指数函数及其性质-优秀教案Word下载.doc
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1.学法:
观察法、讲授法及讨论法。
2.教具:
多媒体。
【教学过程】
【第一课时】
一、情境设置
①在本章的开头,问题
(1)中时间与GDP值中的
,请问这两个函数有什么共同特征。
②这两个函数有什么共同特征
,从而得出这两个关系式中的底数是一个正数,自变量为指数,即都可以用(>0且≠1来表示)。
二、讲授新课
指数函数的定义
一般地,函数(>0且≠1)叫做指数函数,其中是自变量,函数的定义域为R。
提问:
在下列的关系式中,哪些不是指数函数,为什么?
(1)
(2)(3)
(4)(5)(6)
(7)(8)(>1,且)
小结:
根据指数函数的定义来判断说明:
因为>0,是任意一个实数时,是一个确定的实数,所以函数的定义域为实数集R。
若<0,如在实数范围内的函数值不存在。
若=1,是一个常量,没有研究的意义,只有满足的形式才能称为指数函数,不符合。
我们在学习函数的单调性的时候,主要是根据函数的图象,即用数形结合的方法来研究。
下面我们通过
先来研究>1的情况
用计算机完成以下表格,并且用计算机画出函数的图象
1
2
4
y=2x
-
x
y
研究,0<<1的情况,用计算机完成以下表格并绘出函数的图象。
从图中我们看出
通过图象看出实质是上的
讨论:
的图象关于轴对称,所以这两个函数是偶函数,对吗?
②利用电脑软件画出的函数图象。
问题1:
从画出的图象中,你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律。
从图上看(>1)与(0<<1)两函数图象的特征。
问题2:
根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性。
问题3:
指数函数(>0且≠1),当底数越大时,函数图象间有什么样的关系。
图象特征
函数性质
>1
0<<1
向轴正负方向无限延伸
函数的定义域为R
图象关于原点和轴不对称
非奇非偶函数
函数图象都在轴上方
函数的值域为R+
函数图象都过定点(0,1)
=1
自左向右,
图象逐渐上升
图象逐渐下降
增函数
减函数
在第一象限内的图
象纵坐标都大于1
象纵坐标都小于1
>0,>1
>0,<1
在第二象限内的图
<0,<1
<0,>1
5.利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
(1)在(>0且≠1)值域是
(2)若
(3)对于指数函数(>0且≠1),总有
(4)当>1时,若<,则<;
例题:
例1:
已知指数函数(>0且≠1)的图象过点(3,π),求
分析:
要求再把0,1,3分别代入,即可求得
要求出指数函数,需要几个条件?
补充练习:
1.函数
2.当
解:
(1)
(2)(-,1)
例2:
求下列函数的定义域:
(1)
(2)
分析:
类为的定义域是R,所以,要使
(1),
(2)题的定义域,保要使其指数部分有意义就得。
三、归纳小结
1.理解指数函数
2.解题利用指数函数的图象,可有利于清晰地分析题目,培养数型结合与分类讨论的数学思想。
【第二课时】
1.复习指数函数的图象和性质
2.例题
例1:
比较下列各题中的个值的大小
(1)1.72.5与1.73
(2)与
(3)1.70.3与0.93.1
解法1:
用数形结合的方法,如第
(1)小题,用图形计算器或计算机画出的图象,在图象上找出横坐标分别为2.5,3的点,显然,图象上横坐标就为3的点在横坐标为2.5的点的上方,所以。
解法2:
用计算器直接计算:
所以,
解法3:
由函数的单调性考虑
因为指数函数在R上是增函数,且2.5<3,所以,
仿照以上方法可以解决第
(2)小题。
注:
在第(3)小题中,可以用解法1,解法2解决,但解法3不适合。
由于1.70.3=0.93.1不能直接看成某个函数的两个值,因此,在这两个数值间找到1,把这两数值分别与1比较大小,进而比较1.70.3与0.93.1的大小。
思考:
1.已知按大小顺序排列。
2.比较(>0且≠0)。
指数函数不仅能比较与它有关的值的大小,在现实生活中,也有很多实际的应用。
例2截止到1999年底,我们人口哟13亿,如果今后,能将人口年平均均增长率控制在1%,那么经过20年后,我国人口数最多为多少(精确到亿)?
可以先考试一年一年增长的情况,再从中发现规律,最后解决问题:
1999年底人口约为13亿
经过1年人口约为13(1+1%)亿
经过2年人口约为13(1+1%)(1+1%)=13(1+1%)2亿
经过3年人口约为13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3亿
经过年人口约为13(1+1%)亿
经过20年人口约为13(1+1%)20亿
设今后人口年平均增长率为1%,经过年后,我国人口数为亿,则
当=20时,
答:
经过20年后,我国人口数最多为16亿。
类似上面此题,设原值为N,平均增长率为P,则对于经过时间后总量,>0且≠1)的函数称为指数型函数。
P68探究:
(1)如果人口年均增长率提高1个平分点,利用计算器分别计算20年后,33年后的我国人口数。
(2)如果年平均增长率保持在2%,利用计算器2020~2100年,每隔5年相应的人口数。
(3)你看到我国人口数的增长呈现什么趋势?
(4)如何看待计划生育政策?
3.课堂练习
(1)右图是指数函数①②③④的图象,判断与1的大小关系;
(2)设其中>0,≠1,确定为何值时,有:
①②>
(3)用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的,写出存留污垢与漂洗次数的函数关系式,若要使存留的污垢,不超过原有的1%,则少要漂洗几次
归纳小结:
本节课研究了指数函数性质的应用,关键是要记住>1或0<<时的图象,在此基础上研究其性质。
本节课还涉及到指数型函数的应用,形如(a>0且≠1)。
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- 指数函数 及其 性质 优秀 教案