高考数学二轮复习 专题19 不等式选讲讲学案 理Word格式文档下载.docx
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0)或|x-a|-|x-b|>
0)的不等式,利用绝对值的几何意义求解更直观.
3.|f(x)|>
g(x),|f(x)|<
g(x)(g(x)>
(1)|f(x)|>
g(x)⇔f(x)>
g(x)或f(x)<
-g(x).
(2)|f(x)|<
g(x)⇔-g(x)<
f(x)<
g(x).
二、不等式的证明
1.证明不等式的常用结论
(1)绝对值的三角不等式
定理1:
若a,b为实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0,等号成立.
定理2:
设a,b,c为实数,则|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.
推论1:
||a|-|b||≤|a+b|.
推论2:
||a|-|b||≤|a-b|.
(2)三个正数的算术—几何平均不等式:
如果a,b,c∈R+,那么≥,当且仅当a=b=c时等号成立.
(3)基本不等式(基本不等式的推广):
对于n个正数a1,a2,…,an,它们的算术平均值不小于它们的几何平均值,即≥,并且仅当a1=a2=…=an时等号成立.
(4)一般形式的柯西不等式
设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则(a+a+…+a)·
(b+b+…+b)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,并且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.
2.证明不等式的常用方法
(1)比较法
一般步骤:
作差—变形—判断—结论.为了判断作差后的符号,有时要把这个差变形为一个常数,或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式,也可变形为几个因式的积的形式,以判断其正负.
(2)综合法
利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质,推导出所要证明的不等式,这种方法叫综合法.即“由因导果”的方法.
(3)分析法
证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分条件,把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题,如果能够肯定这些充分条件都已经具备,那么就可以判定原不等式成立,这种方法叫作分析法.即“执果索因”的方法.
(4)反证法和放缩法
①先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,这种方法叫作反证法.
②证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,简化不等式,从而达到证明的目的,这种方法叫作放缩法.
考点一 解绝对值不等式
例1.【2017课标3,文23】已知函数=│x+1│–│x–2│.
(1)求不等式≥1的解集;
(2)若不等式≥x2–x+m的解集非空,求实数m的取值范围.
【答案】
(1);
(2)
【变式探究】【2016高考新课标1卷】
(本小题满分10分),选修4—5:
不等式选讲
已知函数.
(I)在答题卡第(24)题图中画出的图像;
(II)求不等式的解集.
(I)见解析(II)
(2015·
重庆,16)若函数f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值为5,则实数a=________.
【答案】4或-6
【解析】由绝对值的性质知f(x)的最小值在x=-1或x=a时取得,若f(-1)=2|-1-a|=5,a=或a=-,经检验均不合适;
若f(a)=5,则|x+1|=5,a=4或a=-6,经检验合题意,因此a=4或a=-6.
【变式探究】不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集为________.
【答案】{x|x≤-3或x≥2}
考点二 不等式的证明
例2.【2017课标II,文23】已知。
证明:
(2)。
(1)证明略;
(2)证明略。
【解析】
解:
(2)因为
所以,因此
【变式探究】【2016高考新课标2文数】选修4—5:
已知函数,为不等式的解集.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)证明:
当时,.
(Ⅰ);
(Ⅱ)详见解析.
由
(1)得+>+.
②若+>+,则(+)2>(+)2,即a+b+2>c+d+2.
因为a+b=c+d,所以ab>cd,于是
(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.
因此|a-b|<|c-d|.
综上,+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.
【变式探究】已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn-1,xi∈M,i=1,2,…,n}.
(1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;
(2)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n.证明:
若an<
bn,则s<
t.
1.【2017课标1,文23】已知函数,.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若不等式的解集包含[–1,1],求的取值范围.
(2).
(1)当时,不等式等价于.①
当时,①式化为,无解;
当时,①式化为,从而;
当时,①式化为,从而.
所以的解集为.
(2)当时,.
所以的解集包含,等价于当时.
又在的最小值必为与之一,所以且,得.
所以的取值范围为.
2.【2017课标II,文23】已知。
3.【2017课标3,文23】已知函数=│x+1│–│x–2│.
1.【2016高考新课标1卷】
2.【2016高考新课标2文数】选修4—5:
3.【2016高考新课标3文数】选修4-5:
已知函数.
(I)当时,求不等式的解集;
(II)设函数.当时,,求的取值范围.
(Ⅱ).
(Ⅰ)当时,.
解不等式得.
因此的解集为.
(Ⅱ)当时,
,
当时等号成立,所以当时,等价于
.①
当时,①等价于,无解.
当时,①等价于,解得.
所以的取值范围是.
1.(2015·
陕西,24)已知关于x的不等式|x+a|<b的解集为{x|2<x<4}.
(1)求实数a,b的值;
(2)求+的最大值.
2.(2015·
新课标全国Ⅰ,24)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>
0.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>
1的解集;
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.
解
(1)当a=1时,f(x)>
1化为|x+1|-2|x-1|-1>
1.【2014高考安徽卷文第9题】若函数的最小值为3,则实数的值为()
A.5或8B.或5C.或D.或8
【答案】D
【解析】由题意,①当时,即,,则当时,,解得或(舍);
②当时,即,,则当时,,解得(舍)或;
③当时,即,,此时,不满足题意,所以或,故选D.
2.【2014陕西高考文第15题】设,且,则的最小值为
【解析】由柯西不等式得:
,所以,得
所以,故答案为。
3.【2014高考广东卷文第9题】不等式的解集为.
【答案】.
4.【2014高考湖南卷第13题】若关于的不等式的解集为,则________.
【答案】-3
【解析】因为等式的解集为,所以为方程的根,
即,故填.
5.【2014江西高考文第11题】对任意,的最小值为()
A.B.C.D.
【答案】C
6.【2014重庆高考文第16题】若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是____________.
【解析】令,其图象如下所示(图中的实线部分)
由图可知:
由题意得:
,解这得:
所以答案应填:
7.【2014高考福建文第21(3)题】已知定义在R上的函数的最小值为.
(I)求的值;
(II)若为正实数,且,求证:
.
(I);
(II)参考解析
(II)由(I)知,又因为是正数,所以
即.
9.【2014高考江苏第21题】已知,证明
【答案】证明见解析.
∵,∴,,
∴.
10.【2014高考江苏第21B题】已知矩阵,向量,是实数,若,求的值.
由题意得,解得.∴.
11.【2014高考辽宁文第24题】设函数,,记的解集为M,的解集为N.
(Ⅰ)求M;
(Ⅱ)当时,证明:
(2)详见解析.
【解析】
故.
当时,,于是
12.【2014高考全国1第24题】若,且.
(Ⅰ)求的最小值;
(Ⅱ)是否存在,使得?
并说明理由.
【答案】
(Ⅱ)不存在.
(I)由,得,且当时取等号.故,且当时取等号.所以的最小值为.
(II)由(I)知,.由于,从而不存在,使得.
13.【2014高考全国2第24题】设函数=
(Ⅰ)证明:
2;
(Ⅱ)若,求的取值范围.
(1)见解析
(2)
(1)证明:
由绝对值不等式的几何意义可知:
,当且仅当时,取等号,所
(2013·
新课标I理)(24)(本小题满分10分)选修4—5:
已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
(Ⅰ)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;
(Ⅱ)设a>-1,且当x∈[-,)时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.
(1)构造函数,作出函数图像,观察可知结论;
(2)利用分离参数法进行求解.
陕西理)A.(不等式选做题)已知a,b,m,n均为正数,且a+b=1,mn=2,则(am+bn)(bm+an)的最小值
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