数值分析_线性方程组的迭代法PPT格式课件下载.ppt
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第6章解线性方程组的迭代方法,6.1引言6.2基本迭代法6.3迭代法的收敛性6.4*分块迭代法,其中A为非奇异矩阵,当A为低阶稠密矩阵时,第5章讨论的选主元消去法是有效的.但对于大型稀疏矩阵方程组(A的阶数n很大,但零元素较多),利用迭代法求解是合适的.,本章将介绍迭代法的一些基本理论及雅可比迭代法,高斯-赛德尔迭代法,超松弛迭代法,而超松弛迭代法应用很广泛。
@#@,下面举简例,以便了解迭代法的思想.,对线性方程组,Ax=b,(1.1),6.1引言,例1求解方程组,记为Ax=b,其中,方程组的精确解是x*=(3,2,1)T.现将改写为,或写为x=B0x+f,其中,我们任取初始值,例如取x(0)=(0,0,0)T.将这些值代入(1.3)式右边(若(1.3)式为等式即求得方程组的解,但一般不满足),得到新的值x
(1)=(x1
(1),x2
(1),x3
(1)T=(3.5,3,3)T,再将x
(1)分量代入(1.3)式右边得到x
(2),反复利用这个计算程序,得到一向量序列和一般的计算公式(迭代公式),简写为x(k+1)=B0x(k)+f,,其中k表示迭代次数(k=0,1,2,).,迭代到第10次有,从此例看出,由迭代法产生的向量序列x(k)逐步逼近方程组的精确解是x*=(3,2,1)T.即有,对于任何一个方程组x=Bx+f(由Ax=b变形得到的等价方程组),由迭代法产生的向量序列x(k)是否一定逐步逼近方程组的解x*呢?
@#@回答是不一定.请同学们考虑用迭代法解下述方程组,但x(k)并不是所有的都收敛到解x*!
@#@,对于给定方程组x=Bx+f,设有唯一解x*,则,x*=Bx*+f.(1.5),又设x(0)为任取的初始向量,按下述公式构造向量序列,x(k+1)=Bx(k)+f,k=0,1,2,.(1.6),其中k表示迭代次数.,定义1
(1)对于给定的方程组x=Bx+f,用公式(1.6)逐步代入求近似解的方法称为迭代法(或称为一阶定常迭代法,这里B与k无关).B称为迭代矩阵.,
(2)如果limx(k)(k)存在(记为x*),称此迭代法收敛,显然x*就是方程组的解,否则称此迭代法发散.,由上述讨论,需要研究x(k)的收敛性.引进误差向量,由(1.6)减去(1.5)式,得(k+1)=B(k)(k=0,1,2,),递推得,要考察x(k)的收敛性,就要研究B在什么条件下有lim(k)=0(k),亦即要研究B满足什么条件时有Bk0(零向量)(k).,6.2基本迭代法,其中,A=(aij)Rnn为非奇异矩阵,下面研究任何建立Ax=b的各种迭代法.,设线性方程组,Ax=b,(2.1),其中,M为可选择的非奇异矩阵,且使Mx=d容易求解,一般选择A的某种近似,称M为分裂矩阵.,将A分裂为,A=M-N.(2.2),于是,求解Ax=b转化为求解Mx=Nx+b,即求解,可构造一阶定常迭代法,其中B=M-1N=M-1(M-A)=I-M-1A,f=M-1b.称B=I-M-1A为迭代法的迭代矩阵,选取M矩阵,就得到解Ax=b的各种迭代法.,设aii0(i=1,2,n),并将A写成三部分,即A=D-L-U,6.2.1雅可比(Jacobi)迭代法,设aii0(i=1,2,n),选取M为A的对角元素部分,即选取M=D(对角阵),A=D-N,由(2.3)式得到解方程组Ax=b的雅可比(Jacobi)迭代法.又称简单迭代法.,其中B=I-D-1A=D-1(L+U)=J,f=D-1b.称J为解Ax=b的雅可比迭代法的迭代矩阵.,于是雅可比迭代法可写为矩阵形式,其Jacobi迭代矩阵为,下面给出雅可比迭代法(2.5)的分量计算公式,记,由雅可比迭代法(2.5)有,每一个分量写出来为,即当aii0时,有,等价方程组,其中aii(i)0(i=1,2,n),即由方程组Ax=b得到的,建立的雅可比迭代格式为,于是,解Ax=b的雅可比迭代法的计算公式为,由(2.6)式可知,雅可比迭代法计算公式简单,每迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法且计算过程中原始矩阵A始终不变.,6.2.2高斯赛德尔迭代法,在Jacobi迭代中,计算xi(k+1)(2in)时,使用xj(k+1)代替xj(k)(1ji-1),即有,建立迭代格式,或缩写为,称为高斯塞德尔(GaussSeidel)迭代法.,其GaussSeidel迭代矩阵为,BG=(D-L)-1U,于是高斯塞德尔迭代法可写为矩阵形式,这就是说,选取分裂矩阵M为A的下三角部分,即选取M=D-L(下三角阵),A=M-N,由(2.3)式得到解Ax=b的高斯塞德尔(GaussSeidel)迭代法.,其中B=I-(D-L)-1A=(D-L)-1U=G,f=(D-L)-1b.称矩阵G=(D-L)-1U为解Ax=b的高斯塞德尔迭代法的迭代矩阵.,由高斯塞德尔迭代法(2.7)有,每一个分量写出来为,即当aii0时,有(与前面一样的式子),或,于是,解Ax=b的高斯塞德尔迭代法的计算公式为,或,雅可比迭代法不使用变量的最新信息计算xi(k+1),而由高斯塞德尔迭代公式(2.8)可知,计算x(k+1)的第i个分量xi(k+1)时,利用了已经计算出的最新分量xj(k+1)(j=1,2,i-1).可看作雅可比迭代法的一种改进.由(2.8)可知,高斯塞德尔迭代公式每迭代一次只需计算一次矩阵与向量的乘法.,算法1(高斯塞德尔迭代法)见书p239.,例2用高斯塞德尔迭代法解例1的方程组(1.2).,解用高斯塞德尔迭代公式:
@#@取x(0)=(0,0,0)T.,迭代到第7次有,由此例可知,用高斯塞德尔迭代法,雅可比迭代法解线性方程组(1.2)(且取x(0)=0)均收敛,而高斯塞德尔迭代法比雅可比迭代法收敛较快(即取相同的x(0),达到同样精度所需迭代次数较少),但这结论只当A满足一定条件时才是对的.,例1用雅可比迭代法解方程组,解:
@#@Jacobi迭代格式为,取x(0)=(0,0,0)T计算结果如下:
@#@,解:
@#@Gauss-Seidel迭代格式为,例2用GaussSeidel迭代法解上题.,取x(0)=(0,0,0)T计算结果如下:
@#@,6.2.3解大型稀疏线性方程组的逐次超松弛法(SOR方法),我们取0为松弛因子,建立迭代格式如下,即,或改写为,其逐次超松弛迭代矩阵为,逐次超松弛法可写为矩阵形式,称为逐次超松弛迭代法,简称SOR方法.,显然,=1就是GaussSeidel迭代法.,下面用矩阵方法推导,选取分裂矩阵M为带参数的下三角矩阵,从而得到解Ax=b的逐次超松弛迭代法(SuccessiveOverRelaxationMethod,简称SOR方法).,其中0为可选择的松弛因子.,于是,由(2.3)可构造一个迭代法,其迭代矩阵为,解Ax=b的SOR方法为.,其中,下面给出解Ax=b的SOR方法的分量计算公式.记,由(2.10)式可得,由此,得到解Ax=b的SOR方法的计算公式,或,
(1)显然,当=1时即为GaussSeidel迭代法.,
(2)SOR方法每迭代一次主要运算量是计算一次矩阵与向量的乘法.,(3)当1时,称为超松弛法;@#@当1时,称为低松弛法.,(4)在计算机实现时可用,控制迭代终止,或用,控制迭代终止.,SOR迭代法是GaussSeidel迭代法的一种修正,可由下述思想得到.,设已知x(k)及已计算x(k+1)的分量xj(k+1)(j=1,2,i-1).,
(1)首先用GaussSeidel迭代法定义辅助量,
(2)再由与加权平均定义,即,将(2.13)代入(2.14)得到解Ax=b的SOR迭代(2.11)式.,例3用SOR迭代法解方程组.见书p242.,6.3迭代法的收敛性,6.3.1一阶定常迭代法的基本定理,其中,A=(aij)Rnn为非奇异矩阵,记x*为(3.1)精确解,且设有等价的方程组,设线性方程组,Ax=b,(3.1),于是,设有解Ax=b的一阶定常迭代法,有意义的问题是:
@#@迭代矩阵B满足什么条件时,由迭代法产生的向量序列x(k)收敛到x*.,引进误差向量,由(3.3)式减(3.2)得到误差向量的递推公式,由6.1节可知,研究迭代法(3.3)收敛性问题就是要研究迭代矩阵B满足什么条件时,有.,定义2设有矩阵序列Ak=(aij(k)Rnn及A=(aij)Rnn,如果n2个数列极限存在且有,则Ak称收敛于A,记为lim(k).,例4设有矩阵序列Ak,其中Ak=Bk,而,且设|1,考查矩阵序列极限.,解显然,当|1时,则有,矩阵序列极限概念可以用矩阵算子范数来描述.,定理1其中|为矩阵的任意一种算子范数.,证明显然有,再由矩阵范数的等价性,则定理对其它算子范数亦对.,定理2,证明作为练习.,定理3设B=(bij)Rnn,则limBk=0(k)(零矩阵)的充分必要条件是矩阵B的谱半径(B)1.,证明由矩阵B的若当标准形,存在非奇异矩阵P使,其中若当(Jordan)块,且,显然有,其中,显然有,Et,0=I,Et,k=0(当kt),(Et,1)k=Et,k.由于Ji=I+Et,1,因此,下面考查Jik的情况.引进记号,其中,定理4(迭代法基本定理)设有方程组,x=Bx+f.(3.4),及一阶定常迭代法,x(k+1)=Bx(k)+f.(3.5),对任意选择初始向量x(0),迭代法(3.5)收敛的充要条件是矩阵B的谱半径(B)1.,证明充分性.设(B)1,易知Ax=f(其中A=I-B)有唯一解,记为x*,则,x*=Bx*+f.,误差向量,由设(B)1,应用定理3,有.于是对任意x(0)有,即.,其中x(k+1)=Bx(k)+f.显然,极限x*是方程组(3.4)的解,且对任意x(0)有,必要性.设对任何x(0)有,由定理2知,再由定理3,即得(B)1.,定理4是一阶定常迭代法的基本理论.,定理3和定理4的结论和起来即为,
(1)迭代法x(k+1)=Bx(k)+f收敛limBk=O;@#@,
(2)迭代法x(k+1)=Bx(k)+f收敛(B)1.,推论设Ax=b,其中A=D-L-U为非奇异矩阵且D非奇异矩阵,则有,
(1)Jacobi迭代法收敛(J)1,其中J=D-1(L+U).,
(2)G-S迭代法收敛(G)1,其中G=(D-L)-1U.,(3)SOR迭代法收敛(L)1,其中L=(D-L)-1(1-)D+U.,例5考察用Jacobi方法解方程组(1.2)的收敛性.,解因为方程组(1.2)的矩阵A及迭代矩阵J为,解得,即(J)1.所以用Jacobi方法解方程组(1.2)是收敛的.,得迭代矩阵J的特征方程为,例6考察用迭代法解方程组的收敛性.其中,解方程组的迭代矩阵B的特征方程为,矩阵B的特征值为即(B)1.,这说明用迭代法解此方程组不收敛.,迭代法的基本定理在理论上是重要的,根据谱半径的性质(B)|B|,下面利用矩阵B的范数建立判别迭代法收敛的充分条件.,定理5(迭代法收敛的充分条件)设有方程组,x=Bx+f,B=(bij)Rnn,,及一阶定常迭代法,x(k+1)=Bx(k)+f.,如果有B的某种算子范数|B|=q1,则,
(1)迭代法收敛,即对任取x(0)有,证明
(1)由基本定理4结论
(1)是显然的.,
(2)显然有关系式x*-x(k+1)=B(x*-x(k)及,x(k+1)x(k)=B(x(k)x(k-1).,于是有(a)|x(k+1)x(k)|q|x(k)x(k-1)|;@#@,(b)|x*-x(k+1)|q|x*-x(k)|.,反复利用(b)即得
(2).,(3)考查|x(k+1)x(k)|=|x*x(k)(x*x(k+1)|,|x*x(k)|x*x(k+1)|,(1q)|x*x(k)|,即得,(4)利用(3)的结果反复利用(a),则得到(4).即,6.3.2关于解某些特殊方程组迭代法的收敛性,在科学及工程计算中,要求解方程组Ax=b,其矩阵A常常具有某些特性.例如,A具有对角占优性质或A为不可约阵,或A是对称正定阵,下面讨论用基本迭代法解这些方程组的收敛性.,定义3(对角占优阵)设A=
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- 数值 分析 线性方程组 迭代法