浙教版八年级数学下册各章节知识点及重难点整理最新版.docx
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浙教版八年级数学下册各章节知识点及重难点整理最新版
第一章二次根式
知识点一:
二次根式的概念
二次根式的定义:
形如(a≥0)的代数式叫做二次根式。
注:
在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意:
因为负数没有平方根,所以是为二次根式的前提条件,如,,等是二次根式,而,等都不是二次根式。
知识点二:
取值范围
1. 二次根式有意义的条件:
由二次根式的意义可知,当a≧0时,有意义,是二次根式,所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可。
2. 二次根式无意义的条件:
因负数没有算术平方根,所以当a﹤0时,没有意义。
知识点三:
二次根式()的非负性
()表示a的算术平方根,也就是说,()是一个非负数,即0()。
注:
因为二次根式()表示a的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0,所以非负数()的算术平方根是非负数,即0(),这个性质也就是非负数的算术平方根的性质,和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多,如若,则a=0,b=0;若,则a=0,b=0;若,则a=0,b=0。
知识点四:
二次根式()的性质
()
文字语言叙述为:
一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注:
二次根式的性质公式()是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用:
若,则,如:
,.
知识点五:
二次根式的性质
文字语言叙述为:
一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注:
1、化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a本身,即;若a是负数,则等于a的相反数-a,即;
2、中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值,一定有意义;
3、化简时,先将它化成,再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六:
与的异同点
1、不同点:
与表示的意义是不同的,表示一个正数a的算术平方根的平方,而表示一个实数a的平方的算术平方根;在中,而中a可以是正实数,0,负实数。
但与都是非负数,即,。
因而它的运算的结果是有差别的, ,而
2、相同点:
当被开方数都是非负数,即时,=;时,无意义,而.
知识点七:
最简二次根式:
必须同时满足下列条件:
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式;⑵被开方数中不含分母;⑶分母中不含根式。
满足这三个条件的二次根式称为最简二次根式。
知识点八:
同类二次根式:
化成最简二次根式后,被开方数相同的几个二次根式称为同类二次根式。
知识点九:
二次根式的运算:
(1)因式的外移和内移:
如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,就可以用它的算术根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式,那么先解因式,变形为积的形式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.
(2)二次根式的加减法:
需要先把二次根式化简,然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减,被开方数不变。
注意:
对于二次根式的加减,关键是合并同类二次根式,通常是先化成最简二次根式,再把同类二次根式合并.但在化简二次根式时,二次根式的被开方数应不含分母,不含能开得尽的因数.
(3)二次根式的乘除法:
二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.
二次根式的乘法:
二次根式的除法:
注意:
乘、除法的运算法则要灵活运用,在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边,同时还要考虑字母的取值范围,最后把运算结果化成最简二次根式.
强调:
二次根式具有双重非负性。
(4)二次根式的混合运算:
先乘方(或开方),再乘除,最后加减,有括号的先算括号里面的;能利用运算律或乘法公式进行运算的,可适当改变运算顺序进行简便运算.
注意:
进行根式运算时,要正确运用运算法则和乘法公式,分析题目特点,掌握方法与技巧,以便使运算过程简便.二次根式运算结果应尽可能化简.另外,根式的分数必须写成假分数或真分数,不能写成带分数.例如不能写成.
(5)有理化因式:
一般常见的互为有理化因式有如下几类:
①与; ②与;
③与; ④与.
说明:
利用有理化因式的特点可以将分母有理化.
(6)分母有理化:
分母有理化也称为有理化分母。
就是将分母含有根号的代数式变成分母不含根号的代数式,这个过程叫做分母有理化。
(1)形如:
或
(2)形如:
或
7.关于具有双重根号的二次根式。
如:
二.重点和难点:
重点:
二次根式的运算。
难点:
1.混合运算以及应用。
2.二次根式的内移和外移。
3.二次根式的大小比较。
【难点指导】
1、如果是二次根式,则一定有;当时,必有;
2、当时,表示的算术平方根,因此有;反过来,也可以将一个非负数写成的形式;
3、表示的算术平方根,因此有,可以是任意实数;
4、区别和的不同:
中的可以取任意实数,中的只能是一个非负数,否则无意义.
5、简化二次根式的被开方数,主要有两个途径:
(1)因式的内移:
因式内移时,若,则将负号留在根号外.即:
.
(2)因式外移时,若被开数中字母取值范围未指明时,则要进行讨论.即:
6、二次根式的比较:
(1)若,则有;
(2)若,则有.
说明:
一般情况下,可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小.
考点题型:
1.二次根式的概念和性质(选择、填空)(4分)
2.二次根式的化简与求值(选择、填空、解答)(3-8分)
第二章一元二次方程
一、教材内容
1.本单元教学的主要内容.
一元二次方程概念;解一元二次方程的方法;一元二次方程应用题.
2.本单元在教材中的地位与作用.
一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的,它也是一种数学建模的方法.学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的,是学好高中数学的奠基工程.应该说,一元二次方程是本书的重点内容.
二、教学重点
1.一元二次方程及其它有关的概念.
2.用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程.
3.利用实际问题建立一元二次方程的数学模型,并解决这个问题.
三、教学难点
1.一元二次方程配方法、十字相乘法解题.
2.用公式法解一元二次方程时的讨论.
3.建立一元二次方程实际问题的数学模型;方程解与实际问题解的区别.
四、教学关键
1.分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型.
2.用配方法解一元二次方程的步骤.
3.解一元二次方程公式法的推导.
五、知识点:
1.定义:
形如的方程叫做一元二次方程,其中,a叫做二次项系数,bx叫做一次项,b叫做一次项系数,c叫做常数项。
例:
若方程是关于x的一元二次方程,则()
A.B.m=2C.m=—2D.
2.一元二次方程的解法:
(1)直接开平方法;
(2)因式分解分(提公因式法、乘法公式法、十字相乘法);(3)配方法;(4)求根公式法;(5)换元法。
例:
按要求解方程
(1)用配方法解方程:
x2—4x+1=0
(2)用公式法解方程:
3x2+5(2x+1)=0
3.一元二次方程根的判别式:
△=.
△>0,方程有两个不相等的实数根;△=0,方程有两个相等的实数根;△<0,方程无实数根。
例1.如果关于x的方程ax2+x–1=0有实数根,则a的取值范围是()
A.a>–B.a≥–C.a≥–且a≠0D.a>–且a≠0
例2.若t是一元二次方程的根,则判别式和完全平方式的关系是()
A.△=MB.△>MC.△ 4.韦达定理: 例1: (8分)设x1、x2是方程2x2-4mx+2m2+3m-2=0的两个实根,当m为何值 时,x12+x22有最小值? 并求这个最小值。 例2: 若一个三角形的三边长均满足方程x2-6x+8=0,则此三角形的周长为_______ 5.可化为一元二次方程的分式方程。 (分式方程要验根) 例: ; 6、一元二次方程应用题(最大值、最小值问题) 例: .某商店如果将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售,每天可销售100件。 为了增加利润,该商店决定提高售价,但该商品单价每提高1元,销售量要减少10件。 问当售价定为多少时,才能使每天的利润最大? 并求最大利润。 7、一元二次方程和二次函数之间的关系 例1.当m为何值时,抛物线与x轴有两个交点,有一个交点,无交点。 例2.已知二次函数与x轴有两个交点,求m的取值范围。 8、一元二次方程应用题 例1..如图,AO=OB=50cm,OC是一条射线,OC⊥AB,一只蚂蚁由A以2cm/s速度向B爬行,同时另一只蚂蚁由O点以3cm/s的速度沿OC方向爬行,几秒钟后,两只蚂蚁与O点组成的三角形面积为450cm2? 六、易错点分析: 易错点一: (概念) 1)判断方程是否为一元二次方程时,忽略二次项系数不为“0”. 如: 下列关于x的方程中,是一元二次方程的有-------- ①ax2+bx+c=0②x2+3/x-5=0 ③2x2-x-3=0④x2-2+x3=0 2)注意本单元在学习概念时,注意联系实际,加深对概念的理解与应用,避免就概念理解概念。 如: 已知关于x的方程(m-n)x2+mx+n=0,(m≠0),你认为: ①当m和n满足什么关系时,该方程为一元二次方程? ②当m和n满足什么关系时,该方程为一元一次方程? 3)没有化成一般形式,混淆a、b、c. 易错点二: (解法) (1)因式分解法没注意方程没有写成A*B=0形式。 如,解方程(x-1)(x-3)=8,误解为x1=1,x2=3. (2)用公式法解方程时,没有化为一般式,造成符号错误或混淆a、b、c。 如,解方程x2-4x=2,误认为a=1,b=—4,c=2. (3)丢根。 如,解方程3(x+2)=x2+2x,两边同时除以(x+2),得x=3. 易错点三(一元二次方程应用题) ①审题不清,误解题意,不能正确地找出等量关系; ②解方程后未经检验就盲目作答。 ③检查方程两根是否符合实际意义,尤其当两根都是正数的情况。 如教材P114: 探究3问题中,方程两根都是正数,但他们并不都适合问题的解。 必须根据它们的值的大小来确定哪个合乎实际。 这种取舍更多的要考虑问题的实际意义,教学中应注意培养学生将数学知识与实际问题相结合的能力。 有关四边形各个知识点精细化 一.知识点: 1、正确理解定义 (1)定义: 两组对边分别平行的四边形是平行四边形.定义中的“两组对边平行”是它的特征,抓住了这一特征,记忆理解也就不困难了.平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性,它既是平行四边形的一条性质,又是一个判定方法.同学们要在理解的基础上熟记定义. (2)表示方法: 用“”表示平行四边形,例如: 平行四边形ABCD记作ABCD,读作“平行四边形ABCD”. 2、熟练掌握性质 平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角对称性四个方面的特征进行简述的. (1)角: 平行四边形的邻角互补,对角相等; (2)边: 平行四边形两组对边分别平行且相等; (3)对角线: 平行四边形的对角线互相平分; (4)对称性: 平行四边形是中心对称图形,对角线的交点是对称中心; (5)面积: ①=底×高=ah;②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形. 3.学会平行四边形的判别方法 ①定义: 两组对边分别平行的四边形是平行四边形②方法1: 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ③方法2: 两组对边分别相等的四边形是平行四边形④方法3: 对角线互相平分的四边形是平行
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