高等数学习题和解答极限连续和导数.docx

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高等数学习题和解答极限连续和导数

高等数学习题库

XX联合大学基础部

2008年10月

第一章映射,极限,连续

习题一集合与实数集

基本能力层次：

1:

已知：

A＝{x|1≤x≤2}∪{x|5≤x≤6}∪{3},B={y|2≤y≤3}

求：

在直角坐标系内画出A×B

解：

如图所示A×B＝{〔x,y|}.

2：

证明：

∵P为正整数,∴p＝2n或p＝2n+1,当p＝2n+1时,p2＝4n2+4n+1,不能被2整除,故p＝2n。

即结论成立。

基本理论层次：

习题二函数、数列与函数极限

基本能力层次

1：

解：

2：

证明：

由得即,所以

所以命题成立

3：

〔1〔2

〔3〔4

解：

4：

用极限定义证明：

<不作要求>

证明：

因为有成立,只要取N＝[],则当n>N时,就有有定义变知成立

5：

求下列数列的极限

〔1〔2

〔3

〔4

解：

〔1,又,所以,故：

＝0

〔2由于

又因为：

所以：

〔3因为：

所以：

〔4因为：

并且,故由夹逼原理得

6：

解：

由于

7：

解：

8：

9：

习题三无穷小与无穷大、极限运算法则及两个重要极限

基本理论层次

1：

解：

同理：

〔3,〔4

习题四无穷小的比较、函数的连续及性质

基本理论层次

1：

〔1〔2

2：

第二章一元微分学及应用

习题一导数及求导法则、反函数及复合函数的导数

.

基本理论层次

习题二导数的运算、高阶导数、隐函数及参数方程确定的函数的导数、函数的微分

略

习题三中值定理罗必达法则泰勒公式

基本理论层次

1.

2．

3．

4

5.]

6.

7.

习题四导数的应用

基本理论层次

1．

综合练习题

一、填空题

1、设在可导,则。

2、设,则。

3、设,则。

4、已知,则。

5、已知,则当经＝1、＝1时,。

6、,则。

7、如果是的切线,则。

8、若为奇函数,且,则。

9、,则。

10、,则。

11、设,则。

12、设,则。

13、设,则。

14、设函数由方程所确定,则曲线在点〔1,1处的切线方程是。

15、,其导数在处连续,则的取值范围是。

16、知曲线与轴相切　,则可以通过表示为。

二、选择题。

17、设可导,,则是在处可导的〔　　。

　充分了必要条件,　　　　　　　B　充分但非必要条件,

C　必要条件但非充分条件,　　　　D　既非充分条件又非必要条件。

18、函数在处　　　　　　　　　　　〔　　　

A　左右导数均存在,　　　　　　　　B　　左导数存在,右导数不存在,

C　左导数不存在,右导数存在,　　　D　　左右导数均不存在。

19、设周期函数在内可导,周期为4,又,则曲线

在点处的切线斜率为　　　　　　　　　　　　　　　〔　　　

A　,　　　　B　0　,　　　C　–10,　　　D　–2　。

20、设函数则实常数当在处可导时必满足〔　

A　；　　　　B　；　　　C　；　　D　

21、已知　,且存在,则常数的值为　　〔　　　

　　　A　　　　B　　　　C　　　　D　

22、函数在上处处可导,且有,此外,对任何的实数恒有

那么〔　　　　

A　　　　B　　　　C　；　　　D　。

23、已知函数具有任何阶导数,且,则当为大于2的正整数时,

的阶导数是　〔　　　

　　　A　；　　　B　；　　C　；　　D　

24、若函数有,则当时,该函数在处的微分是的〔　

　　　A　等价无穷小；　　B　同阶但不等价的无穷小；

　　　C　低阶无穷小；　　D　高阶无穷小。

25、设曲线和在它们交点处两切线的夹角为,则　〔　　

　　　A　；　　B　　　　C　2；　　D　3　。

26、设由方程组　确定了是的函数,则〔　　

　　　A　；　　B　；　　C　；　　D　　。

一、填空题的答案

1、22、-1；3、；4、5、-1

6、6+2ln27、28、19、n!

10、-

11、112、13、14、15、16、

二、选择题答案：

17、A18、B19、D20、A

21、C22、C23、A24、B

25、D26、B

三、综合题：

27、求曲线上与直线垂直的切线方程。

剖析：

求曲线的切线议程关键有垂点,一是求切点,二是求切线斜线。

解：

设切点为则点处的切线斜度为

依题意知所求切线〔坐垂直,从而利切点为；切线〔为

故所求切线方程为即：

设则

9、如果为偶函数,且存在证明

证明：

因为为偶函数,所以从而

:

故

28、讨函数在处方程连续性与可得

解：

所以函数在处连续

又

故函数在处可导、值

29、已知求

解:

故

30、已知

解：

所以：

从而

31、证明：

双曲线上往一点处切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于。

证明：

设为双曲线上的一点,则该点处切线的斜率为从而切线方程为

令得轴上的截距为

令得轴上的截距为

从而

32、设求

解：

33、设在求

解：

设

则：

从而

34、设,讨论处连续性

剖析：

本题需先求的表达式,再讨论在点处的连续性

解：

当

从而：

由于

35、

〔1〔2

解：

〔1

〔2

=

=

37、设

提示：

。

答案：

38、求导数

解:

=

=

39、

解

40、设

剖析：

此类函数直接求导,很难找出规律,先对

41、求下列函数的n阶导数的一般表达式

44、求曲线上对应于点处的法线方程

46、求

剖析：

由于函数是根式私连乘,所以用对数示导法

47、〔相关变化率问题是设气球以100cm3的速度,浸入气球〔假设气球是球体求在半径为10cm的气球半径增加的速度〔假空气体压力不变

剖析：

解决相关变化率问题一般分三步：

第一步：

是建立气球体积v和半径r之间的关系。

第二步：

根据等式找出

第三步：

由己知的变化率求出未知的变化率

解：

=

由=10cm

即当=10cm时

半径以的速率增加。

48、已知求

49、设是由方程确定的隐函数,求

解：

利用公式

将方程两边分别对求导,有

得=

从而=

50、设y=<1+3-x>.求

解：

=

=-

51、求下列函数的微分

解：

<1>、=<

=<-->

〔2函数变形为两边取对数有两边对求微分得

53、扩音器插头为圆柱形,截面半径为0.15cm,长度l为4m,为了提高它的导电性能,要在这个圆柱的侧面镀上一层厚为0.001cm的钱铜,问每个插头约要多少克纯铜。

解：

ΔΔ

=2π×0.15×4×0.0

故镀的铜的重量为0.0037699×8.9

54、有一立方形的铁箱,它的边长为70±0.1cm,求出它的体积,并估计绝对误差和相对误差。

解：

体积：

V=703=343000cm3

绝对误差=

相对误差

55、求、的值,使在可导。

解：

为使在得可导,必须在连续

故

即

又因

=

=

因此有,从而当时

在处可导

56、证明可导偶函数的导数为奇函数

证：

由题设存在

于是

=-

可导偶函数的导数为奇函数

同理可证：

可导奇函数的导函数为偶函数

以同期为T的可导函数的导函数以T为周期的函数。

57、设求

解：

4、

解：

两边取对数

两边对求导

58、设存在,求

解：

=

59、设求

解：

60、设求

=