中考数学复习 第七单元 第13讲 二次函数的图象和性质文档格式.docx
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增减性
在对称轴的左侧,即当x<-时,y随x的增大而④;
在对称轴的右侧,即当x>-a时,y随x的增大而⑤,简记左减右增
在对称轴的左侧,即当x<-时,y随x的增大而⑥;
在对称轴的右侧,即当x>-时,y随x的增大而⑦,简记左增右减
【易错提示】二次函数的增减性一定要分在对称轴的左侧或右侧两种情况讨论.
考点3二次函数的图象与字母系数的关系
字母或代数式
字母的符号
图象的特征
开口向⑧
|a|越大开口越⑩
开口向⑨
b
b=0
对称轴为⑪轴
ab>0(b与a同号)
对称轴在y轴⑫侧
ab<0(b与a异号)
对称轴在y轴⑬侧
c
c=0
经过⑭
c>0
与y轴⑮半轴相交
c<0
与y轴⑯半轴相交
b2-4ac
b2-4ac=0
与x轴有交点(顶点)
b2-4ac>0
与x轴有不同交点
b2-4ac<0
与x轴交点
特殊关系
当x=1时,y=
当x=-1时,y=
若a+b+c>0,即当x=1时,y0
若a+b+c<0,即当x=1时,y0
考点4确定二次函数的解析式
方法
适用条件及求法
一般式
若已知条件是图象上的三个点或三对自变量与函数的对应值,则可设所求二次函数解析式为.
顶点式
若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(最小值),可设所求二次函数为.
交点式
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1,0),(x2,0),可设所求的二次函数为.
【易错提示】
(1)用顶点式代入顶点坐标时横坐标容易弄错符号;
(2)所求的二次函数解析式最后要化成一般式.
考点5二次函数与一元二次方程以及不等式之间的关系
二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2+bx+c的图象与轴的交点的坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
二次函数与不等式
抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方的部分点的纵坐标都为正,所对应的x的所有值就是不等式ax2+bx+c0的解集;
在x轴下方的部分点的纵坐标均为负,所对应的x的值就是不等式ax2+bx+c0的解集.
1.二次函数y=(x-h)2+k的图象平移时,主要看顶点坐标的变化,一般按照“横坐标加减左右移”、“纵坐标加减上下移”的方法进行.
2.二次函数的图象由对称轴分开,在对称轴的同侧具有相同的性质,在顶点处有最大值或最小值,如果自变量的取值中不包含顶点,那么在取最大值或最小值时,要依据其增减性而定.
3.求二次函数图象与x轴的交点的方法是令y=0解关于x的方程;
求函数图象与y轴的交点的方法是令x=0得y的值,最后把所得的数值写成坐标的形式.
命题点1二次函数的图象和性质
例1(2013·
内江)若抛物线y=x2-2x+c与y轴的交点坐标为(0,-3),则下列说法不正确的是()
A.抛物线的开口向上
B.抛物线的对称轴是直线x=1
C.当x=1时,y的最大值为-4
D.抛物线与x轴的交点坐标为(-1,0),(3,0)
方法归纳:
解答此类题首先将点坐标代入函数解析式,确定二次函数的各项系数.然后根据二次函数解析式、图象、性质的相互关系解题.
1.(2014·
毕节)抛物线y=2x2,y=-2x2,y=x2的共同性质是()
A.开口向上B.对称轴是y轴
C.都有最高点D.y随x的增大而增大
2.(2013·
泰安)对于抛物线y=-(x+1)2+3,下列结论:
①抛物线的开口向下;
②对称轴为直线x=1;
③顶点坐标为(-1,3);
④x>
1时,y随x的增大而减小.其中正确结论的个数为()
A.1B.2C.3D.4
3.(2014·
白银)二次函数y=x2+bx+c,若b+c=0,则它的图象一定过点()
A.(-1,-1)B.(1,-1)C.(-1,1)D.(1,1)
4.(2014·
枣庄)已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表:
x
-1
1
2
3
y
5
则该二次函数图象的对称轴为()
A.y轴B.直线x=C.直线x=2D.直线x=
命题点2二次函数的图象与字母系数的关系
例2(2014·
南充)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:
①abc>0;
②2a+b=0;
③当m≠1时,a+b>am2+bm;
④a-b+c>0;
⑤若ax12+bx1=ax22+bx2,且x1≠x2,则x1+x2=2.其中正确的有()
A.①②③B.②④C.②⑤D.②③⑤
解答二次函数信息问题时,通常先抓住抛物线对称轴和顶点坐标,再依据图象与字母系数之间的关系特征来求解.
1.(2013·
长沙)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列关系式错误的是()
A.a>0B.c>0C.b2-4ac>0D.a+b+c>0
株洲)二次函数y=2x2+mx+8的图象如图所示,则m的值是()
A.-8B.8C.±
8D.6
达州)如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分,对称轴是直线x=1.①b2>4ac;
②4a-2b+c<0;
③不等式ax2+bx+c>0的解集是x≥3.5;
④若(-2,y1),(5,y2)是抛物线上的两点,则y1<y2.上述4个判断中,正确的是()
A.①②B.①④C.①③④D.②③④
4.(2013·
贵阳)已知二次函数y=x2+2mx+2,当x>
2时,y的值随x的增大而增大,则实数m的取值范围是.
命题点3确定二次函数的解析式
例3(2014·
宁波)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(2,0),B(0,-1)和C(4,5)三点.
(1)求二次函数的解析式;
(2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D,求点D的坐标;
(3)在同一坐标系中画出直线y=x+1,并写出当x在什么范围内时,一次函数的值大于二次函数的值?
【思路点拨】
(1)二次函数y=ax2+bx+c的图象过B(0,-1),所以可得c=-1,故二次函数解析式为y=ax2+bx-1.将A、C两点坐标代入即可求得a、b.
(2)令y=0,即可求得D点坐标;
(3)利用描点连线画出y=x+1图象,利用图象决定x的取值范围.
【解答】
(1)待定系数法是求函数解析式的常用方法;
(2)两函数图象的交点往往是不等关系的界点.
1.若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(2,1),且经过点B(1,0),则抛物线的函数关系式为y=.
湖州)已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3,0),B(-1,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)求抛物线的顶点坐标.
3.(2013·
温州)如图,抛物线y=a(x-1)2+4与x轴交于点A,B,与y轴交于点C.过点C作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D,连接BD.已知点A的坐标为(-1,0).
(2)求梯形COBD的面积.
维吾尔自治区)对于二次函数y=(x-1)2+2的图象,下列说法正确的是()
A.开口向下B.对称轴是x=-1
C.顶点坐标是(1,2)D.与x轴有两个交点
2.(2014·
滨州)下列函数,图象经过原点的是()
A.y=3xB.y=1-2xC.y=D.y=x2-1
荆门)将抛物线y=x2-6x+5向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度后,得到的抛物线解析式是()
A.y=(x-4)2-6B.y=(x-4)2-2
C.y=(x-2)2-2D.y=(x-1)2-3
金华)如图是二次函数y=-x2+2x+4的图象,使y≤1成立的x的取值范围是()
A.-1≤x≤3B.x≤-1C.x≥1D.x≤-1或x≥3
5.(2014·
陕西)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论中正确的是()
A.c>
-1B.b>
0C.2a+b≠0D.9a+c>
3b
6.(2014·
遵义)已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图所示,其中正确的是()
7.(2014·
东营)若函数y=mx2+(m+2)x+m+1的图象与x轴只有一个交点,那么m的值为()
A.0B.0或2C.2或-2D.0,2或-2
8.(2014·
丽水)写出图象经过点(-1,1)的一个函数的解析式是.
9.(2014·
云南)抛物线y=x2-2x+3的顶点坐标为.
10.如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(-1,0),(1,-2),当y随x的增大而增大时,x的取值范围是.
11.(2014·
扬州)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴是过点(1,0)且平行于y轴的直线,若点P(4,0)在该抛物线上,则4a-2b+c的值为.
12.(2014·
滨州)已知二次函数y=x2-4x+3.
(1)用配方法求其函数图象的顶点C的坐标,并描述该函数的函数值随自变量的增减而增减的情况;
(2)求函数图象与x轴的交点A,B的坐标,及△ABC的面积.
13.(2013·
泉州)已知抛物线y=a(x-3)2+2经过点(1,-2).
(1)求a的值;
(2)若点A(m,y1),B(n,y2)(m<n<3)都在该抛物线上,试比较y1与y2的大小.
14.若二次函数y=ax2+bx+a2-2(a,b为常数)的图象如下,则a的值为()
A.-2B.-C.1D.
15.(2014·
宁波)已知点A(a-2b,2-4ab)在抛物线y=x2+4x+10上,则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为()
A.(-3,7)B.(-1,7)C.(-4,10)D.(0,10)
16.(2014·
淄博)已知二次函数y=a(x-h)2+k(a>
0),其图象过点A(0,2),B(8,3),则h的值可以是()
A.6B.5C.4D.3
17.(2014·
威海)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列说法:
①c=0;
②该抛物线的对称轴是直线x=-1;
③当x=1时,y=2a;
④am2+bm+a>0(m≠-1).其中正确的个数是()
18.(2014·
菏泽)如图,平行于x轴的直线AC分别交函数y1=x2(x≥0)与y2=(x≥0)的图象于B,C两点,过点C作y轴的平行线交y1的图象
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- 中考数学复习 第七单元 第13讲 二次函数的图象和性质 中考 数学 复习 第七 单元 13 二次 函数 图象 性质