足,则有()
A、B、C、D、
2、等差数列中,a3+a7-a10=8,a11-a4=4,求。
第1变求和方法——倒序相加法
[变题1]等差数列{an}共10项,,,求Sn.
[思路]已知数列前四项和与后四项和,结合通项性质,联想Sn公式推导方法。
[请你试试1——2]
1、等差数列{an}前n项和为18,若,,求项数n.
2、求和。
第2变已知前n项和及前m项和,如何求前n+m项和
[变题2]在等差数列{an}中,Sn=a,Sm=b,(m>
n),求Sn+m的值。
[思路]下标存在关系:
m+n=m+n,这与通项性质是否有关?
[请你试试1——3]
1、在等差数列{an}中,,,求。
2、在等差数列{an}中,,,求。
第3变已知已知前n项和及前2n项和,如何求前3n项和
[变题3]在等差数列{an}中,,,求
[思路]由寻找之间的关系。
[请你试试1——4]
1、在等差数列{an}中,,,求
第二节等比数列的概念、性质及前n项和
题根二等比数列{an},,求。
[思路]1、由已知条件联立,求,从而得
2、由等比数列性质,知成等比数列。
[请你试试2——1]
等比数列{an},,若,则_______。
第1变连续若干项之和构成的数列仍成等比数列
[变题2]等比数列{an},,求。
[思路]等比数列中,连续若干项的和成等比数列。
[请你试试2——2]
1、等比数列{an},时,,求。
2、等比数列{an},时,,求。
第三节常见数列的通项求法
一、公式法
例1已知数列满足,,求数列的通项公式。
二、累加法
例2已知数列满足,求数列的通项公式。
例3已知数列满足,求数列的通项公式。
三、累乘法
例4已知数列满足,求数列的通项公式。
四、作差法
例5(数列{}的前n项和为,且满足,.求{}的通项公式
五,构造法
例6数列中,若,,求数列的通项公式。
例7数列
第四节常见数列求和方法
1.直接法:
即直接用等差、等比数列的求和公式求和。
(1)等差数列的求和公式:
(2)等比数列的求和公式(切记:
公比含字母时一定要讨论)
2.公式法:
3.错位相减法:
比如
4.裂项相消法:
把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。
常见拆项公式:
;
5.分组求和法:
把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或等比数列,再求和。
6.合并求和法:
如求的和。
7.倒序相加法:
8.其它求和法:
如归纳猜想法,奇偶法等
(二)主要方法:
1.求数列的和注意方法的选取:
关键是看数列的通项公式;
2.求和过程中注意分类讨论思想的运用;
3.转化思想的运用;
(三)例题分析:
例1.
2.错位相减法求和
例2.已知,求数列{an}的前n项和Sn.
3.裂项相消法求和
例3.求和
4.倒序相加法求和
例4求证:
求值:
5.其它求和方法
还可用归纳猜想法,奇偶法等方法求和。
例5.已知数列。
第四节递推数列的通项公式及前n项和综合
例1.数列{}的前n项和为,且满足,.
(1)求{}的通项公式;
(2)求和Tn=.
例2.已知数列,a1=1,点在直线上.
(1)求数列的通项公式;
(2)函数,求函数最小值.
例3.设数列的前项和为,且,其中是不等于和0的实常数.
(1)求证:
为等比数列;
(2)设数列的公比,数列满足,试写出的通项公式,并求的结果.
例4.已知数列的前项的和为,且,.
(1)求证:
为等差数列;
(2)求数列的通项公式.
例5.已知数列是首项为,公比的等比数列,设,数列满足.
(Ⅰ)求证:
数列成等差数列;
(Ⅱ)求数列的前n项和;
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